燃料電池混合動力系統(tǒng)的極小值控制策略

高慧中，王志杰，尹韶平，路 駿，郭兆元

(中國船舶集團公司第七〇五研究所，陜西 西安 710077)

0 引 言

在過去的數(shù)十年中，越來越多的國家致力于實現(xiàn)無人水下航行器（UUV）從試驗室研究向藍海應(yīng)用的技術(shù)飛躍，使UUV憑借其具有的技術(shù)優(yōu)勢，在世界各國的海洋資源開發(fā)活動中正扮演著越來越重要的角色[1-2]。由于UUV通常具有航速低、航程長、低噪聲、大深度的特征，從而對動力系統(tǒng)提出了靜音、可快速啟停等一系列要求，基于以上原因，蓄電池驅(qū)動的電動力系統(tǒng)成為現(xiàn)階段UUV普遍采用的能源形式。然而，隨著UUV關(guān)于航程、航速、航程等技術(shù)指標(biāo)的不斷提高，蓄電池在能量密度方面的技術(shù)瓶頸卻遲遲無法突破[3]，為UUV未來的應(yīng)用前景蒙上了一層陰影。

近年來為了有效解決這一問題，行業(yè)內(nèi)的眾多專家紛紛致力于開發(fā)出具有高能量密度的動力形式以代替蓄電池，進一步提升UUV的工作性能。從現(xiàn)階段的發(fā)展情況來看，以燃料電池為代表的新型高能量密度供電技術(shù)憑借轉(zhuǎn)化效率、能量密度、循環(huán)壽命等方面的優(yōu)勢，被視為未來UUV使用的最佳能源形式[3-4]。然而值得注意的是，受到電化學(xué)轉(zhuǎn)化速率制約，燃料電池存在響應(yīng)滯后、輸出特性軟等缺點，若以燃料電池為系統(tǒng)中的唯一供能單元，將難以及時響應(yīng)UUV的負載需求，還會在大幅度負載功率變化的條件下出現(xiàn)水淹電極、缺水，甚至催化劑中毒等極端情況，大大降低燃料電池效率、縮短燃料電池壽命，而這對執(zhí)行長時間巡航任務(wù)的UUV來說是不可接受的。為了充分發(fā)揮出燃料電池的優(yōu)勢，許多學(xué)者對“燃料電池+能量存儲裝置”形式的混合動力系統(tǒng)進行了廣泛的研究[5]。由于兼具2種能量單元的技術(shù)特點，混合系統(tǒng)有效彌補了過往單一能源在使用中存在的技術(shù)缺陷，極大改善了工作特性，因而被認為是未來UUV的最佳動力系統(tǒng)形式。

采用混合動力的UUV通常使用燃料電池作為主要能源，通過蓄電池平衡瞬時動態(tài)負載達到“削峰填谷”的效果，保證燃料電池始終工作在最優(yōu)區(qū)間，從而優(yōu)化系統(tǒng)工作特性。在這一思路下，系統(tǒng)需要設(shè)計出高效的能量管理策略實現(xiàn)混合能量單元之間的動態(tài)分配[6]。在實際應(yīng)用中，為了提升控制效果，需要在算法設(shè)計過程中充分考慮負載需求、系統(tǒng)約束等因素，通過精確調(diào)節(jié)DCDC變換器的輸出電流實現(xiàn)能量分配，從而保證動力系統(tǒng)工作在最優(yōu)區(qū)間。近年來關(guān)于能量管理算法的研究百花齊放，專家學(xué)者們對諸如規(guī)則化方法[7-9]、最優(yōu)化方法[10-12]、智能方法[13-14]等進行了分析對比和驗證。極小值原理作為一種經(jīng)典最優(yōu)控制理論，最初由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金提出，該方法通過將動態(tài)規(guī)劃描述的約束優(yōu)化轉(zhuǎn)化為Hamilton無約束優(yōu)化，同時將求解全局最優(yōu)轉(zhuǎn)化為求解局部最優(yōu)[15]。從已有的研究工作中可以看到[16]，相比于動態(tài)規(guī)劃方法，極小值原理不需要整個航程信息作為先驗知識，依靠當(dāng)前時刻和過去時刻的信息就能完成局部優(yōu)化問題求解，因而更適合于實時能量控制系統(tǒng)的開發(fā)。

1 燃料電池混合動力系統(tǒng)

