巖層真厚度計(jì)算公式推導(dǎo)與編程

范茂煌

（云南省有色地質(zhì)局三〇六隊(duì)，云南 昆明 650217）

在實(shí)測(cè)地質(zhì)剖面數(shù)據(jù)處理過程中，巖層真厚度計(jì)算是核心問題。查閱相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，被引用較多的巖層真厚度計(jì)算公式為：

（1）巖層真厚度計(jì)算行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)式[1]：D=L×(sinαcosβsinγ±sinβcosα)。

（2）巖層真厚度計(jì)算列昂托夫斯基式[2]：①當(dāng)巖層傾向與地面坡向相反時(shí)：D=L(sinαcosβsinγ+cosαsinβ)；②當(dāng)巖層傾向與地面坡向相同且α＞β時(shí)：D=L(sinαcosβsinγ-cosαsinβ)；③當(dāng)巖層傾向與地面坡向相同且α＜β時(shí)：D=L(cosαsinβ-sinαcosβsinγ)。

（3）巖層真厚度計(jì)算徐開禮式[3]：D=L×|sinαcosβsinγ±sinβcosα|。以上式中：D為巖層真厚度，L為導(dǎo)線斜距，α為巖層真傾角，β為導(dǎo)線坡度角（非負(fù)數(shù)），γ為剖面導(dǎo)線與地層走向線的銳夾角，坡向與巖層傾向相反取“＋”號(hào)，坡向與巖層傾向相同取“-”號(hào)。郭福生和林銀山[2]提出當(dāng)巖層傾向與地面坡向相同且α＞β時(shí)，列昂托夫斯基式公式②有矛盾，例如：α=25°，β=23°，γ=60°，帶入公式②為負(fù)值，與客觀不符合，并指出列昂托夫斯基式②式、③式運(yùn)用條件分別為α′＞β、β＞α′，其中α′為巖層在導(dǎo)線方向上的似傾角，tanα′=tanαsinγ。徐開禮式對(duì)取“-”號(hào)時(shí)取絕對(duì)值，未說(shuō)明原由，且γ的具體計(jì)算未提及。劉純瑤、吳盼泉、殷鑒等人在列昂托夫斯基巖層真厚度公式的推導(dǎo)[4]中，公式“±”號(hào)的取值推導(dǎo)借助巖層橫剖面，并在巖層橫剖面上分析：測(cè)線所在地形坡度與巖層相反、測(cè)線所在地形坡度與巖層相同且傾斜更緩、測(cè)線所在地形坡度與巖層相同且傾斜更陡三種情況，但未對(duì)其他情況分析。本文通過地質(zhì)實(shí)體與幾何模型相融合，采用五級(jí)地質(zhì)實(shí)體參數(shù)作為討論劃分要素，確定了列昂托夫斯基②式、③式運(yùn)用條件分別為α＞β′、β′＞α，其中，β′∈[β，90]，且β′=arctan(tanβ/sinγ)，詳細(xì)介紹了剖面導(dǎo)線與地層走向線的銳夾角γ的計(jì)算公式，最終推導(dǎo)出各種巖層和測(cè)線空間組合下巖層真厚度計(jì)算的綜合公式，并進(jìn)行了編程。

1 幾何模型建立

在直三棱柱AB′B〃-CD D′中，建立關(guān)于分層導(dǎo)線段、巖層橫剖面和巖層真厚度等具有地質(zhì)實(shí)體意義的幾何模型，其幾何線段分別代表地質(zhì)實(shí)體如下（如圖1）：

（1）線段AB：表示實(shí)測(cè)導(dǎo)線上的分層斜距，用L表示；L＞0，單位m；實(shí)測(cè)所得。

（2）ω和β：表示分層斜距AB的產(chǎn)狀，ω表示線方位（當(dāng)線水平時(shí)，兩端任意一方向均可以；當(dāng)線傾斜時(shí)，取傾伏向），β表示傾伏角；β∈[0,90]，ω∈[0,360）；實(shí)測(cè)所得。

（3）θ和α和ε：表示巖層產(chǎn)狀，θ表示傾向，α表 示 傾 角，ε表 示 走 向（兩 端 任 意 一 方 向 均 可 以）；α∈[0,90],θ∈[0,360),ε∈[0,360)；實(shí)測(cè)所得。

