三維聚焦破碎波相關特性的試驗研究
——單頻聚焦

王 磊，李金宣*，楊金鳳，柳淑學，劉 元

(1.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，大連116024；2.大連理工大學 建設工程學部，大連 116024)

波浪破碎是海洋中常見的物理現(xiàn)象，是許多海洋工程和海岸工程問題的重要影響因素，破碎損耗是海浪模型能量耗散項中所考慮的重要物理機制，波浪破碎問題長期以來受到眾多學者的關注。

Longuet-Higgins[1]最先提出利用波能聚焦的方法在實驗室中生成破碎波浪，即通過不同頻率的組成波間相互調制，使波浪在指定位置、指定時刻波峰達到最大，波陡達到極限值而發(fā)生破碎。Rapp和Melville[2]通過波能聚焦的方法，在實驗室二維水槽中生成了深水破碎波浪，分析了波浪在傳播過程中波浪頻譜的演化特性，研究發(fā)現(xiàn)破碎能量損失主要來自于高頻部分；Kway等[3]同樣通過波能聚焦的方法，在深水中產生了崩破波和卷破波，他們考慮了不同的頻譜形式等波陡分布、等波幅分布和PM譜。Drazen[4]采用波浪聚焦的方法產生破碎波，提出了破碎的能量耗散率測量方法和破碎引起的湍流統(tǒng)計學測量方法。這些實驗主要集中于二維波浪實驗[5]，在實際的海浪當中，波浪傳播是多向的，而波浪傳播的多向能夠顯著地影響聚焦波浪破碎的運動學和動力學特征，并且對破碎波高和其他的波面參數(shù)有很大的影響，所以在實際的工程中必須考慮多向波對波浪的動能和作用于海上結構物的力的影響[6-7]，因此深入研究三維聚焦波浪方向分布對破碎問題是非常重要的，并且也更具有實際應用價值[8]。She等[9-10]利用單一頻率不同方向波浪聚焦和多頻率不同方向波浪聚焦形成的極限波，研究了方向分布對聚焦破碎的影響，結果顯示波浪的方向分布對臨界破碎波浪的波高、峰值、波前陡度和波面的不對稱性具有明顯的影響。同時，Johannessen[11]在Baldock等[12]和Baldock[13]的基礎上，采用數(shù)值模擬和物理實驗模擬的方法研究了三維線性波峰和極限波的波浪特性。研究結果表明，引入波浪的方向分布特性可減小波浪之間的非線性相互作用。

為了進一步研究多向聚焦波浪的特性，本文基于線性聚焦理論，采用波能聚焦方法，在港池中成功模擬了三維聚焦極限波浪和破碎波浪。本文主要研究方向分布范圍對單頻聚焦波浪波面特性的影響，考慮不同方向分布范圍時，波浪破碎過程中其破碎指標、能量損失等特征變化。

1 試驗介紹

1.1 聚焦波產生方法

根據(jù)Rapp和Meville[14]產生二維聚焦波浪的方法，考慮方向分布的影響來產生三維聚焦波浪。由線性疊加理論，在任意點處波浪自由表面可以表示為不同頻率和不同方向的規(guī)則波疊加的結果，即

(1)

式中：aij為波幅；fi為頻率；ki為波數(shù)；θj為方向角；φij為組成波初相位；Nf和Nθ分別為組成頻率數(shù)和方向數(shù)。組成波頻率fi和波數(shù)ki滿足線性色散關系

(2)

式中：g為重力加速度；h為水深。

如果假定波浪在指定時刻t=tb時，聚焦于位置(xb,yb)，即各組成波在該處疊加，要求

cos(kixbcosθj+kiybsinθj-2πfitb-φij)=1

(3)

則各組成波的初相位應滿足下式

φij=kixbcosθj+kiybsinθj-2πfitb+2mπ(m=0,±1，±2，…)

(4)

將式(4)代入式(1)，并取m=0，這時可把波浪的波面η(x,y,t)寫成

(5)

在式(5)中，各組成波的波幅aij取決于波浪的頻譜分布形式和方向分布，假設聚焦振幅為A，則有

(6)

本實驗中僅考慮單頻聚焦，故Nf=1，即fi=fp。令GA(θ)為方向分布系數(shù)，滿足下式

(7)

