拱形-線形非線性磁力耦合壓電俘能器建模與特性分析

陳孝玉，張旭輝，左 萌，樊紅衛(wèi)，汪 林

(1.西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710054；2.陜西省礦山機(jī)電裝備智能監(jiān)測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054;3.遵義師范學(xué)院 工學(xué)院，貴州 遵義 563006)

近十年來，能量收集技術(shù)受到了學(xué)術(shù)界與工程界廣泛的關(guān)注[1]。基于壓電效應(yīng)的振動能量收集技術(shù)具有能量密度高、體積小、便于與電路集成等優(yōu)點(diǎn)，有望解決便攜式設(shè)備、無線傳感節(jié)點(diǎn)等微電子設(shè)備自供電問題，已成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)[2]。

為實(shí)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)換，懸臂直梁式壓電俘能器由于結(jié)構(gòu)簡單、制造方便等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于能量收集。為提高能量收集性能，大量研究對直梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化與設(shè)計(jì)。Erturk等[3]設(shè)計(jì)了一種L型梁，研究表明這種L型梁具有2階接近的諧振頻率，相對于傳統(tǒng)直梁，可以拓寬工作頻帶；Yang等[4]提出了一種拱形結(jié)構(gòu)梁，仿真表明拱形結(jié)構(gòu)具有更大、均勻的應(yīng)力分布，相對于直梁，拱形結(jié)構(gòu)梁有更高的電壓輸出和能量轉(zhuǎn)換效率，且雙拱形結(jié)構(gòu)梁能量轉(zhuǎn)換效率最高；Cao等[5]設(shè)計(jì)了一種具有2種不同厚度截面的梁，研究結(jié)果表明其峰值輸出電壓與功率分別是傳統(tǒng)直梁的1.69和1.8倍，尤其適用于低頻環(huán)境；Wang等[6]設(shè)計(jì)了一種截面厚度變化的懸臂梁，通過有限元仿真表明，受力時(shí)梁表面應(yīng)變較傳統(tǒng)直梁更大、更均勻，均勻的應(yīng)變有利于減小壓電材料電荷流動能量的耗散，實(shí)驗(yàn)表明這種梁可以較直梁提高78%能量收集效率。

以上研究表明通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以改善俘能器俘能性能。為拓寬俘能器工作頻帶，進(jìn)一步提高能量收集效率，在懸臂梁結(jié)構(gòu)中引入磁力非線性以拓頻受到廣泛研究。Erturk等[7]通過實(shí)驗(yàn)證明了磁力耦合非線性可以引起雙穩(wěn)態(tài)高能阱間振動，從而提高能量收集器收集性能；在簡諧激勵條件下，Zhou等[8]驗(yàn)證了雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的多解范圍與寬頻特性；張旭輝等[9]設(shè)計(jì)了一種復(fù)合梁式雙穩(wěn)態(tài)振動能量收集器，實(shí)驗(yàn)表明磁力耦合作用下俘能器有效帶寬是無磁力作用下帶寬的3.1倍；Zhao等[10]在隨機(jī)激勵條件下，通過比較分析證明了雙穩(wěn)態(tài)能量收集器性能優(yōu)于單穩(wěn)態(tài)收集器；Fang等[11]在脈沖激勵條件下，證明具有磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)特性的能量收集裝置較線性結(jié)構(gòu)可以提高22.9%的功率輸出。

以上研究表明改善懸臂梁結(jié)構(gòu)與構(gòu)建雙穩(wěn)態(tài)俘能器均有助于提高壓電俘能器能量收集性能，而當(dāng)前的雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器研究仍多采用直梁結(jié)構(gòu)，為此，設(shè)計(jì)了基于拱形-線形梁結(jié)構(gòu)磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)能量采集器。利用廣義擴(kuò)展Hamilton原理建立了其動力學(xué)模型,揭示不同磁距、激勵條件等對能量采集器振動特性影響關(guān)系并進(jìn)行驗(yàn)證，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了拱形-線形結(jié)構(gòu)較直梁結(jié)構(gòu)俘能器的優(yōu)越性。

1 結(jié)構(gòu)模型

1.1 拱形-線形壓電俘能器結(jié)構(gòu)

