多段壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測常用解析模型適用性與精度分析

田 剛，蘭正凱，陳 昂，馬明偉

(1.中國石油新疆油田分公司工程技術(shù)研究院，新疆 克拉瑪依 834000；2.南京特雷西能源科技有限公司，江蘇 南京 210000；3.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)資源學(xué)院，湖北 武漢430074)

近年來，石油行業(yè)對非常規(guī)油氣田(如致密油、頁巖氣等)開采的技術(shù)需求越來越大，而這種油氣藏基質(zhì)的滲透率往往都比較低，為了達(dá)到一定的開采效能，在工程上不可避免地要使用壓裂的方法來提高水平井的產(chǎn)量和油氣藏的采收率[1-3]。因此，水平井壓裂后的產(chǎn)量預(yù)測與模擬的工作逐漸成為油藏工程研究人員的研究重點(diǎn)。

非壓裂水平井的解析公式目前已經(jīng)發(fā)展成熟，主要包括JOSHI公式[4-5]、BORISOV公式[6]、GIGER公式[7]、陳元千公式[8]、RENARD-DUPUY公式[9]等。這些產(chǎn)能公式通過將三維流動轉(zhuǎn)換為二維流動，基于復(fù)勢疊加原理和鏡像反映原理進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)而得[10]，通過解析公式對水平井產(chǎn)能進(jìn)行快速粗略的估計，在現(xiàn)場開發(fā)中具有重要意義[11-13]。對于多段壓裂水平井，一部分學(xué)者開始在非壓裂水平井產(chǎn)量公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得出一定條件下水平壓裂井產(chǎn)量的解析解公式，如郎兆新等[14]假設(shè)壓裂水平井每條裂縫產(chǎn)量相同、間距相同且穿透整個油層，利用位勢理論和疊加原理，推導(dǎo)得出了多裂縫水平井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式；范子菲等[15]假定油藏為各向同性，將矩形油藏通過保角變換成橢球體油藏，進(jìn)而推導(dǎo)出水平壓裂井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量為裂縫的條數(shù)、平均長度、平均開度、油藏邊界尺寸、基質(zhì)滲透率等函數(shù)；苗和平等[16]將模擬范圍擴(kuò)大到生產(chǎn)初期的非穩(wěn)態(tài)階段，即將壓裂水平井的產(chǎn)量分為初期、中期和后期三期求解，其中初期采用數(shù)值求解方法，中期和后期采用解析解形式求得。這三種解析模型在現(xiàn)場應(yīng)用中最為廣泛，但需要注意的是，上述幾種模型都是基于若干理想化的假設(shè)條件和一定的簡化處理得出的，其預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值必然存在一定誤差，需要通過具體計算和對比得出各個模型的適用性。

本文選取了廣泛應(yīng)用的郎兆新方法、范子菲方法和苗和平方法進(jìn)行整理分析，通過商業(yè)模擬軟件建立數(shù)值模擬模型，從裂縫參數(shù)、油藏屬性參數(shù)、水平井參數(shù)等方面，剖析了這三種方法在各種條件下的適用性與精度。本文研究結(jié)果對非常規(guī)儲層多段壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測解析模型的選擇具有指導(dǎo)意義。

1 壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測解析模型

1.1 郎兆新方法

假設(shè)壓裂水平井每條裂縫產(chǎn)量相同、間距相同且穿透整個油層，利用位勢理論和疊加原理，郎兆新等[14]推導(dǎo)出了多裂縫水平井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量公式，產(chǎn)量Q計算見式(1)。

(1)

式中：K為基質(zhì)滲透率，mD；h為油藏厚度，m；N0為中間產(chǎn)量，計算見式(2)；ΔP為油藏的生產(chǎn)壓差，MPa，計算見式(3)；d為井距(兩相鄰裂縫間距)，m；Lf為單條裂縫的半長，m；R為油藏供給半徑(圓柱體或矩形油藏)，m。

(2)

Δp=pe-pwf

(3)

式中：Nf為裂縫條數(shù)；pe為油藏邊界處壓力，MPa；pwf為生產(chǎn)井的井底流壓(中間裂縫與水平井段交界點(diǎn)處壓力)，MPa。

1.2 范子菲方法

范子菲等[15]導(dǎo)出的水平壓裂井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量Q計算見式(4)。

(4)

式中：Kh為水平滲透率，mD；Kf為裂縫滲透率，mD；B0為原油體積系數(shù)；L為水平井長度，m；rw為水平井井半徑，m；Lf為Nf條垂直裂縫的平均長度，m；bf為其平均開度，m。a×b×h為油藏邊界(邊界a平行于裂縫延伸方向，矩形油藏)，與垂直裂縫平行的兩側(cè)為恒壓邊界(壓力為pe)；ω1計算見式(5)。