在燃料電池混合動力系統(tǒng)中，根據(jù)連接方式不同可分類為直接連接和間接連接。

在圖1的結(jié)構(gòu)中，在蓄電池和母線之間設(shè)置一個雙向DCDC變換器，因此可以通過控制雙向DCDC變換器對蓄電池進行充放電管理。但根據(jù)相關(guān)研究表明，這一結(jié)構(gòu)雖然在母線電壓調(diào)節(jié)上效果顯著，但電壓調(diào)節(jié)范圍上卻有所損失。除此之外，2個DCDC變換器的存在還使得系統(tǒng)無功功率增大，系統(tǒng)復(fù)雜度、重量及成本隨之提高，這對內(nèi)部空間本就狹小、重量控制精準(zhǔn)、工作效率要求嚴(yán)苛的UUV使用造成了障礙。

圖1 間接匹配拓撲Fig.1 Indirect match topology

為了簡化拓撲結(jié)構(gòu)，提出如圖2所示的拓撲結(jié)構(gòu)，在這一結(jié)構(gòu)中蓄電池不經(jīng)過DCDC調(diào)壓直接掛接在母線上，母線電壓與蓄電池輸出電壓保持一致。該型拓撲的優(yōu)勢在于燃料電池能夠充分發(fā)揮長時間工作的特點，平穩(wěn)工作在更加高效的狀態(tài)，從而延長其使用壽命[17]。同時由于只使用了一個DCDC，減小了系統(tǒng)的無功功率損耗，能夠?qū)崿F(xiàn)控制對象少、轉(zhuǎn)換效率高的目標(biāo)，更適合在UUV動力系統(tǒng)中進行應(yīng)用。

圖2 直接匹配拓撲Fig.2 Direct match topology

1.1 燃料電池模型

不同于大巴上使用的氫-空燃料電池，UUV上使用的氫-氧燃料電池使用純氧作為氧化劑，因而導(dǎo)致其陰極內(nèi)部壓力分布也有所不同。此外，氫氧電堆中質(zhì)子交換膜厚度增加、排水流道不同等因素會導(dǎo)致電堆的輸出特性也有所不同[18]，在建立氫-氧燃料電池的數(shù)學(xué)模型的過程中，為了簡化數(shù)學(xué)運算過程，通常會對電堆做出如下合理假設(shè)[19-24]：

1）理想的氣體流動過程；

2）液相流體的不可壓縮流動；

3）流體流動為層流；

4）電解質(zhì)、電極和雙極性材料各向同性且均勻分布；

5）陽極內(nèi)水蒸汽壓力是飽和蒸汽壓力的50%，陰極內(nèi)水蒸汽壓力和飽和蒸汽壓力一致；

6）反應(yīng)氣體為純氫、純氧。

根據(jù)燃料電池的電化學(xué)理論，單片燃料電池的輸出電壓可描述為能斯特方程與活化極化、歐姆極化的差值，如下式：

其中的能斯特分量Enernst、活化極化分量Vact、歐姆極化分量Vohm可根據(jù)式（2）～式（8）計算得到。

其中： ξi為活化極化系數(shù)；rmem為質(zhì)子交換膜的電阻率；Tbody為電堆內(nèi)部溫度；tmem為質(zhì)子交換膜的厚度；Acell為電堆內(nèi)燃料電池個數(shù)。

進一步根據(jù)熱力學(xué)理論，可結(jié)合環(huán)境工作溫度根據(jù)式（9）～式（11）計算出對應(yīng)的飽和蒸汽壓力，以及氫氣、氧氣的有效分壓pH2和pO2。

根據(jù)以上分析計算可知，燃料電池輸出電壓可以根據(jù)以上計算得出的單片燃料電池電壓Vcell和電堆內(nèi)電池的片數(shù)Ncell計算得出：

1.2 蓄電池模型

內(nèi)阻模型是一種在蓄電池相關(guān)研究中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，它通過將蓄電池等效為一個理想電壓源和電阻的串聯(lián)準(zhǔn)確描述蓄電池的實際工作效果，其原理圖如圖3所示。

圖3 內(nèi)阻模型Fig.3 Internal resistance model

根據(jù)相關(guān)研究成果可知，蓄電池的等效內(nèi)阻在充電、放電過程中是不斷變化的，具體數(shù)值和電池的荷電狀態(tài)（state of charge, SOC）相關(guān)。通常當(dāng)蓄電池的輸出功率取為P時，數(shù)學(xué)模型中對應(yīng)的電流、電壓可根據(jù)式（13）和式（14）求解得到：