拱形-線形壓電俘能器總體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其主要由基座、拱形-線形懸臂梁、磁塊A與磁塊B、壓電材料(PVDF)所構(gòu)成。不同于傳統(tǒng)直梁式壓電懸臂梁，拱形-線形壓電俘能器采用半徑R的圓弧狀曲梁與直梁組合結(jié)構(gòu)。壓電俘能器總體呈拱形-線形狀，壓電材料粘貼于懸臂梁拱形部分表面，懸臂梁自由端磁塊B與固定于基座磁塊A保持磁力相斥關(guān)系。懸臂梁在上下振動過程中，受曲梁結(jié)構(gòu)曲率變化的影響，會產(chǎn)生非線性恢復(fù)力，同時(shí)，磁塊A與磁塊B適當(dāng)間距會使系統(tǒng)呈雙穩(wěn)態(tài)特性，這將有利于拓寬壓電俘能器有效工作頻帶，提高俘能性能。

圖1 拱形-線形壓電俘能器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of the ALEH

1.2 數(shù)學(xué)建模

為建立拱形-線形壓電俘能器力-電-磁耦合動力學(xué)模型，本文采用廣義Hamilton變分原理

(1)

式中:δ為變分符號;Tk為壓電俘能器系統(tǒng)動能;U為系統(tǒng)勢能;We為壓電材料(PVDF)電能;Wnc為系統(tǒng)非保守力虛功;Um為兩磁鐵間磁力勢能。

系統(tǒng)動能Tk可以表示為

Tk=T1+T2+T3

(2)

式中：T1表示拱形-線性壓電俘能器金屬基體層動能;T2表示壓電片動能;T3表示自由端磁鐵質(zhì)量塊B動能。故相應(yīng)表達(dá)式如下

(3)

式中:u(x,t)為懸臂梁橫向位移;Vp、Vs分別為壓電層體積與金屬基體層體積;m0為磁鐵質(zhì)量塊B質(zhì)量。根據(jù)壓電材料能量轉(zhuǎn)換方式及本構(gòu)方程，壓電材料電能We可表示為

(4)

系統(tǒng)非保守力虛功Wnc的變分δWnc可表示為

(5)

式中:m(x)為單位長度懸臂梁質(zhì)量;z(t)為基座位移;Q為壓電元件表面電荷;v為有效電壓。

為建立拱形-線形壓電懸臂梁振動微分方程，應(yīng)用Rayleigh-Ritz法將梁的橫向相對位移u(x,t)展開為離散形式

(6)

式中:i表示壓電懸臂梁的振動模態(tài)階數(shù);φi(x)表示拱形-線形梁第i階彎曲模態(tài)振型函數(shù);ri(t)表示第i個廣義模態(tài)坐標(biāo)。由于拱形-線形壓電俘能器主要低頻、低幅環(huán)境振動能量的收集，其結(jié)構(gòu)響應(yīng)主要為一階模態(tài)，二階及以上模態(tài)的影響可以忽略。故僅考慮組合梁一階模態(tài)變形，這里，采用一端夾緊，一端自由懸臂梁容許函數(shù)近似拱形-線形梁一階振型函數(shù)[12]，故有：

(7)

結(jié)合以上等式，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，Kirchhoff’s定律，拱形-線形壓電懸臂梁振動微分方程可表示為

(8)

(9)

式中：M為模態(tài)質(zhì)量;C為模態(tài)阻尼;θ為機(jī)電耦合系數(shù);Cp為壓電元件電容。其可以分別表示為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中,Frr、Fmr分別表示模態(tài)坐標(biāo)下拱形-線形壓電懸臂梁自身結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力及由磁力引入產(chǎn)生的非線性磁力，將在下節(jié)討論確定。

1.2.1 磁力計(jì)算

準(zhǔn)確的計(jì)算拱形-線形壓電俘能器中非線性磁力大小對于分析其振動特性尤為關(guān)鍵，當(dāng)前對于非線性磁力的計(jì)算多采用磁偶極子法。磁偶極子法忽略磁塊尺寸對位姿的影響，將其看作一對磁偶點(diǎn)進(jìn)行建模，該方法在兩磁塊間距相對于磁塊自身尺寸較大的場合可以獲得較好的建模精度，而當(dāng)間距較小時(shí)，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際有較大誤差，Wang等[13]以實(shí)驗(yàn)證明了該結(jié)論。介于文中兩磁塊磁距間隔較小、且需要調(diào)節(jié)距離。為獲得準(zhǔn)確磁力模型，考慮磁塊尺寸對偏轉(zhuǎn)位置關(guān)系的影響，采用磁化電流法計(jì)算磁塊間磁力大小。磁化電流法理論依據(jù)為經(jīng)典的電磁理論，其認(rèn)為導(dǎo)磁材料在磁場中受到的力可歸結(jié)為分子電流所受的力，但由于磁場在導(dǎo)磁材料中分布復(fù)雜，直接采用該理論計(jì)算磁力比較困難，這里假定磁場在導(dǎo)磁材料區(qū)域中分布均勻，磁塊A、B空間位置示意圖如圖2所示。