(5)

1.3 苗和平方法

郎兆新方法和范子菲方法主要針對穩(wěn)態(tài)條件下壓裂水平井的產(chǎn)量解析解模擬；苗和平等[18]將模擬范圍擴(kuò)大到生產(chǎn)初期的非穩(wěn)態(tài)階段，即將壓裂水平井的產(chǎn)量分為初期階段、中期階段和后期階段三期求解，其中初期采用數(shù)值求解方法，中期和后期采用解析解形式求得。

初期階段，壓裂后各條裂縫由各自臨近油層區(qū)域內(nèi)供給，各區(qū)域互不干擾，可認(rèn)為裂縫均為無窮大邊界生產(chǎn)。假設(shè)每條裂縫產(chǎn)量相同、間距相同且穿透整個油層；對油藏及裂縫進(jìn)行網(wǎng)格劃分，利用五點(diǎn)隱式差分方法對油相滲流方程寫做式(6)。

(6)

式中，Cx和Cy2,j計算見式(7)。

(7)

對于初期產(chǎn)量，可以將生產(chǎn)期t與供給半徑R(t)關(guān)系，用壓力降邊緣半徑R(t)隨時間的關(guān)系計算，見式(8)。

(8)

式中：CL為液體壓縮系數(shù)，MPa-1；Cf為巖石壓縮系數(shù)，MPa-1。水平井產(chǎn)量也可用各裂縫產(chǎn)量之和表示，用上述數(shù)值計算結(jié)果求出。

中期階段，裂縫之間發(fā)生相互干擾，這時各個裂縫的產(chǎn)量都將發(fā)生變化。此時要計算出周邊油層任意時刻流入各縫臨近區(qū)的流量，臨近油層的總采出產(chǎn)量計算見式(9)。

(9)

每條裂縫的產(chǎn)量根據(jù)穩(wěn)定滲流公式計算見式(10)。

(10)

后期階段，油藏?zé)o窮大邊界供給與生產(chǎn)井生產(chǎn)達(dá)到平衡時，地層基本上為穩(wěn)定滲流，可利用等值滲流法求出每條裂縫的產(chǎn)量見式(11)。

(11)

式中：b(m)×h(m)為油層的垂直斷面尺寸；Lf(m)×hf(m)為裂縫斷面尺寸；其他參數(shù)所表示的物理量與前述相同，各物理量均采用SI單位制。

2 壓裂水平井?dāng)?shù)值模型

通過商業(yè)數(shù)值模擬器(eclipse)對壓裂水平井在真實(shí)地層中的產(chǎn)量變化進(jìn)行了數(shù)值模擬，進(jìn)而分別與郎兆新方法、范子菲方法和苗和平方法進(jìn)行對比，揭示這些穩(wěn)態(tài)解析解公式在油藏生產(chǎn)模擬中的適用性。

如圖1所示，網(wǎng)格模型是基于塊中心網(wǎng)格建立。模擬的油藏區(qū)域?yàn)殚L×寬×高為10 km×10 km×1 km方形油藏。裂縫采用不等間距網(wǎng)格來進(jìn)行刻畫，其中，X方向的網(wǎng)格大小為0.01～330 m，Y方向的網(wǎng)格大小為5～625 m，Z方向的網(wǎng)格大小為100～150 m；建立的模型網(wǎng)格尺度為49×19×9=8 379。模擬的生產(chǎn)井水平段的長度為1 000 m，水平段共壓裂10段?？紤]到解析模型的假設(shè)條件，數(shù)值

圖1 多壓裂水平井?dāng)?shù)值模擬模型Fig.1 Numerical model set up for multistage hydraulic fracturing horizontal well

模型中的裂縫均勻分布在水平井段上，裂縫半長均為25 m，主裂縫寬度為0.01 m。模擬為一次采油單相生產(chǎn)(無注入過程)，模擬時間2年，時間步長為1個月。模型基本物性參數(shù)見表1。為了便于數(shù)值模擬與解析解模擬結(jié)果的比較，上述數(shù)值模型均采用油單相穩(wěn)態(tài)形式進(jìn)行模擬。

表1 油藏壓裂水平井?dāng)?shù)值模擬基本參數(shù)表Table 1 Basic input parameters for the numerical model

