具有局部性質的球面插值樣條曲線的構造

王 倩，潘 樂，張潔琳，彭興璇

具有局部性質的球面插值樣條曲線的構造

王 倩1，潘 樂1，張潔琳2，彭興璇1

(1. 遼寧師范大學數(shù)學學院，遼寧 大連 116021；2. 吉林大學數(shù)學學院，吉林 長春 130023)

高維球面樣條曲線擬合技術在計算機動畫和慣性導航等領域都受到廣泛地關注。實際中常需球面曲線插值給定的數(shù)據(jù)點，并要求曲線具有一定的連續(xù)性和良好的局部性質。此前的方法存在一定的局限性。為此，基于球面Bézier曲線，提出了一種僅利用插值點位置信息便可在任意維空間中構造2球面插值樣條曲線的新方法。首先，通過映射擬合出了插值點處的高階導矢，然后給出了曲線段在端點處2Hermite插值的充要條件，即控制頂點的解析計算方法，最后構造出2連續(xù)的球面Bézier插值樣條曲線。該方法屬于局部構造方法，樣條曲線上個別插值點的擾動不會對全局產(chǎn)生影響；樣條曲線具有顯式表達式，無需通過非線性方程組求解控制點坐標。數(shù)值實驗表明，該方法適用范圍廣，局部性質好，靈活度高。

球面樣條；球面Bézier曲線；插值；參數(shù)連續(xù)；剛體運動

隨著現(xiàn)代科技及計算機領域的飛速發(fā)展，球面樣條曲線在很多領域都引起了廣泛地關注。研究球面樣條曲線的構造對計算機動畫、計算機輔助幾何設計和慣性導航等領域都有重要的理論和實際意義。例如，在慣性導航和計算機動畫中，剛體運動的生成是一個基本問題。剛體的旋轉運動可用三維球面曲線(或單位四元數(shù)曲線)來表示。與其他方法相比，單位四元數(shù)具有4個變量和3個自由度，因此在描述旋轉運動時更具優(yōu)勢。本文圍繞如何構造一段光滑的球面樣條曲線進行討論。

歐氏空間中存在著幾種經(jīng)典的樣條曲線的構造方法[1]，如Bézier曲線、B樣條曲線以及NURBS曲線等。由于球面的非歐性，無法直接利用上述幾種方法來構造球面樣條曲線，但以這些方法為基礎，研究人員們建立了多種構造球面插值樣條曲線的方法[1-12]，并且各有優(yōu)勢。下面介紹與本文相關度最高的2種構造方法。

方法2.直接構造法[12-20]。Shoemake[9]將歐氏空間中的DE CASTELJAU算法[3]向低維單位球面進行了推廣，并給出了2條球面Bézier曲線1光滑拼接的條件。KLETTE等[10]將上述算法推廣到了維單位球面上，并構造出了1球面Bézier樣條曲線。進一步地，以文獻[8-11]為基礎，文獻[2]對任意維球面Bézier曲線在端點處的性質進行了研究，并利用共軛導矢的概念構造出2球面Bézier樣條。但是該方法無法對曲線形狀進行局部控制。Luo等[12]在此基礎上，對該方法進行改進優(yōu)化，使得曲線的速度和加速度波動更小，同時放松了對給定條件的限制，解決了任意插值問題解的存在性問題。但該方法還存在一些局限性，不僅需要提前給出若干個插值點的位置信息，還需要給出插值點處的導矢信息，由于球面具有非歐結構，在給定導矢信息時還需考慮是否滿足相應的條件。

為了解決上述研究存在的問題，本文提出了一種新的球面樣條曲線的構造方法。該方法適用于任意維空間，屬于局部構造法，只需相鄰2個插值點的位置信息即可構造出滿足條件的樣條曲線，因此在個別點發(fā)生擾動時，也不會對全局產(chǎn)生影響，這樣就放松了對條件的限制，使得算法適用范圍更廣，同時更加高效。