圖2 磁力模型Fig.2 Magnetic field model

設(shè)磁塊A、B磁化強(qiáng)度大小分別為Ma,Mb,其長、寬、高分別為la、wa、ha及l(fā)b、wb、hb，懸臂梁長度為，以磁塊A中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，其磁化強(qiáng)度沿y方向，根據(jù)磁化電流理論，則其在空間中任意坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z)處沿y軸產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度可表示為[14]

(15)

其中：

(16)

(17)

則磁塊B受磁塊A產(chǎn)生沿x方向的磁力大小可表示為[15]

Fx=μ0MbS(Hy1-Hy2)

(18)

式中:μ0表示真空磁導(dǎo)率;S表示磁塊B的上(或下)表面面積;Hy1和Hy2分別表示磁塊A在磁塊B下表面和上表面中心處產(chǎn)生沿x軸方向上的磁場強(qiáng)度。

拱形-線形壓電俘能器在振動過程中，磁塊B沿x軸位置會不斷發(fā)生改變，且角度會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，為確定磁塊B的坐標(biāo)，記磁塊B下、上表面中心點(diǎn)分別為O1和O2，發(fā)生與水平方向呈φ角度的偏轉(zhuǎn)，由于懸臂梁剛度較大，通常偏轉(zhuǎn)角度較小，可認(rèn)為∠φ=∠BOC，故可采用以下關(guān)系式確定O1和O2相應(yīng)坐標(biāo)，其分別為

(19)

(20)

則Fx可以表示為

(21)

由于磁化電流法磁力表達(dá)式較復(fù)雜，為便于動力學(xué)方程求解計(jì)算，采用多項(xiàng)式擬合方法將磁力Fm表示為關(guān)于位移u(L,t)的三次多項(xiàng)式，可得

Fm=c1u3(L,t)+c3u(L,t)

(22)

1.2.2 結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的確定

拱形-線形壓電俘能器采用了拱形與直梁組合結(jié)構(gòu)，振動過程中，不同于直梁結(jié)構(gòu)呈線性恢復(fù)力，其在振動時(shí)曲梁部分曲率半徑會隨著振動方向的改變而發(fā)生變化，繼而產(chǎn)生自身結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力。

為確定拱形-線形壓電俘能器結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力，采用實(shí)驗(yàn)測量后數(shù)據(jù)擬合方式獲取。將拱形-線形壓電俘能器曲梁端固定于基座，測力計(jì)(型號YLK-10)緩慢推動自由端，并記錄位移-恢復(fù)力數(shù)據(jù)，反復(fù)幾次測定后取其平均值，然后采用多項(xiàng)式擬合位移-恢復(fù)力關(guān)系，可得如下拱形-線形壓電俘能器結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力Fr與位移u(L,t)關(guān)系式

Fr=k1u3(L,t)+k2u2(L,t)+k3u(L,t)

(23)

式(23)中系數(shù)k1、k2、k3分別為29 186，-238，16。圖3是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合后拱形-線形壓電俘能器結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力Fr與位移u(L,t)的關(guān)系曲線。從圖3中可以看出，由于拱形-線形壓電俘能器曲梁結(jié)構(gòu)的存在，使得結(jié)構(gòu)自身恢復(fù)力與位移不再是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系，同時(shí)，位移-恢復(fù)力曲線并不是對稱曲線，說明俘能器在振動過程中正、反方向恢復(fù)力大小并不相同，這主要是由于振動方向改變導(dǎo)致曲梁曲率半徑變化不對稱所致。

圖3 拱形-線形壓電俘能器非線性恢復(fù)力曲線Fig.3 The nonlinear restoring force curve of arc-linear beam

1.3 勢能特性分析

結(jié)合以上分析，系統(tǒng)總勢能可表示為

U=Ur-Um

(24)

式中:U為系統(tǒng)總勢能;Ur為拱形-線形梁恢復(fù)力勢能;Um為磁力勢能。改變磁間距會影響磁力，從而影響拱形-線形壓電俘能器特性，不同磁距下系統(tǒng)總勢能圖如圖4所示，由圖可知，隨著磁距的減小，會形成2個明顯的勢阱，構(gòu)成雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器。而隨著距離的增大，勢阱深度變淺，當(dāng)磁距大于16 mm后系統(tǒng)接近于單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。繼續(xù)增大磁距，超過18 mm后，磁力減弱，雙穩(wěn)態(tài)消失，拱形-線形壓電俘能器退化非線性單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。故磁距d=16 mm時(shí)，系統(tǒng)呈雙穩(wěn)態(tài)特性，且具有低的勢壘與勢阱，這意味相對于其它磁力位置，這一磁距條件下系統(tǒng)大幅阱間振動所需能量更小。同時(shí)，從勢能圖可以看出，拱形-線形壓電俘能器勢能與傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器形狀并不相同，勢能圖呈左高右低非對稱形狀，這主要是由于拱形-線形結(jié)構(gòu)梁非對稱恢復(fù)力導(dǎo)致。