3 解析解與數(shù)值模擬結(jié)果對比

考慮到流體自身的重力水頭損失(H)、流體流動與井筒內(nèi)壁發(fā)生的摩擦效應(yīng)(F)和裂縫中流體匯入水平井段可能產(chǎn)生的加速度效應(yīng)(A)[17]，本文還采用了多段井模式，將水平井從已劃分的油藏網(wǎng)格中剝離出來進(jìn)行分段模擬，進(jìn)一步比較壓裂水平井在油藏、水平井、裂縫的不同參數(shù)和尺度范圍內(nèi)數(shù)值解與解析解的關(guān)系。考慮上述附加三效應(yīng)(HFA)，并將水平井按照井段所在網(wǎng)格與新分井段一一對應(yīng)的關(guān)系進(jìn)行多段井的構(gòu)建。模擬中，設(shè)井筒壁面粗糙度為0.001 m。

3.1 裂縫參數(shù)

在壓裂水平井的產(chǎn)量模擬中，描述壓裂后產(chǎn)生的裂縫的主要物理量有裂縫的滲透率、裂縫開度、裂縫延伸長度、裂縫間距、開裂的條數(shù)等。其中，穩(wěn)態(tài)解析解模型對于裂縫分布的限制較多，如裂縫垂直均勻分布在水平井段上(裂縫與水平井段正交，裂縫間距相同)、裂縫貫穿地層(裂縫開裂深度與地層厚度相等)。表2～表4是裂縫滲透率、裂縫長度和裂縫條數(shù)在一定變化范圍內(nèi)變化時的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解結(jié)果比較。在計算過程中，通過數(shù)值模擬輸出的壓差作為解析解計算的已知量，計算后得到的結(jié)果與初設(shè)的已知產(chǎn)量進(jìn)行對比，其中，表2～表4解析解模擬結(jié)果后面括號中的值是解析解相對數(shù)值解模擬結(jié)果的相對誤差。

表2 裂縫滲透率(裂縫開度)變化時對比結(jié)果Table 2 Model comparison for different fracture permeability(fracture width)

表3 裂縫長度變化時對比結(jié)果Table 3 Model comparison for different fracture length

表4 裂縫條數(shù)(裂縫間距)變化時對比結(jié)果Table 4 Model comparison for different fracture numbers (distance between each fracture)

通過對比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滲透率較小時，郎兆新方法的計算結(jié)果大大高估實(shí)際產(chǎn)量；當(dāng)滲透率較大時，苗和平方法的計算結(jié)果大大高估實(shí)際產(chǎn)量;而范子菲方法的計算結(jié)果在模擬滲透率范圍內(nèi)相對誤差較小，擬合效果更好。將三者的解析表達(dá)式放在一起進(jìn)行比對后也可以發(fā)現(xiàn)，范子菲方法對于裂縫分布和開展?fàn)顟B(tài)的描述更豐富，考慮因素更全面，失真程度更低。此外，多段井模擬時各項(xiàng)生產(chǎn)壓差均在一定程度上高于普通井模式，其中，有部分算例為了保證穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)，使得油藏產(chǎn)率降低，自然多段井帶來的附加效應(yīng)影響也將減少。

3.2 油藏屬性參數(shù)

壓裂水平井的產(chǎn)量同樣與描述油藏和基質(zhì)物性(滲透率與孔隙度)相關(guān)。大尺度油藏的供給量更大，水平井的產(chǎn)量在相同壓差下也就更高。對于多孔介質(zhì)來說，滲透度與孔隙度呈正相關(guān)關(guān)系，兩者都影響著油藏允許流體通過的能力，即油藏供給能力。以下就油藏厚度、油藏尺度以及基質(zhì)物性等三個物理量在不同取值范圍條件下進(jìn)行模擬比較，對比結(jié)果見表5～表7。其中，裂縫長度取50 m，其余參數(shù)均和前述模型相同。模擬結(jié)果表明，油藏厚度變化對郎兆新方法和范子菲方法的計算誤差影響小，而在油藏厚度較小時，苗和平方法的計算誤差大。油藏尺度的變化對三種方法的計算結(jié)果影響都相對較小，特別是范子菲方法，其計算誤差在10%以內(nèi)。油藏滲透率的影響中，在致密儲層，郎兆新方法的計算結(jié)果偏小，誤差達(dá)到70%以上，范子菲方法和苗和平方法的計算結(jié)果相對可靠；在低滲儲層(1 mD)，苗和平方法會大大高估實(shí)際的產(chǎn)量，誤差達(dá)到了170%。

表5 油藏厚度變化時對比結(jié)果Table 5 Model comparison for different reservoir thickness

表6 油藏尺度變化時對比結(jié)果Table 6 Model comparison for different reservoir size

表7 基質(zhì)滲透率(孔隙度)變化時對比結(jié)果Table 7 Model comparison for different matrix permeability (porosity)

3.3 水平井參數(shù)