（4）β′：表示分層導(dǎo)線在巖層橫剖面中的投影導(dǎo)線的傾伏角；β′=arctan(tanβ/sinγ)。

（5）γ：巖層走向線與分層導(dǎo)線的夾角；γ∈[0,90]；兩條直線相交有4個(gè)角，對(duì)頂角相等，且相鄰兩個(gè)角為互補(bǔ)關(guān)系，根據(jù)正弦單位圓定義可以：Sinγ=Sin(180-γ)=∣Sin(-γ)∣=∣Sin(180+γ)∣，因?yàn)殁g角和銳角同時(shí)存在，且為互補(bǔ)關(guān)系，所以,取銳角討論即可包含所有情況，sinγ=∣sin(ε-ω)∣，（ε-ω）∈（-360，360）。

（6）λ：巖層傾向與分層導(dǎo)線傾伏向的夾角。當(dāng)λ=|θ-ω|∈（90，270）時(shí)，巖層傾向與分層導(dǎo)線傾伏向反向,公式取“+”；當(dāng)λ=|θ-ω|=90或270時(shí)，巖層傾向與分層導(dǎo)線傾伏向正交，不用選擇；當(dāng)λ=|θ-ω|∈[0，90)或（270，360）時(shí)，巖層傾向與分層導(dǎo)線傾伏向同向，公式取“-”。

（7）ψ：巖層傾角與分層導(dǎo)線在巖層橫剖面中的投影導(dǎo)線的傾伏角的大小關(guān)系的判別式，ψ=α-β′=α-arctan(tanβ/sinγ)，其 中β′≥β。當(dāng)ψ=0時(shí),表 示 順 層 測(cè) 量；當(dāng)ψ＞0時(shí)，D=L(sinαcosβsinγ-cosαsinβ)；當(dāng)ψ＜0時(shí)，D=L(cosαsinβsinαcosβsinγ)。

（8）線段AD及B′C：表示巖層分層界面的走向線。

（9）線段A B′或線段A B〃：表示線段AB在巖層橫剖面中的垂直投影線段。

（10）ΔA B′B〃所在的鉛錘面：表示巖層橫剖面。

其二，非物質(zhì)文化遺產(chǎn)作為一種古老的文化，需要一代代藝術(shù)家加以傳承與發(fā)展。而今，多種非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的表現(xiàn)形式正面臨著后繼無(wú)人的險(xiǎn)境。人們對(duì)于保護(hù)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)傳承人的認(rèn)識(shí)也不夠深刻。非物質(zhì)文化遺產(chǎn)傳承人作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表人，是重要的傳播人與記載者，是活化的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)寶藏?？涩F(xiàn)狀的慘淡，對(duì)傳承人的保護(hù)就更無(wú)從談起了［2］。

（11）線段B1B2：巖層真厚度，用D表示，D≥0，單位m，D=0表示順層測(cè)量。

2 公式推導(dǎo)

2.1 當(dāng)α=0時(shí)

2.1.1 當(dāng)α=0，β=0時(shí)

巖層水平，導(dǎo)線水平，順層測(cè)量，D=0 ①。

2.1.2 當(dāng)α=0，β∈(0,90]時(shí)

據(jù)圖1：巖層水平，導(dǎo)線傾斜或直立，D=AB″=Lsinβ ②。

2.2 當(dāng)α=90時(shí)

2.2.1 當(dāng)β=90時(shí)

2.2.2 當(dāng)β∈[0,90)時(shí)

（1）當(dāng)γ=0時(shí)：巖層直立，巖層走向與分層導(dǎo)線水平投影線夾角為0，屬于順層測(cè)量，D=0 ①。

（2）當(dāng)γ∈(0,90]時(shí)：據(jù) 圖1：巖 層 直 立，B和B″重合，L=AB″，D=B1B″=AB″cosα=Lcosα導(dǎo) 線 不 順 層，D=B′B″=BB″sinγ=Lcosβsinγ ③。

2.3 當(dāng)α∈(0，90)時(shí)

2.3.1 當(dāng)β=90時(shí)

據(jù)圖1：導(dǎo)線直立，L=AB″，D=B1B″=AB″cosα=Lcosα ④。

2.3.2 當(dāng)β=0時(shí)

（1）當(dāng)γ=0時(shí)：導(dǎo)線水平，順層測(cè)量，D=0 ①。

（2）當(dāng)γ∈(0,90]時(shí)：根 據(jù) 圖1可 知：當(dāng) 導(dǎo) 線 水 平 時(shí)，AB=BB″=L，可將△D′B″G和△CB′F分別視為分層頂?shù)装?，B″G、B′F分別表示分層頂?shù)装鍍A向線，則