圖4 不同磁距條件下系統(tǒng)勢能曲線Fig.4 The potential curves of the system at different distances

2 靜力學(xué)對比分析

目前壓電俘能器研究中較多采用直梁為基體結(jié)構(gòu)，直梁結(jié)構(gòu)簡單，易于制造，但存在剛度大，應(yīng)力、應(yīng)變分布不均等缺點(diǎn)，這將影響壓電材料發(fā)電性能。為對比拱形-線形梁與直梁結(jié)構(gòu)對壓電材料力學(xué)性能的影響，分別選取長度為40 mm，寬度8 mm拱形-線形梁與直梁，材料為鈹青銅，其中拱形-線形梁曲梁部分半徑為10 mm，其余參數(shù)均與直梁保持一致。長度32 mm，寬8 mm壓電材料(PVDF)，分別粘貼于拱形-線形梁曲梁部分與傳統(tǒng)直梁固定側(cè)表面。在其自由端施加0.5 N作用力，利用有限元軟件ANSYS分別對其進(jìn)行靜力學(xué)分析，以對比同等作用力條件下，兩種懸臂梁上壓電材料(PVDF)表面應(yīng)變關(guān)系。應(yīng)變有限元計(jì)算結(jié)果如圖5所示，對比圖5(a)、(b)應(yīng)變云圖可以發(fā)現(xiàn)，拱形結(jié)構(gòu)中PVDF總能在較多的區(qū)域保持高的應(yīng)變值。兩者應(yīng)變值沿長度方向變化對比圖如圖6所示。

(a) 直梁結(jié)構(gòu)PVDF應(yīng)變分布圖

從圖6可以看出:壓電材料最大應(yīng)變均出現(xiàn)在固定端，直梁壓電材料最大應(yīng)變稍高于曲梁壓電材料應(yīng)變，前者沿長度方向呈線性急劇下降，這符合材料力學(xué)理論結(jié)果，最小值低于后者；由于拱形結(jié)構(gòu)的影響，后者沿長度方向下降較為平緩，平均應(yīng)變高于前者。這表明貼于拱形-線形梁上壓電片平均應(yīng)變更大，更加均勻。而大的平均應(yīng)變有利于產(chǎn)生大的電壓輸出，均勻的應(yīng)變可以減少壓電材料電荷從高應(yīng)變區(qū)向低應(yīng)變區(qū)流動所需的能量消耗，有利于提高壓電材料電壓輸出和能量轉(zhuǎn)換效率[16]。故利用拱形-線形結(jié)構(gòu)梁拱形特殊的應(yīng)變分布有利于獲得高的電壓，提高俘能效率。

圖6 拱形-線形梁與直梁上PVDF沿長度方向應(yīng)變分布對比圖Fig.6 Comparison of strain distribution of PVDF along length for the arc-linear beam and the straight beam

3 系統(tǒng)動力學(xué)分析

結(jié)合式(6)、(7)，可以由非線性磁力Fm與結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力Fr表達(dá)式，推導(dǎo)出模態(tài)坐標(biāo)下壓電俘能器末端磁力Fmr與非線性恢復(fù)力Frr表達(dá)式，代入動力學(xué)方程(8)中，即可得到拱形-線形非線性磁力耦合壓電俘能器動力學(xué)方程，故動力學(xué)方程可表示為

(25)

(26)

r(t)=r0(t)+r1(t)sin(ωt)+r2(t)cos(ωt)

(27)

v(t)=v1(t)sin(ωt)+v2(t)cos(ωt)

(28)

式中，r0(t)表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡位置，r表示穩(wěn)態(tài)位移幅值，其可以由下式確定

(29)

將式(27)、(28)代入系統(tǒng)動力學(xué)方程，令方程兩邊常數(shù)項(xiàng)、cos(ωt)及sin(ωt)系數(shù)相同，并忽略高次諧波項(xiàng)，可得以下等式

(30)

(k3-c3)r1-θv1=0

(31)

(k3-c3)r2-θv2=-HsA

(32)

(33)

(34)

在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，以上式中所有關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均為零，由此，穩(wěn)態(tài)位移與電壓響應(yīng)可分別由式(35)、(36)計(jì)算確定。

(35)

(36)