式中的蓄電池開路電壓Vocv和內(nèi)阻Rint均為SOC的函數(shù)，因而可表示為：

進一步分析可知，蓄電池當(dāng)前時刻的SOC可由它的初始值SOC0，輸出電流Ibat，電池容量Qbat計算得出，具體計算方法如下式：

2 極小值原理在混合動力能量管理系統(tǒng)中的應(yīng)用

2.1 極小值原理

作為一項在最優(yōu)控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用和充分驗證的數(shù)學(xué)方法，極小值原理能夠給出提供約束條件下全局最優(yōu)問題的必要條件。雖然不是充分條件，但最優(yōu)解必定在這些極值點當(dāng)中，且滿足必要條件的極值點數(shù)有限，因此可以通過對比直觀的得到問題的最優(yōu)解[25]。綜上所述，最優(yōu)問題可定義為尋找一組能夠使系統(tǒng)方程x(t)=f[x(t),u(t),t]沿著最優(yōu)軌跡線x*達到最優(yōu)性能指標(biāo)J的控制變量u*，對應(yīng)性能指標(biāo)函數(shù)如下式：

式中的L[x(t),u(t),t]是一個標(biāo)量值函數(shù)，反映系統(tǒng)在瞬時時刻下的性能指標(biāo)，它的積分量則被稱為積分性能指標(biāo)函數(shù)，直接決定了狀態(tài)量x(t)和控制量u(t)在整個計算區(qū)間內(nèi)的特性。另一方面，式中的 Φ [x(tf),tf]則稱為終端性能指標(biāo)函數(shù)，用于評價系統(tǒng)的終端狀態(tài)。在極小值原理方法中，進一步給出了Hamilton方程的定義，其形式如下式：

式中的Lagrange乘子 λt稱為協(xié)態(tài)變量，通過選取合適的數(shù)值，就能得到規(guī)范化方程和極小值成立條件如下：

極小值原理通過構(gòu)建Hamilton方程將全局最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為帶有等式和不等式約束的局部最優(yōu)問題，因而在UUV混合動力系統(tǒng)的能量管理策略中，極小值方法能夠快速的尋找出滿足約束的極值，從而進一步篩選出能夠使性能指標(biāo)最小的最優(yōu)解。

2.2 極小值在能量管理中的應(yīng)用

燃料電池汽車在工程化應(yīng)用中為了盡可能降低使用成本、增加續(xù)航能力、控制系統(tǒng)體積，大都采用直接從外部吸入空氣作為氧化劑的氫-空燃料電池。UUV作為長時間工作在水下的無人系統(tǒng)，無法在任務(wù)中從外部環(huán)境獲取空氣，因此必須使用自身攜帶的純氫、純氧為燃料電池提供所需的能量。由于UUV內(nèi)部空間狹小、氫氧儲量有限，因而設(shè)計出最優(yōu)的能量控制策略將能大大提高系統(tǒng)工作效率和能量利用率，從而增大工作半徑、延長續(xù)航時間。具體到混合動力系統(tǒng)中，可以將UUV全航程所消耗的氫氣總量最小作為優(yōu)化目標(biāo)。由于蓄電池內(nèi)阻效應(yīng)的存在，其在充電-放電過程中必然存在一定的能量損失，因此在混合系統(tǒng)工作中應(yīng)盡量減少使用燃料電池向蓄電池充電的過程，并充分合理的使用蓄電池內(nèi)部儲備的能量，從而降低使用的氫氣總量。在本文提出的能量管理策略中，利用等效氫耗量方法將蓄電池的輸出能量折算為等效的氫氣消耗量，從而實現(xiàn)功率分配任務(wù)下的氫耗量優(yōu)化。根據(jù)以上分析便可以建立起UUV能量管理系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)方程如下：

同時需要滿足以下約束條件：

1）SOC(0)=SOCH；

2）SOC(tf)=SOCL；

3）SOCL＜SOC(t)＜SOCH,t∈[0,tf]；

5）Pdc∈[Pdc,min,Pdc,max]。

結(jié)合系統(tǒng)特性和理論分析，可進一步建立起動力系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