式中：θmax為波浪的最大方向角；s為方向分布集中度參數(shù)。本實驗中s取0值，意味著組成波波幅在各個方向均勻分布。則本實驗中各組成波的波幅aij可表示為

aij=AGA(θj)

(8)

圖1 單頻聚焦波的波面Fig.1 Wave surface of single frequency focused wave

圖1給出了本實驗中一組典型的單頻聚焦波的波面。從圖中可以看出，由于為單頻率波浪，不同方向波速相同，因此波浪以同心圓弧的形式逐漸向聚焦點集中，在聚焦點處形成波高較大的大浪，隨后又以弧形散開。

1.2 實驗布置

本實驗是在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室的多功能港池中進行的。水池長54 m、寬34 m、深1.3 m，有效面積為長45 m、寬28 m，最大有效水深0.7 m。在港池一端配有液壓伺服多向不規(guī)則造波機，造波機是由70塊寬0.4 m、高1.0 m造波板組成，造波機通過微機控制，能夠保證很好的重復性。為了防止波浪的反射，在港池的末端設有消能裝置，以減少波浪的反射。

實驗布置圖如圖2所示，波浪聚焦點設置在水池中心線上距造波板9.0 m處，考慮到波浪呈圓弧形式聚焦，試驗中浪高儀布置在以聚焦點為中心的不同半徑圓弧上，聚焦前區(qū)域圓弧分別標注為I、II、III和IV，對應半徑分別為：1.5 m、2.5 m、4.5 m和7.0 m。圓弧上測點和聚焦點連線與水池中線分別呈α=0°、10°、20°、30°、40°。在聚焦點后區(qū)域，同樣布置相同數(shù)量浪高儀，其位置與聚焦點前區(qū)域關于聚焦點反對稱，對應圓弧分別標注為I′、II′、III′和IV′。由于聚焦波浪場關于水池中線對稱，浪高儀僅布置在中線一側，測點A和B用于檢驗波浪場的對稱性。整個試驗共布置了55根浪高儀，如標號II 10°的浪高儀在圓弧II上和聚焦點連線與中心線呈α=10°的位置。實驗前，浪高儀均經過嚴格的檢測和率定，性能可靠。實驗每組參數(shù)將被重復3遍以保證實驗的準確性。每次實驗需有12～15 min的時間間隔，以保證港池水面恢復平靜。

圖2 實驗布置圖Fig.2 Experimental arrangement

表1 試驗參數(shù)Tab.1 Test parameters

表1給出了單頻聚焦試驗所采用的波浪參數(shù)。試驗中考慮了三個方向分布范圍，最大波浪方向角度θmax分別為30°、45°和60°，和不同的波浪頻率。組成波在方向分布范圍[-θmax，θmax]內均勻分布，組成波數(shù)Nθ=100、試驗水深h為0.5 m。對于固定的最大方向角度和頻率，從小到大逐漸增大輸入聚焦波幅A，已得到未破碎聚焦波、臨界破碎波以及不同破碎強度的破碎波。

3-a fp=0.9 Hz3-b θmax=45°圖3 聚焦波幅隨輸入聚焦波幅的變化關系Fig.3 The relationship between the focus amplitude and the input focus amplitude

圖3給出了幾組典型未破碎波實際聚焦波幅隨輸入聚焦波幅變化的曲線，其中A為輸入波幅，A1為輸出波幅。從圖中可以看出，在不同的頻率和不同的入射方向角度范圍下，實際的聚焦波幅與輸入的聚焦波幅之間保持了良好的線性關系，波浪非線性不是很明顯。另外也可以注意到方向分布較寬時能得到的最大波幅稍大些。

2 單頻多向聚焦波浪分析結果

2.1 比波高分布圖

圖4和圖5給出了非破碎工況(fp=0.9 Hz，A=0.07 m)的波浪場波高分布以及不同傳播方向(α)上的波峰最大值的變化。從圖4可以看出，對于未破碎波，不同方向分布寬度時，都在聚焦點處取得波高最大值，說明波浪實際聚焦位置與假定的聚焦位置吻合較好。另外，方向分布范圍越小，能量越向主方向集中，靠近中心線上的波高越大；方向分布范圍大時，場內波浪分布較均勻，僅在聚焦點外波高迅速增大。

4-a θmax=30°4-b θmax=45°4-c θmax=60°圖4 未破碎時比波高分布圖(fp=0.9 Hz,A=0.07 m)Fig.4 Distribution of specific wave height when not broken (fp=0.9 Hz,A=0.07 m)