諧波平衡解既包括穩(wěn)定解，也含有不穩(wěn)定解，穩(wěn)定解可以在實(shí)驗(yàn)或數(shù)字仿真中實(shí)現(xiàn)，而不穩(wěn)定解無法通過實(shí)驗(yàn)獲取，穩(wěn)定解判斷可以通過系統(tǒng)動力學(xué)方程雅克比矩陣進(jìn)行判斷。

根據(jù)勢能分析結(jié)果與上述求解分析，取磁間距d=16 mm，選擇加速度幅值A(chǔ)=[0.5g,1.0g,1.5g]，分析不同激勵條件對系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響關(guān)系。系統(tǒng)頻響曲線如圖7所示，其中圖7(a)為不同激勵強(qiáng)度下末端位移-頻率響應(yīng)曲線，圖7(b)為不同激勵強(qiáng)度下穩(wěn)態(tài)電壓(開路)-頻率響應(yīng)曲線。由于非線性動力學(xué)方程在一定頻帶范圍，系統(tǒng)會出現(xiàn)多解特征，圖中實(shí)線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解。實(shí)現(xiàn)大幅阱間振蕩最有利于提升發(fā)電性能，故主要針對系統(tǒng)大幅響應(yīng)進(jìn)行分析，圖7(a)中位移r>8 mm時(shí)，系統(tǒng)作大幅阱間振動，相應(yīng)地圖7(b)中電壓v>20 V時(shí)，系統(tǒng)作高能輸出狀態(tài)。對比圖7(a)、7(b)可知，在同等激勵強(qiáng)度下，系統(tǒng)大幅阱間振動位移與高能輸出電壓均隨頻率的增大而增大，系統(tǒng)大幅阱間振動與高能電壓輸出幅值與帶寬變化規(guī)律具有一致性，即系統(tǒng)大幅阱間振動頻帶也即高能電壓輸出頻帶。這是由于系統(tǒng)大幅阱間振動時(shí)位移增大，致使拱形-線形懸臂梁變形增大，相應(yīng)的壓電材料形變變大，則產(chǎn)生大的電壓輸出。

由圖7(a)不同激勵強(qiáng)度下末端位移-頻率響應(yīng)曲線可知，當(dāng)加速度幅值A(chǔ)=0.5g時(shí)，系統(tǒng)大幅阱間振動響應(yīng)頻率在7.2 Hz以下，其大幅響應(yīng)位移最大值為11.3 mm，由圖7(b)可知，相應(yīng)的電壓幅值約為29.4 V；當(dāng)激勵幅值為1.0g時(shí)，系統(tǒng)大幅阱間響應(yīng)頻率增至11.1 Hz，其大幅響應(yīng)位移最大值增至15.4 mm，由圖7(b)可知，相應(yīng)的電壓幅值約為37.8 V；進(jìn)一步增大激勵幅值至1.5g,系統(tǒng)大幅阱間響應(yīng)頻率增至14.2 Hz，其大幅響應(yīng)位移最大值增至17.3 mm，由圖7(b)可知，相應(yīng)的開路電壓幅值約為44.8 V；

A=0.5g

從圖7(a)中還可以看出，激勵幅值不僅影響大幅阱間振動帶寬與幅值，同時(shí)還影響小幅阱內(nèi)振動帶寬與幅值，當(dāng)激勵增至1.0g后，小幅阱內(nèi)振動帶寬變短，系統(tǒng)在低頻出現(xiàn)穩(wěn)定高能解；繼續(xù)增大激勵幅值至1.5g，小幅阱內(nèi)振動帶寬則進(jìn)一步變窄，穩(wěn)定高能解帶寬由3.0 Hz增至5.8 Hz。隨著激勵頻率增大，由于需要更大能量維持穩(wěn)定高能解，在不增加激勵幅值條件下，系統(tǒng)又處于高、低能量共存狀態(tài)，直至無高能解。

從以上分析可知，外界激勵水平是影響雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器大幅響應(yīng)帶寬與幅值的重要因素。同時(shí)，由于磁距d的變化將影響非線性磁力的大小，會對系統(tǒng)響應(yīng)特性構(gòu)成影響。且磁距d便于調(diào)節(jié)，故掌握磁距變化對系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響關(guān)系具有重要工程價(jià)值。