式中：Qbat為蓄電池容量；Ibat為蓄電池的輸出電流。根據(jù)蓄電池工作特性，其輸出電流計算如下式：

式中：Voc為蓄電池的開路電壓。

此外，蓄電池的等效氫耗量m˙bat和它的輸出功率有關(guān)，可描述為如下的函數(shù)關(guān)系：

在得到以上方程后，就可以構(gòu)建起實時系統(tǒng)中完成功率調(diào)節(jié)的總體思路，即控制器在每個采樣時刻把負載需求功率作為輸入量，將DC/DC變換器的輸出功率Pdc和蓄電池SOC分別作為系統(tǒng)的控制量和狀態(tài)量完成計算，最終得到使氫氣消耗量最小的功率分配方案，根據(jù)極小值原理的定義，就可以建立起UUV混合動力系統(tǒng)Hamilton方程如下：

由此就將整個航程下的全局優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為局部優(yōu)化問題，而對應(yīng)的電堆最優(yōu)輸出功率也應(yīng)該滿足以下條件方程：

通常情況下，蓄電池內(nèi)阻隨SOC的變化趨勢要遠小于輸出電流隨開路電壓的變化趨勢，因此可合理假設(shè)內(nèi)阻阻值為常數(shù)，則式（29）可進一步整理得：

在每個采樣時刻，控制器都會計算得到能夠使當(dāng)前時刻的Hamilton方程達到最小的最優(yōu)控制量，即

由此就可以根據(jù)動力系統(tǒng)的負載需求功率和約束條件，求出當(dāng)前時刻的最優(yōu)蓄電池輸出功率為：

2.3 能量管理問題的數(shù)值求解

UUV的實時在線控制系統(tǒng)需要計算得到當(dāng)前時刻的最優(yōu)控制，而不需要探尋不同時刻最優(yōu)控制之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此多采用數(shù)值化方法求解能量管理問題。在求解過程依據(jù)極小值方法建立的Hamilton方程時，則通常首先將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一個兩點邊值問題，再使用數(shù)值化方法迭代求解。作為求解差分方程問題的經(jīng)典數(shù)值化方法，打靶法在很多問題求解中得到廣泛應(yīng)用，而對Hamilton方程應(yīng)用打靶法的核心步驟就是尋找最優(yōu)協(xié)變量初始值，這是因為協(xié)變量是反映功率循環(huán)特征的重要參量，因此對蓄電池SOC的變換軌跡有著很大影響。也就是說，只有找到最優(yōu)的初始協(xié)變量，才能通過打靶法得到理想的SOC變化結(jié)果。在本問題中，割線法在每次打靶過程中能夠不斷調(diào)整協(xié)變量初始值，直到SOC最終值滿足SOC(tf)=SOCL，其求解形式如下：

式中： λi為第i次打靶過程中的協(xié)變量初始值；SOCi,tf為第i次打靶過程中的SOC最終值。

在求解過程中，蓄電池的SOC和協(xié)變量 λ隨其導(dǎo)數(shù)值的規(guī)律變化如下：

綜上所述，根據(jù)每次計算偏差值就可以建立起來一套基于實時數(shù)據(jù)的數(shù)值化迭代算法。在求解過程中，每一個瞬時時刻均可以通過計算得到一個Hamilton值從而組成一個向量，而其中的最小元素所在位置對應(yīng)該時刻DCDC輸出功率向量中的最優(yōu)功率輸出值。

3 仿真計算和討論

UUV作為水下攻防系統(tǒng)的重要組成單元通常工作在特定的循環(huán)工況下，這時燃料電池混合動力系統(tǒng)就要在任務(wù)執(zhí)行階段及時滿足能量和功率需求。不同于陸上行駛的車輛，UUV在功率變化通常較為溫和，同時不具備利用制動裝置回收能量的條件。由此可見，最優(yōu)能量管理策略將會對提高UUV系統(tǒng)的能源利用率具有非常重要的作用。

為了充分驗證基于極小值原理能量管理策略的有效性，將利用某小型UUV的典型功率曲線開展模擬計算，并對計算結(jié)果進行深入分析。觀察如圖4所示功率曲線可以看出，整個航程由多個周期循環(huán)組成，整個續(xù)航時長約6 000 s，其中UUV在同時供應(yīng)測繪、探測、航行所需的能量時，峰值功率可達到8 000 W，最后混合動力系統(tǒng)和極小值原理的具體參數(shù)如表1所示。