1 預備知識

Popiel和Noakes[2]將DE CASTELJAU算法[3]進行了推廣，給出球面Bézier曲線的遞推定義。其定義為：

對于=2,3,···,,=0,1,···,-1，令

其中

需要注意的是，本文和等符號的上標均表示遞推級數(shù)，而不表示次冪。

根據(jù)上述定義，Popiel和Noakes[2]給出了一次球面Bézier曲線一些基本性質。

引理1. 對于=0,1,···,-1,?[0,1]，有

另外，Popiel和Noakes[2]還給出了次球面Bézier曲線在端點處的一些性質。

2 球面樣條曲線的構造

其中，=0,1。

由引理2性質(1)和(2)可知，球面Bézier曲線具有端點插值性，所以()可用一條五次的球面Bézier曲線段來表示，假定其控制頂點為(= 0,1,···,5)。

(2)是線性的；

(3) 若是一條連續(xù)曲線，則是一個連續(xù)映射。

2.1 C0連續(xù)

本小節(jié)將考慮如何選取()的首末控制頂點，使其插值點和+1。

定理1. 令=1,2,···,，則五次球面Bézier曲線()在端點處滿足式(4)的充分必要條件為

證明：由球面Bézier曲線的端點插值性即可證明該定理。

2.2 C1連續(xù)

本文將考慮如何選取()的中間控制頂點，使其在端點處滿足式(5)。

在給出曲線()的2個控制頂點1和4的計算式之前，先介紹與和+1有關的引理。

引理3. 對于=1,2,···,，令

證明：由的定義式可知

再由的性質(2)可知，即為單位化的。

在上述工作的基礎上，可以給出五次球面Bézier曲線()控制頂點1和4的計算式。

定理2. 令=1,2,···,，則五次球面Bézier曲線()在端點處滿足式(4)和式(5)的充分必要條件是式(8)，以及

和

成立。

證明：首先證明必要性，已知有式(8)，式(12)和式(13)成立，直接計算即可證得()在端點處滿足式(5)。

接著證明充分性，根據(jù)定理1可知球面Bézier曲線()在端點處滿足0連續(xù)當且僅當式(8)成立。進一步地，由引理2條件(3)和引理1條件(1)可知

將式(9)代入式(14)可得

由此可以得到式(12)。

類似地，式(13)也成立，進而定理得以證明。

進一步地，借助引理3，式(13)還可以表示為

2.3 C2連續(xù)

根據(jù)參數(shù)連續(xù)性的定義可知，若曲線段在連接點處一階和二階導矢均相等，則在該點處是2連續(xù)的。本文利用該定義對曲線()的2Hermite插值問題進行了研究。

因此需要引入系數(shù)，并通過式(19)來擬合出球面曲線()在點處的二階導矢。

為了簡化表達，令

在上述工作的基礎上，可以給出五次球面Bézier曲線()控制頂點2和3的計算式。

定理3 令=,1,2,···,，則五次球面Bézier曲線()在端點處滿足式(4)~(6)的充分必要條件是：表達式(8)，(12)和(13)，以及

和

成立，其中

證明：首先對必要性進行證明，已知2和2的顯式表達式(28)和式(29)，顯然可證得()在端點處滿足式(6)。

用向量1與式(20)的兩端同時作內積，得到

將式(31)~(33)代入式(34)中，可得

類似地，式(29)也可證得。

利用上述結果，即可構造出2連續(xù)的球面插值樣條曲線。

3 實 驗

通過實例證明本文方法的優(yōu)勢。

圖1 基于原始數(shù)據(jù)的球面插值樣條曲線(藍色曲線)和擾動數(shù)據(jù)的球面插值樣條曲線(紅色曲線)