取激勵水平A=1.5g，選取不同磁距d=[12 mm,16 mm],研究同一激勵水平下磁距變化對壓電俘能器響應(yīng)特性影響關(guān)系。不同磁距條件系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線圖8所示，圖8(a)為不同磁距條件位移-頻率響應(yīng)曲線；圖8(b)為不同磁距條件穩(wěn)態(tài)電壓(開路)-頻率響應(yīng)曲線。由圖8(a)可知，當(dāng)磁距d=12 mm時(shí)，系統(tǒng)大幅響應(yīng)帶寬為15.2 Hz，位移幅值為16.4 mm，如圖8(b)所示，此時(shí)相應(yīng)電壓輸出幅值為42.1 V；當(dāng)磁距增至16 mm后，由圖8(a)可知，系統(tǒng)大幅響應(yīng)帶寬降至14.2 Hz，位移幅值為17.3 mm，如圖8(b)所示，此時(shí)相應(yīng)電壓輸出幅值為44.8 V；這表明系統(tǒng)磁距增加后，減小了拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器大幅阱間振動帶寬，但大幅振動位移幅值和穩(wěn)態(tài)電壓幅值有所增加。這主要是由于磁距增加后，磁力減弱，勢阱變淺，在同一激勵條件下，系統(tǒng)可能突破勢阱限制，形成更大的振幅所致；而在小磁距作用下，系統(tǒng)難以突破兩側(cè)深的勢阱形成更大的振幅。對比圖8(a)、(b)不同磁距系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線還可以看出，磁距變化對大幅阱間振動軌道高度有著顯著影響，磁距由12 mm增至16 mm后，大幅阱間振動軌道高度從13.5 mm降至10.6 mm，這是由于小的磁鐵間距會產(chǎn)生大的非線性磁斥力，使勢阱距離平衡點(diǎn)距離變遠(yuǎn)，拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器勢阱寬度變寬所致。

d=12 mm

以上表明磁間距對于拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器響應(yīng)特性有顯著影響，適當(dāng)減小磁距可以拓寬系統(tǒng)大幅響應(yīng)頻帶，有利于增大系統(tǒng)平均輸出電壓。但過低的磁距會形成大的勢壘高度，克服勢壘則需要大的系統(tǒng)能量或外部作用力，從而在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)大幅阱間振動。故磁距的選擇需與外部激勵水平及條件綜合考慮確定。

進(jìn)一步增大磁距，磁力減小，此時(shí)系統(tǒng)接近于無磁力狀態(tài)，由于拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器不同于線形直梁，由前述分析可知，其自身結(jié)構(gòu)呈非線性恢復(fù)力，令動力學(xué)方程中c1、c3系數(shù)為零，改變不同激勵條件，以分析拱形-線形壓電俘能器結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力對頻率響應(yīng)曲線影響關(guān)系。無磁力條件下位移-頻率響應(yīng)曲線如圖9所示，由圖9可知，隨著激勵頻率的增加，無磁力狀態(tài)下的拱形-線形壓電俘能器頻響曲線向右傾斜，呈現(xiàn)硬特性，且隨著激勵強(qiáng)度增加，硬特性越明顯。

圖9 無磁力條件下系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線Fig.9 The frequency response curve of the system at nonmagnet condition

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器理論分析的正確性，搭建拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)裝置如圖10(a)所示，主要包括：計(jì)算機(jī)、主控制器、功率放大器、振動臺、示波器、基座、拱形-線形壓電能量采集器等組成。拱形-線形壓電能量采集器由拱形-線形梁、壓電薄膜PVDF及磁鐵質(zhì)量塊(尺寸10 mm×10 mm×5 mm)組成。拱形半徑10 mm，線形梁長度20 mm，寬度8 mm，厚度0.2 mm，梁材質(zhì)為鈹青銅，單層PVDF壓電薄膜沿拱形-線形梁拱形部分貼合，PVDF長度為32 mm，寬度8 mm，厚度0.11 mm。為便于與傳統(tǒng)直梁對比，制作長度40 mm直梁壓電俘能器，其余參數(shù)值與拱形-線形壓電能量采集器保持一致，兩者結(jié)構(gòu)如圖10(b)所示。拱形-線形壓電能量采集器一端固定于基座，另一端保持自由，自由端磁鐵塊與固定于基座永磁鐵形成斥力關(guān)系，計(jì)算機(jī)與主控制相連用于信號控制與數(shù)據(jù)處理，信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號，通過功率放大器激勵振動臺作正弦運(yùn)動，能量采集器輸出電壓通過示波器采集獲取，實(shí)驗(yàn)過程中，可以通過調(diào)節(jié)基座螺栓以改變兩磁鐵塊間距離。

(a) 實(shí)驗(yàn)裝置

首先調(diào)節(jié)磁鐵間距d=16 mm，選取激勵頻率范圍為10～20 Hz，分別選取激勵水平為0.5g、1.0g、1.5g進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證不同激勵條件對拱形-線形壓電能量采集器響應(yīng)特性的影響關(guān)系，拱形-線形壓電能量采集器掃頻輸出電壓如圖11所示。