D=B2B″=B′B″sinα=BB″sinγsinα=Lsinγsinα ⑤。

2.3.3 當(dāng)β∈(0，90)時(shí)

（1）當(dāng)γ=0，即λ=90或270，亦即導(dǎo)線方向與巖層傾向正交時(shí)：據(jù)圖1：B在D′B″上，B在橫剖面圖中的投影點(diǎn)是B″，導(dǎo)線方向與巖層傾向不相同，也不相反，可將△D′B″G和△DAE分別視為分層頂?shù)装澹珹E、B″G分別表示分層頂?shù)装鍍A向線，AB″=Lsinβ，D=B1B″=AB″cosα=Lsinβcosα ⑥。

圖2 巖層傾向與地面坡向相同且α＜β′幾何模型圖

（2）當(dāng)γ∈(0,90]時(shí)：當(dāng)λ∈(90,270)，即 導(dǎo) 線 方 向 與巖 層 傾 向 相 反 時(shí)：據(jù) 圖1：B在CB′上，B在 橫 剖 面 圖中的投影點(diǎn)是B′，可將△CB′F和△DAE分別視為分層頂?shù)装?，AE、B′F分別表示分層頂?shù)装鍍A向線，B1B″=AB″cosα，B2B″=B′B″sinα，AB″=Lsinβ，B′B″=BB″sinγ=Lcosβsinγ，D=B1B2=B1B″+B2B″=AB″c osα+B′B″sinα=L(sinαcosβsinγ+cosαsinβ) ⑦。

圖3 巖層傾向與地面坡向相同且α＞β′幾何模型圖

當(dāng)λ∈[0,90）或(270,360)，即導(dǎo)線方向與巖層傾向相同時(shí)：當(dāng)ψ=0時(shí)：導(dǎo)線順層測(cè)量，D=0 ①。

當(dāng)ψ＜0時(shí)：據(jù) 圖2：B在CB′上，B在 橫 剖 面 圖 中 的投 影點(diǎn)是B′，B1B″=AB″cosα，B2B″=B′B″sinα，AB″=Lsinβ，B′B″=BB″sinγ=Lcosβsinγ，D=B1B2=B1B″-B2B″=AB″cosα-B′B″sinα=L(cosαsinβsinαcosβsinγ) ⑧

當(dāng)ψ＞0時(shí)：據(jù) 圖3：B在CB′上，B在 橫 剖 面 圖 中 的投 影點(diǎn)是B′，B1B″=B′B″sinα，B2B″=AB″cosα，AB″=Lsinβ，B′B″=BB″sinγ=ABcosβsinγ=Lcosβsinγ，D=B1B2=B1B″-B2B″=B′B″sinα-AB″cosα=L(sinαcosβsinγcosαsinβ) ⑨。

3 巖層真厚度公式分類推導(dǎo)匯總及綜合表達(dá)式

根據(jù)巖層和導(dǎo)線不同產(chǎn)狀組合，分13類推導(dǎo)，形成9種（公式①～⑨）巖層真厚度計(jì)算公式。其中，第1、3、4、7、11屬于導(dǎo)線順層測(cè)量，公式統(tǒng)一編號(hào)為①式；公式②～⑥式是特殊條件下公式⑦的簡(jiǎn)化形式。所以，綜合⑦～⑨，巖層真厚度綜合表達(dá)式為：D=L|sinαcosβ|sin(ε-ω)|±cosαsinβ|。

4 巖層真厚度綜合表達(dá)式公式編程

D=IF(AND(AND(α＞0,α＜90),AND(β＞0,β＜90),OR(AND(ABS(θ-ω)＞=0,ABS(θ-ω)＜90),AND(ABS(θ-ω)＞270,ABS(θ-ω)＜36 0))),L*ABS(SIN(RADIANS(α))*COS(RADIANS(β))*ABS(SIN(RADIANS(ε-ω)))-COS(RADIANS(α))*SIN(RADIANS(β))),IF(OR(ε="",ω=""),L*COS(RADIANS(α))*SIN(RADIANS(β)),L*(SIN(RAD IANS(α))*COS(RADIANS(β))*ABS(SIN(RADIANS(ε-ω)))+COS(R ADIANS(α))*SIN(RADIANS(β))))