需注意的是，基于四元數(shù)的球面樣條曲線構造方法[4,7-8]是無法應用到二維球面上的。

本文方法也可應用到高維球面上，例如剛體旋轉運動的插值，即單位四元數(shù)樣條曲線的插值。

例2.給定剛體旋轉運動的插值數(shù)據(jù)(表1)，借助四元數(shù)的相關知識[4,8-9]可分別求出其對應的四元數(shù)組，即

利用本文方法，可以得到2連續(xù)的單位四元數(shù)插值樣條曲線，進而得到相應的光滑的剛體旋轉運動。圖2是剛體中心點旋轉運動軌跡，此時，剛體的中心點與世界坐標系原點不重合(在三維歐氏空間中安裝一個正交標架，稱為世界坐標系，在剛體上安裝一個正交標架，稱為移動坐標系，則剛體運動可以視為世界坐標系與移動坐標系之間的坐標變換[21])。在此基礎上，假定剛體的平移運動為直線運動，就可得到以圖3所示曲線為方向曲線的光滑的剛體運動。圖3是該運動的等時間離散化表示，其中漸變黃色立方體表示運動的插值位置。

表1 剛體旋轉運動插值數(shù)據(jù)

圖2 剛體中心點旋轉運動軌跡

圖3 剛體運動示意圖

例3.給定5個時刻剛體旋轉運動的插值數(shù)據(jù)以及擾動數(shù)據(jù)。與例2類似， 假定剛體的平移運動為直線運動，分別利用本文方法和文獻[2]方法，可以得到相應的插值給定數(shù)據(jù)的光滑的剛體運動，如圖4和圖5所示。從圖4中可以看出，本文方法在擾動首末時刻數(shù)據(jù)時只對首末段剛體運動造成影響，擾動中間時刻數(shù)據(jù)時只會對與該時刻相關的2段運動造成影響。從圖5可以看出，文獻[2]方法在擾動某個時刻的數(shù)據(jù)時，其后的運動都會發(fā)生變化。由此驗證了本文方法具有局部性質，通過局部調整旋轉角和旋轉軸的數(shù)據(jù)就可以靈活地控制剛體在相應時刻下的旋轉運動姿態(tài)。

實際上，例3中的剛體平移運動的軌跡可以改為任意曲線。

例4. 給定3個時刻剛體運動的插值數(shù)據(jù)，見表2，假設剛體的平移運動軌跡為正弦曲線，類似地，可得到插值給定數(shù)據(jù)的剛體運動，如圖6所示。

表2 剛體運動插值數(shù)據(jù)

圖6 平移軌跡為正弦曲線的剛體運動示意圖

4 結 論

在插值點位置信息不變的前提下，本文方法存在對曲線的形狀缺乏靈活控制的問題。實際上，在擬合插值點處的導矢信息時，可以通過改變一階及二階導矢的長度，即引入額外的參數(shù)來解決上述問題。所以在以后的研究中，將會考慮如何構造幾何連續(xù)的球面樣條曲線，以及如何選取形狀參數(shù)來使曲線達到最優(yōu)化，如何使曲線在獲得更大的自由度同時不增加操控的復雜度等問題。

[1] 施法中. 計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 12-24. SHI F Z. CAGD & NURBS[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001: 12-24 (in Chinese).

[2] POPIEL T, NOAKES L. C2 spherical Bézier splines[J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23(3): 261-275.

[3] De Casteljau P. Outillages méthodes calcul[R]. Paris: André Citro?n Automobiles, 1959.

[4] KIM M J, KIM M S, SHIN S Y. A compact differential formula for the first derivative of a unit quaternion curve[J]. The Journal of Visualization and Computer Animation, 1996, 7(1): 43-57.

[5] CURTIS M L. Matrix groups[M]. New York: Springer, 1979.

[6] KIM M S, NAM K W. Interpolating solid orientations with circular blending quaternion curves[J]. Computer-Aided Design, 1995, 27(5): 385-398.

[7] Kim M J, Kim M S, Shin S Y. A general construction scheme for unit quaternion curves with simple high order derivatives[C]//SIGGRAPH’95 Proceedings of the 22nd Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. New York: ACM Press, 1995: 369-376.

[8] TAN J Q, XING Y, FAN W, et al. Smooth orientation interpolation using parametric quintic-polynomial-based quaternion spline curve[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2018, 329: 256-267.

[9] SHOEMAKE K. Animating rotation with quaternion curves[J]. ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 1985, 19(3): 245-254.