從圖11可以看出，當(dāng)激勵水平A=0.5g時(shí)，系統(tǒng)未出現(xiàn)大幅響應(yīng)輸出；當(dāng)激勵水平A=1.0g時(shí)，系統(tǒng)高能電壓輸出幅值為34.3 V，大幅響應(yīng)最大頻率為13.2 Hz，相應(yīng)仿真結(jié)果電壓幅值為37.8 V，頻率為11.1 Hz；當(dāng)激勵水平A=1.5g時(shí)，高能電壓輸出幅值為39.5 V，大幅響應(yīng)最大頻率為13.8 Hz，相應(yīng)仿真結(jié)果電壓幅值為44.8 V，頻率為14.2 Hz。

圖11 不同激勵強(qiáng)度下掃頻電壓輸出圖Fig.11 The sweep voltage diagram with different excitation intensity

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：同一激勵水平下，大幅響應(yīng)電壓輸出隨頻率增大而增大；激勵幅值增大，拱形-線形壓電能量采集器高能輸出電壓帶寬變寬，電壓幅值隨之增大,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果定性吻合。

為驗(yàn)證不同磁間距對系統(tǒng)響應(yīng)性能的影響，取激勵水平A=1.5g，分別調(diào)節(jié)磁距d=12 mm與d=16 mm進(jìn)行掃頻(頻率范圍10～20 Hz)實(shí)驗(yàn)，不同磁距下能量采集器掃頻電壓輸出如圖12所示。

從圖12中可以看出，電壓輸出隨著激勵頻率的增大而逐漸增大。當(dāng)磁距d=12 mm時(shí)，其電壓輸出幅值為35.2 V，相應(yīng)仿真值為42.1 V；磁距增加至16 mm后，電壓輸出幅值為39.5 V，相應(yīng)仿真值為44.8 V。實(shí)驗(yàn)表明：磁距增大后，電壓輸出幅值增大；同時(shí)，系統(tǒng)大幅響應(yīng)的帶寬有所減少。

圖12 不同磁距條件掃頻電壓輸出圖Fig.12 The sweep voltage diagram at different magnetic distance

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論定性吻合，但定量上存在誤差。誤差主要由于拱形-線形梁振動過程中存在軸向變形，且相對于傳統(tǒng)直梁軸向變形位移較大，這會影響磁鐵間水平間距，使磁力理論計(jì)算與實(shí)際值間構(gòu)成誤差，從而影響模型預(yù)測精度；其次，壓電材料與拱形部分間貼合材料與貼合狀況也會對系統(tǒng)發(fā)電性能產(chǎn)生影響。

調(diào)節(jié)控制器輸出信號，改變激勵水平A=1.0g,對移除基座磁鐵與有磁鐵(d=16 mm)拱形-線形壓電能量采集器進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)，以比較有、無磁鐵對壓電俘能器響應(yīng)特性影響關(guān)系，系統(tǒng)掃頻電壓輸出對比如圖13所示，從圖中可以看出，無磁鐵時(shí)拱形-線形壓電能量采集器大幅響應(yīng)頻帶較窄，約為1 Hz，而施加磁力后壓電俘能器大幅響應(yīng)帶寬變寬，約為3 Hz，這表明磁力耦合壓電俘能器具有拓頻作用。同時(shí)可以看出，無磁鐵時(shí)拱形-線形壓電俘能器峰值(諧振)電壓曲線與傳統(tǒng)直梁不一致，兩側(cè)明顯不對稱。左側(cè)隨著激勵頻率增大，電壓輸出逐漸增大，增至最大值約41.6 V后，急劇下降為10 V以下，這主要是由于拱形-線形壓電俘能器非線性恢復(fù)力導(dǎo)致的硬特性所致。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與無磁力條件下拱形-線形梁頻率響應(yīng)特性理論分析定性吻合。

圖13 磁力耦合與無磁鐵系統(tǒng)掃頻電壓比較Fig.13 Comparison of frequency-swept output voltage between the ALEH and the non-magnetic system

為比較拱形-線形壓電俘能器與傳統(tǒng)直梁壓電俘能器發(fā)電性能，選用直梁長度40 mm，PVDF長度32 mm，自由端質(zhì)量塊相同，在A=1.0g激勵水平下執(zhí)行掃頻(10～20 Hz)實(shí)驗(yàn)。兩者電壓輸出響應(yīng)如圖14所示，從圖中可以看出，同等激勵條件下，兩者峰值電壓分別為41.6 V、24.1 V，拱形-線形壓電俘能器幅值電壓約為直梁輸出電壓1.7倍，拱形-線形壓電俘能器諧振頻率約11.6 Hz，直梁約為17 Hz，這表明拱形-線形梁壓電俘能器具有更低的諧振頻率。