5-a α=0°5-b α=10°5-c α=20°

5-d α=30°5-e α=40°

對比聚焦前后對稱位置上的波高可以發(fā)現(xiàn)，主方向上測點聚焦后波高有所增大，而方向偏離主方向較大時，波高有所減小。這個現(xiàn)象在圖5中更為明顯，在主傳播方向α=0°上，聚焦點后測波高要比前側大；而α=40°上，聚焦點后測波高要比前側小。這個現(xiàn)象對于方向分布較寬時最為明顯。該現(xiàn)象可能是由于波浪聚焦過程中波浪間相互作用，改變了波浪的傳播方向，使向兩側傳播的波浪向主方向集中。

6-a θmax=30°6-b θmax=45°6-c θmax=60°圖6 破碎時比波高分布圖(fp=0.9 Hz, A=0.20 m)Fig.6 Distribution of specific wave height when broken (fp=0.9 Hz, A=0.20 m)

圖6和圖7給出了破碎工況(fp=0.9 Hz，A=0.20 m)的波浪場波高分布以及不同傳播方向(α)上的波峰最大值的變化。對于破碎情況(如圖6)，波高分布有明顯不同。由于破碎發(fā)生，波高不在關于聚焦點對稱，其中方向分布范圍較小時，最為明顯，由于該情況能量集中，波浪在達到聚焦點前就開始破碎，主方向上聚焦點對稱位置波高變化明顯，說明主方向上能量損失要比其他方向要大。當方向分布范圍較大時，相同聚焦波高情況下，破碎位置更接近聚焦點，對于圖示工況破碎強度相對較小，破碎后波高變化不是十分明顯，甚至由于聚焦作用，主方向的波高還有所增大。通過圖7各傳播方向波峰變化能夠清楚看出該現(xiàn)象。

7-a α=0°7-b α=10°7-c α=20°

2.2 幾何破碎指標

圖8 波面參數(shù)的定義Fig.8 Definition of wave surface parameters

波浪聚焦過程中波浪波面陡度不斷增加，當其達到某一臨界值時，波浪發(fā)生破碎，這臨界值是研究波浪破碎的重要指標。Kjeldsen等[15]提出了幾個波面參數(shù)來作為波浪破碎的幾何指標：整體波陡：εT=2πηmax/gT2；波前陡度：ε=2πηmax/gT1T；波后陡度：δ=2πηmax/gT2T，其中g為重力加速度，這些參數(shù)的定義如圖8，在圖中ηmax為該點波峰最大值，波高H和周期T的定義采用下跨零點定義。圖9給出了未破碎情況下，不同方向分布范圍中心線上各點的波前陡度、波后陡度和整體波陡變化?？梢钥闯?，當破碎未發(fā)生破碎時，對于波浪陡度，由于波幅較小，在波浪聚焦過程中，隨著各組成波浪的疊加，波前陡度、波后陡度和整體陡度都逐漸增加，直至聚焦點處達最大值后開始逐漸減小。并且當方向分布范圍越小時，產生的聚焦波浪越陡。這是由于方向分布范圍越小，波浪更加聚集于一個較小的傳播角度范圍內，因而各陡度也相應較大。由于此時波浪更陡，所以在圖3中方向分布范圍小時得到的最大非破碎波高要小。

9-a 波前陡度ε9-b 波后陡度δ9-c 整體波陡εT圖9 不同方向分布范圍中心線上各點的波面參數(shù)(fp=0.9 Hz,A=0.07 m)Fig.9 Distribution range in different directions, wavefront parameters at each point on the center line (fp=0.9 Hz, A=0.07 m)

圖10給出了破碎情況下，不同方向分布范圍中心線上各點的波前陡度、波后陡度和整體波陡變化。從圖中可以看出，當波浪發(fā)生破碎時，相同波幅下，方向分布范圍越大，破碎指標最大值發(fā)生在聚焦點附近；方向分布范圍越小，破碎指標最大值越前移，說明破碎前移，破碎后，能量損失，波高減小，波前陡度和波后陡度均減小。

10-a 波前陡度ε10-b 波后陡度δ10-c 整體波陡εT圖10 不同方向分布范圍,中心線上各點的波面參數(shù)(fp=0.9Hz, A=0.20 m)Fig.10 Distribution range in different directions, wavefront parameters at each point on the center line (fp=0.9 Hz, A=0.20 m)

