用聯(lián)系的觀點(diǎn)看“冪的運(yùn)算”

黃秀旺

一、為什么要學(xué)冪的運(yùn)算？

回顧研究有理數(shù)運(yùn)算的過(guò)程，我們經(jīng)歷了有理數(shù)的加法、減法，然后是乘法、除法，最后是乘方的學(xué)習(xí)。因此類似的，在學(xué)習(xí)了整式的加減運(yùn)算后，也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)整式的乘法、除法，乃至乘方。

整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱，我們可以設(shè)想整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。其中，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式較為復(fù)雜，比如（3x+2y）（2x-3y），我們可以把（3x+2y）看成一個(gè)字母A，則（3x+2y）（2x-3y）=A·（2x-3y）=A·2x-A·3y=（3x+2y）·2x-（3x+2y）·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y（還需繼續(xù)計(jì)算）。這其實(shí)就是利用分配律將多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和，再利用乘法交換律、結(jié)合律進(jìn)行單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算。所以，上述三種基本類型的乘法，是以單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式為基礎(chǔ)的。而單項(xiàng)式的乘積有三種基本類型：同底數(shù)冪的乘法am·an，冪的乘方（am）n，積的乘方（ab）n。只要我們知道了它們的運(yùn)算法則，就可以用乘法的交換律、結(jié)合律以及這些法則進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算了。

因此，學(xué)冪的運(yùn)算就是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式的乘法運(yùn)算。

二、如何理解冪的運(yùn)算與有理數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系？

我們知道有理數(shù)的運(yùn)算涉及的是具體的數(shù)，而冪的運(yùn)算涉及的既可以是具體的數(shù)，也可以是字母。當(dāng)字母取一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，其形式就是數(shù)的運(yùn)算，因此，它們?cè)谶\(yùn)算的順序上是一致的，舉例如下。

例1 計(jì)算：-1+25÷22×（[-25]）-2。

解：原式=-1+25÷4×（[-25]）-2（先算乘方）

=-1+25×[14]×（[-25]）-2（化除法為乘法）

=-1-[52]-2（做乘法運(yùn)算）

=[-112]。（最后做加減法）

有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序?yàn)椋合瘸朔?，再乘除，最后加減。如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。

例2 計(jì)算：（-2x3）2·x3-（3x3）3。

解：原式=4x6·x3-27x9（先算乘方）

=4x9-27x9（然后做同底數(shù)冪的乘法）

=-23x9。（最后做減法）

觀察以上兩例，例1是有理數(shù)的混合運(yùn)算，例2是冪的運(yùn)算，它們都遵循了基本的運(yùn)算順序：先算乘方，后乘除，最后加減。也就是說(shuō)，代數(shù)式的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算在運(yùn)算順序以及運(yùn)算律的應(yīng)用上是一致的。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）