[10] KLETTE R, KOZERA R, NOAKES L, et al. Geometric properties for incomplete data[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2006: 77-101.

[11] CROUCH P, KUN G, LEITE F S. The de casteljau algorithm on lie groups and spheres[J]. Journal of Dynamical and Control Systems, 1999, 5(3): 397-429.

[12] LUO Z X, WANG Q, FAN X, et al. Generalized rational Bézier curves for the rigid body motion design[J]. The Visual Computer, 2016, 32(9): 1071-1084.

[13] HOSCHEK J，SEEMANN G. Spherical splines[J]. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 1992, 26(1): 1-22.

[14] 王仁宏, 李崇君, 朱春鋼. 計算幾何教程[M]. 北京: 科學出版社, 2008: 79-83. WANG R H, LI C J, ZHU C G. Computational geometry tutorial[M]. Beijing: Science Press, 2008: 79-83 (in Chinese).

[15] Wang W P, Qin K H. Rational spherical curve interpolation[C]//Proceedings of CAD/Graphics’97. Beijing: International Academic Publishers, 1997: 447-449.

[16] PARK F C, RAVANI B. Bézier curves on Riemannian manifolds and lie groups with kinematics applications[J]. Journal of Mechanical Design, 1995, 117(1): 36-40.

[17] 王倩. 球面曲線插值問題及不變量的研究與應用[D]. 大連: 大連理工大學, 2016. WANG Q. Research and applications on interpolation and invariants of spherical curves[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2016 (in Chinese).

[18] KIM M J, KIM M S, SHIN S Y. A C/sup 2/-continuous B-spline quaternion curve interpolating a given sequence of solid orientations[C]//Proceedings Computer Animation’95. New York: IEEE Press, 1995: 72-81.

[19] 羅鐘鉉. 非線性樣條函數(shù)[D]. 大連: 大連理工大學, 1991. LUO Z X. Nonlinear spline function[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 1991 (in Chinese).

[20] HOSCHEK J. Bézier curves and surface patches on quadrics[M]//Mathematical Methods in Computer Aided Geometric Design II. Amsterdam: Elsevier, 1992: 331-342.

[21] 陳維桓. 微分幾何[M]. 北京: 北京大學出版社, 2006: 7-16. CHEN W H. Differential geometry[M]. Beijing: Peking University Press, 2006: 7-16 (in Chinese).

The construction of spherical interpolation splines with local properties

WANG Qian1, PAN Le1, ZHANG Jie-lin2, PENG Xing-xuan1

(1. School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning 116021, China; 2. School of Mathematics, Jilin University, Changchun Jilin 130023, China)

The high dimensional spherical spline curves fitting technology has received wide attention in computer animation and inertial navigation. In practical applications, spline curves are usually required to interpolate the given data points with certain continuity and local properties. Thus, the previous methods are limited in certain regards. For this reason, a new method, based on spherical Bézier curves, of constructing spherical spline in arbitrary dimensional space was proposed. Firstly, the higher order derivative vectors at the interpolation points were fitted by a reflection. Then, necessary and sufficient conditions for2Hermite interpolation were given. Finally, the2spherical Bézier spline was constructed, using only interpolation points. The proposed method exhibitslocal properties. The disturbance of some points will not impact other parts of the spline. The splines possess explicit expressions not involving nonlinear equations. Numerical experiments show that the method can be widely applicable and efficient.

spherical spline; spherical Bézier curve; interpolation; parameter continuity; rigid body motion

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021020230

A

2095-302X(2021)02-0230-07

2020-09-26；

26 September，2020；

2020-10-18

18 October，2020

國家自然科學基金項目(61702244，61720106005，61572105)；遼寧省教育廳項目(L201783642)

National Natural Science Foundation of China (61702244, 61720106005, 61572105); Liaoning Provincial Education Department Project (L201783642)

王 倩(1982-)，女，遼寧大連人，講師，博士。主要研究方向為計算幾何。E-mail：wangqian603603@sina.com

WANG Qian (1982-), female, lecturer, Ph.D. Her main research interest covers computational geometry. E-mail：wangqian603603@sina.com