表2 幾何破碎指標比較Tab.2 Comparison of geometric breaking indexes

表2中列出了不同實驗給出的波前陡度、波后陡度和整體波陡分析結果，取值范圍為破碎時的值至最大值。其中She等[10]通過直接法求得波浪參數(shù)，本實驗和Kjeldsen等[15]、Wu和Nepf[16]都是采用間接方法求得相關破碎指標。通過比較可以看出，She等[10]通過直接方法求出的破碎指標要比其他集中情況要大，本試驗中等波幅分布的結果與Wu和Nepf[16]實驗中聚焦破碎結果很接近，而Kjeldsen等[15]的二維試驗結果相對三維結果偏小。此外，從實驗結果來看，方向分布范圍對整體波陡、波前陡度和波后陡度等破碎指標有明顯影響，方向分布越寬破碎指標值越大。但整體來看幾何破碎指標隨波浪參數(shù)變化明顯，并不能很好地描述波浪破碎。

2.3 能量損失

本節(jié)將計算聚焦波破碎后的能量損失。對于三維波浪，波浪的總能量可以對某一斷面上的波高積分求得，由于本實驗僅測得[-40°，40°]范圍內的入射能量，則總能量如下

(9)

式中：r為斷面半徑；T0為采集時間；η為波面；Na為圓弧上浪高儀個數(shù)；Nj為時間點數(shù)。

關于聚焦點對稱圓弧上能量差認為是波浪破碎中的能量損失，能量耗散率D定義為

(10)

表3 比例系數(shù)βTab.3 Proportional coefficient β

式中：E前和E后分別為聚焦前和聚焦后的能量，本實驗通過IV和IV′圓弧上測點積分求得。E總為實際聚焦的總能量，由于本實驗僅測得[-40°，40°]范圍內的入射能量，為了得到總能量，事先通過數(shù)值模擬的方法，求得[-40°，40°]范圍內能量占總能量比重β。表3給出了不同方向分布范圍時，β值的變化。可以看出，方向分布最大角度為30°時，β為0.94，說明試驗測點布置范圍基本覆蓋了整個入射波浪場。當方向分布最大角度為60°時，β為0.71，說明仍有部分波浪不在測量范圍內。

11-a fp=0.9 Hz11-b fp=1.0 Hz圖11 不同聚焦波幅下的能量損失Fig.11 Energy loss under different focusing amplitude

聚焦總能量可由E總=E前/β求得，通過公式(10)可計算破碎波的能量損失率。圖11給出了不同方向分布寬度時，破碎能量損失隨波陡的變化。從圖中可以看出，當波陡較小時，波浪沒有發(fā)生破碎，能量損失率隨波陡變化不大，這部分損失可能是由于底摩擦引起的。另外可以注意到對于不破碎情況，方向分布范圍為θmax=60°時，能量損失為負值，這個可能是跟2.1節(jié)中介紹的現(xiàn)象有關，波浪聚焦過程中波浪傳播方向主方向集中，IV’斷面測得的能量要比IV斷面大，造成聚焦后能量反而增大的現(xiàn)象。

當波陡增大時，波浪開始發(fā)生破碎，破碎的能量損失隨波陡增大而增大。方向分布寬度大時，會產生更大的能量損失率，本實驗中θmax=45°和60°時，最大的能量損失率可達到約45%；而θmax=30°時，波浪的能量損失率要小。

3 結語

本文通過方向聚焦的方法在港池中成功模擬了三維單頻聚焦波浪。研究了方向分布范圍對波浪聚焦和破碎的影響。試驗研究結果表明：

(1)三維波浪聚焦過程中，波浪的傳播方向會有一定的改變，兩側波浪向主方向集中。方向分布越寬，該現(xiàn)象越明顯。

(2)方向分布寬度對波浪幾何破碎指標也有一定的影響，通常方向分布寬度越大，整體陡度、波前陡度和波后陡度都有偏大的趨勢。說明方向分布寬，波浪越不容易破碎，能得到的最大波幅也越大。

(3)三維波浪的破碎能量也受方向分布的影響，本文方向分布θmax=45°和60°時，最大的能量損失率可達到約45%；而θmax=30°時，由于方向分布范圍小，能量越向主方向集中，波浪的能量損失率越小。