從圖5～圖7所展示的變化曲線可以清晰看出，隨著協(xié)變量初值 λ0的改變，蓄電池的SOC也隨之有所不同。同時，協(xié)變量 λ 的迭代過程也會隨著初始值的改變而受到影響。

圖4 負載功率循環(huán)曲線Fig.4 Load power cycling curves

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

圖5 協(xié)變量初值Fig.5 Co-state initial value

從仿真計算結(jié)果可以看到，本文建立的極小值控制算法能夠精確控制UUV航行任務(wù)過程中的能量分配，從而使得蓄電池SOC從初始狀態(tài)持續(xù)下降至允許范圍內(nèi)的最小值。正是由于在航行過程中充分利用了蓄電池內(nèi)部存儲的能量，相應(yīng)減少了燃料電池的工作變化頻次和工作總時長。由于蓄電池在輸出同等功率或能量時的等效氫耗量低于燃料電池，因此系統(tǒng)的等效總消耗量得到了有效控制。

圖6 協(xié)變量初值Fig.6 Co-state initial value

圖7 協(xié)變量初值Fig.7 Co-state initial value

進一步來看，圖5～圖7所示的打靶過程盡管初始協(xié)變量不同，但是最終都收斂至最優(yōu)協(xié)變量所處的某個鄰域內(nèi)（ λ0=-10時收斂至-14.83， λ0=-15時收斂至-14.84， λ0=-20時收斂至-14.86），這也就說明了打靶法求解極小值問題時具有非常好的魯棒性，相對應(yīng)的SOC也均下降至25%±0.1%所在的區(qū)間內(nèi)。從圖8所示的3條協(xié)變量最優(yōu)軌跡對比圖可以看出，不同初始條件下的最優(yōu)解趨勢相同、近乎重合，這就說明，混合動力系統(tǒng)工作過程中的最優(yōu)能量分配方案是唯一的，而提出的基于極小值原理的能量分配策略總能從不同的起始點收斂至唯一的最優(yōu)解。除此之外，仔細對比仿真計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，伴隨著 λ 的增大，蓄電池SOC逐步減小，這也從側(cè)面印證了協(xié)變量對Hamilton方程求解過程和數(shù)值解的影響。最終，根據(jù)求得的最優(yōu)協(xié)變量和最優(yōu)軌跡就可以得到每個時刻下的最優(yōu)能量分配方法。

圖8 協(xié)變量最優(yōu)軌跡Fig.8 Optimal co-state trajectory

4 結(jié) 語

本文從燃料電池的輸出特性入手，對極小值原理在混合動力系統(tǒng)的能量管理領(lǐng)域的應(yīng)用進行了分析，以實現(xiàn)等效氫耗量最小為目標(biāo)，通過建立Hamilton方程求出了滿足約束條件的最優(yōu)能量數(shù)值解計算方法。為了驗證方法的可行性，在報告最后利用某小型UUV典型功率負載曲線完成了模擬計算，結(jié)果顯示提出的能量控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)在線實時能量最有分配，使得系統(tǒng)的等效氫氣消耗量最小化，蓄電池SOC達到預(yù)期值。

1）針對UUV工作場景的特征，分析氫氧燃料電池和氫空燃料電池工作特性差異，提出了將等效氫耗量作為混合動力系統(tǒng)能量管理的優(yōu)化方向；

2）在分析極小值原理的數(shù)學(xué)特性后，將UUV能量管理系統(tǒng)的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為Hamilton方程，從而把求解全局最優(yōu)解轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩植孔顑?yōu)解，為實現(xiàn)在線能量控制提供了可能；

3）針對實時系統(tǒng)中解析解不利于計算的缺陷，提出了使用數(shù)值化方法求解Hamilton方程的思路。算法將SOC作為目標(biāo)量，蓄電池輸出電流作為控制量，通過使用數(shù)值優(yōu)化方法迭代優(yōu)化協(xié)變量初始值，最終求解出最優(yōu)協(xié)變量初值和軌跡，實現(xiàn)UUV上不同能量單元之間的實時最優(yōu)能量調(diào)節(jié)。

極小值原理的應(yīng)用大大提高了系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換效率，而且改變了以往動態(tài)規(guī)劃法或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法不適用于實時系統(tǒng)的不足，可用于未來UUV混合動力系統(tǒng)的能量管理開發(fā)。