壓裂水平井水平段長度模擬與解析模型計算的結(jié)果見表8。由表8可知，郎兆新方法的預(yù)測結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果最接近，但是采用多段井模擬結(jié)果與常規(guī)井模擬結(jié)果在水平段較長時出現(xiàn)了明顯的差異。當(dāng)水平段為1 000 m時，多段井模擬結(jié)果的壓差比常規(guī)井的模擬結(jié)果有超過1 MPa的差異。但是解析模型多段井模擬的結(jié)果擬合更好，這體現(xiàn)出了解析解對HFA三效應(yīng)產(chǎn)生的額外壓降有較好的適應(yīng)。

表8 水平井長度變化時常規(guī)井與多段井模擬結(jié)果Table 8 Model comparison for different well length by using conventional well and multi-stage well modes

為了進(jìn)一步探究三效應(yīng)在附加壓差中各自的貢獻(xiàn)大小，從Eclipse模擬器在多段井模擬條件下對HFA三效應(yīng)的定義以及數(shù)值模擬的實(shí)例進(jìn)行討論。

對于H(Hydrostatic)效應(yīng)，Eclipse模擬器只強(qiáng)調(diào)流體由于重力作用導(dǎo)致的混合，在水平井段中間，這種效應(yīng)可以忽略。

對于F(Friction)效應(yīng)，Eclipse中對其帶來的附加壓降有這樣的計算表達(dá)，計算見式(12)～式(14)。

(12)

(13)

其中，

(14)

式中：2 000≤Re≤4 000，f通過線性內(nèi)插法求得；cf=4.343×10～15；cr=0.014 74；f為曼寧系數(shù)；l為水平井段長；為流體密度；D為井筒內(nèi)徑；Qq為局部流量(段內(nèi)流量)，m3/d；e為井筒壁面粗糙度(算例中0.001 m)；μ為流體黏度，cP；Re為雷諾數(shù)。其他物理量均采用SI單位制。由此可以看出，摩阻對生產(chǎn)壓差的影響與流體在井筒內(nèi)流態(tài)通過雷諾數(shù)相關(guān)聯(lián)，特別是當(dāng)基質(zhì)供給量較大時，水平井各段射孔匯流量較均勻，一定程度上加大了流體在井筒內(nèi)的混合程度，流態(tài)趨于湍流化，附加壓差較大。

對于A(Acceleration)效應(yīng)，Eclipse中對流速水頭損失的描述見式(15)。

(15)

式中，cf=2.679×10～15；ω為流體質(zhì)量流速，kg/s；A為水平井井筒匯流面積，m2；μ為流體黏度，cP。

從上述表達(dá)式可以分析得出，當(dāng)基質(zhì)供給量較大時，水平井前后段流速差異小，流速水頭較小。由表9可知，當(dāng)水平井長度增加時，由于流體與井筒壁面的接觸面積增大，摩阻對生產(chǎn)壓差的影響增長顯著，而流速水頭帶來的附加壓差影響很小。

表9 水平井長度變化時多段井模擬三效應(yīng)影響Table 9 Effects of horizontal well length on HFA by using multi-stage well mode

4 結(jié) 論

1) 目前較成熟的壓裂水平井產(chǎn)量解析解公式都是基于經(jīng)典的“雙孔雙滲”模型展開的，其理論基礎(chǔ)是達(dá)西公式和平面徑向流假設(shè)。各類解析模型的差異主要是對于基質(zhì)和裂縫中流體向水平井段的流動過程的處理方法不同而造成的。其中，郎兆新方法和苗和平方法都只考慮了裂縫對生產(chǎn)的貢獻(xiàn)；而范子菲方法則分別考慮了基質(zhì)和裂縫對生產(chǎn)的貢獻(xiàn)，最終通過匯流面積得出的權(quán)重進(jìn)行產(chǎn)量的分配。

2) 對于各向同性的單相常規(guī)儲層而言，解析公式僅能在一定油藏尺度及參數(shù)范圍內(nèi)預(yù)測壓裂水平井的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量，但不適用于全部。因?yàn)榻馕鼋饽Ｐ托瓒x在嚴(yán)格的達(dá)西流條件下，即產(chǎn)量與生產(chǎn)壓差成線性關(guān)系，但實(shí)際數(shù)值模擬時滲透率和壓縮系數(shù)也都與生產(chǎn)壓差相關(guān)，這種耦合關(guān)系需要數(shù)值迭代來完成，所以會造成一定的模擬誤差。

3) 每個解析解公式都會有各自的擬合最佳尺度和參數(shù)范圍。從模擬結(jié)果上看，在低滲致密儲層中，范子菲方法和苗和平方法預(yù)測精度較高，而范子菲方法在擬合水平井長度和裂縫參數(shù)上也具有一定的優(yōu)勢。