(a) 拱形-線形俘能器掃頻電壓

保持激勵條件1.0g不改變，拱形-線形梁、直梁俘能器不同阻值條件下，在各自諧振頻率處進(jìn)行定頻實(shí)驗(yàn)，其電壓輸出比較圖如圖15所示。從圖中可以看出，在不同阻值條件下，拱形-線形壓電俘能器電壓輸出曲線總位于傳統(tǒng)直梁電壓曲線上方，這表明同等外界條件下，拱形-線形壓電俘能器輸出電壓總高于直梁。

圖15 不同阻值條件下拱形-線形梁、直梁俘能器電壓輸出比較圖Fig.15 Comparison of output voltage versus different resistance obtained from the arc-linear harvester and the straight beam harvester

為進(jìn)一步比較磁力耦合作用下拱形-線形雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器與傳統(tǒng)直梁壓電俘能器發(fā)電性能，保持激勵水平不變，在各自雙穩(wěn)態(tài)臨界磁距條件下(拱形-線形梁磁距為16 mm，直梁磁距為14 mm)，作掃頻(10～20 Hz)電壓(開路條件)發(fā)電性能實(shí)驗(yàn)，對比結(jié)果如圖16所示。

由于目前暫無評價(jià)壓電俘能器輸出性能統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，從圖16中可以看出，在同等激勵條件下，若取10 V為有效輸出電壓，拱形-線形壓電俘能器與直梁結(jié)構(gòu)俘能器有效工作頻帶均約為3.2 Hz；但前者峰值電壓為34.3 V，而后者峰值輸出電壓為25.1 V，前者峰值電壓約是后者1.3倍；且拱形-線形壓電俘能器超出20 V電壓帶寬為1 Hz，而直梁結(jié)構(gòu)僅為0.3 Hz，實(shí)驗(yàn)表明拱形-線形壓電俘能器特殊的結(jié)構(gòu)對俘能特性有顯著影響，相對于傳統(tǒng)直梁雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，拱形-線形壓電俘能器在不減少大幅響應(yīng)帶寬情況下，可以獲得更大的平均輸出電壓，提升了俘能性能。同時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)拱形-線形壓電俘能器大幅響應(yīng)頻率帶更靠近低頻區(qū)域，也更適合于低頻環(huán)境應(yīng)用。

圖16 雙穩(wěn)態(tài)拱形-線形壓電俘能器與雙穩(wěn)態(tài)直梁壓電俘能器掃頻電壓輸出比較圖Fig.16 Comparison of frequency-swept output voltage between the ALEH and the bistable straight harvester

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了基于拱形-線形結(jié)構(gòu)梁磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，基于Hamilton變分原理建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，利用諧波平衡法對動力學(xué)方程進(jìn)行求解，分析了不同磁距、不同激勵條件等對拱形-線形磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器俘能特性的影響關(guān)系，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性，對比了拱形-線形結(jié)構(gòu)梁與傳統(tǒng)直梁式俘能器發(fā)電性能，主要有以下結(jié)論：

(1) 磁力引入可以構(gòu)建拱形-線形結(jié)構(gòu)梁雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，減小磁距將增加大幅響應(yīng)帶寬，有利于系統(tǒng)在更寬頻帶俘能，但大幅響應(yīng)幅值有所減少。同時(shí)，小的磁距會產(chǎn)生大的勢壘高度，需要足夠的激勵水平或外部作用力以實(shí)現(xiàn)大幅響應(yīng)，故磁距選擇應(yīng)充分結(jié)合激勵水平與外部條件。

(2) 拱形-線形磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在磁距一定條件下，激勵水平對俘能性能的影響規(guī)律總體保持一致，即隨著激勵水平的增加，俘能器大幅位移響應(yīng)帶寬與響應(yīng)幅值均增大，這將使系統(tǒng)在更寬的頻帶獲得大的電壓輸出。

(3) 拱形-線形結(jié)構(gòu)梁較傳統(tǒng)直梁有更低的諧振頻率，應(yīng)變分布較直梁更大、均勻。同等激勵，在不減小大幅響應(yīng)帶寬條件下，拱形-線形磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)俘能器可獲得較直梁結(jié)構(gòu)俘能器更高的平均輸出電壓；故將拱形-線形梁結(jié)構(gòu)引入非線性壓電俘能器有助于提高傳統(tǒng)直梁俘能性能。同時(shí)，還可將該結(jié)構(gòu)應(yīng)用于其它多穩(wěn)態(tài)或多方向能量收集裝置，以提高傳統(tǒng)收集裝置性能。