波紋梁夾持型雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)性能分析

席守治　賴?yán)诮?/p>

摘要：為解決傳統(tǒng)雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)中二級運(yùn)動平臺欠約束問題，設(shè)計(jì)了一種波紋梁夾持型對稱雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)。首先，提出了一種基于正弦曲線的波紋梁結(jié)構(gòu)，并將其安裝在對稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的2個二級平臺之間;其次，建立了機(jī)構(gòu)靜力學(xué)解析模型，并利用拉格朗日方程建立了動力學(xué)模型;最后，利用有限元和實(shí)驗(yàn)方法對其靜、動力學(xué)性能進(jìn)行了仿真和測試。結(jié)果表明：該機(jī)構(gòu)在沒有改變機(jī)構(gòu)運(yùn)動剛度和一階固有頻率的情況下，對二級平臺進(jìn)行了有效約束，從而提升了雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的高階固有頻率，能夠有效改善傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性和抑制振動能力。

關(guān)鍵詞：柔性機(jī)構(gòu);波紋梁;平行四邊形機(jī)構(gòu);欠約束;模態(tài)分析

【Abstract】Inordertosolvetheunder-constraintproblemofthesecondarymotionplatforminthetraditionaldoubleparallelogramflexiblemechanism，acorrugatedbeamclampingsymmetricaldoubleparallelogramflexiblemechanismisdesigned.First，acorrugatedbeamstructurebasedonasinecurveisproposedandinstalledbetweenthetwosecondaryplatformsofthesymmetricaldoubleparallelogrammechanism;secondly，ananalyticalmodelofmechanismstaticsisestablished，andadynamicmodelisestablishedusingLagrangianequations;finally，finiteelementandexperimentalmethodsareusedtosimulateandtestitsstaticanddynamicperformance.Theresultsshowthatthemechanismeffectivelyrestrainsthesecondaryplatformwithoutchangingthestiffnessofthemechanismandthefirst-orderfrequency，andimprovesthehigh-ordernaturalfrequencyofthedoubleparallelogrammechanism，therebyeffectivelyimprovingdynamiccharacteristicsandabilitytosuppressvibrationofthetraditionaldoubleparallelogrammechanism.

【Keywords】flexiblemechanism;corrugatedbeam;parallelogrammechanism;under-constraint;modalanalysis

作者簡介：席守治（1992-），男，碩士研究生，主要研究方向：柔性微納米定位技術(shù)與控制研究;賴?yán)诮荩?986-），男，博士，副教授，主要研究方向：微位移驅(qū)動控制研究。

0引言

隨著精密加工、微電子、航空航天、生物工程等領(lǐng)域的迅速發(fā)展，基于壓電陶瓷驅(qū)動器和柔性機(jī)構(gòu)的微納米定位技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用[1]。其中，柔性機(jī)構(gòu)通過其柔性部件的彈性變形來實(shí)現(xiàn)微納米定位運(yùn)動，具有裝配少、無摩擦、無間隙、無需潤滑和運(yùn)動精度高等優(yōu)點(diǎn)，是微納米定位技術(shù)的理想選擇[2-5]。柔性機(jī)構(gòu)中，雙平行四邊形機(jī)構(gòu)具有行程大，應(yīng)力小等優(yōu)點(diǎn)[6]，現(xiàn)已成功應(yīng)用在大行程微納米定位平臺中。雖然雙平行四邊形柔性模塊在其自由度方向能夠?qū)崿F(xiàn)大行程運(yùn)動范圍，但由于雙平行四桿柔性機(jī)構(gòu)中的二級平臺存在與末端平臺相同的自由度，造成了二級平臺的欠約束問題[7]，隨著其工作方向行程的增加，平臺約束方向的側(cè)向剛度迅速下降，并且二級平臺的高階振動同樣也會對定位平臺的控制器設(shè)計(jì)和動態(tài)性能產(chǎn)生不良影響。

為了解決上述問題，常見的方法是運(yùn)用杠桿機(jī)構(gòu)強(qiáng)制使中間平臺和末端平臺實(shí)現(xiàn)1：2的位移比[8-9]?；诖怂悸?，Panas等人[10]提出了在雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)中嵌入梯形遠(yuǎn)程運(yùn)動中心機(jī)構(gòu)來模擬杠桿的作用，從而實(shí)現(xiàn)對末端平臺和中間平臺的運(yùn)動位移進(jìn)行約束。改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)中間平臺的約束方向剛度提升了134倍，并且在保證一階固有頻率基本不變的情況下，將二階諧振頻率提升了11倍?；谠擃惛倪M(jìn)的雙平行四邊形機(jī)構(gòu)，Roy等人[11]設(shè)計(jì)了一種行程達(dá)到50mm×50mm的二自由度柔性納米定位平臺，由于使用了內(nèi)嵌梯形機(jī)構(gòu)的雙平行四邊形柔性模塊，其二階固有頻率從25Hz提升至86Hz，而其一階諧振頻率保持在6Hz。另外，Awtar等人[1]也設(shè)計(jì)了一種夾持型對稱雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)，在保證運(yùn)動方向剛度不變的情況下，對雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的二級運(yùn)動平臺進(jìn)行了約束，提升機(jī)構(gòu)的側(cè)向剛度，有效減少了寄生位移，但由于該機(jī)構(gòu)增加了夾持部分的質(zhì)量，其一階固有頻率會有一定程度的降低。

本文提出了一種波紋梁夾持型雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)能夠在保持工作方向剛度和一階固有頻率同時不變的基礎(chǔ)上，解決平行四邊形機(jī)構(gòu)二級平臺欠約束問題，同時能提高二級運(yùn)動平臺引起的高階固有頻率。本文首先設(shè)計(jì)了波紋梁夾持型對稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)構(gòu)型，并建立了機(jī)構(gòu)的靜、動力學(xué)的解析模型，同時對其工作方向剛度和前三階固有頻率進(jìn)行有限元仿真和實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的有效性。

1波紋梁夾持型對稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)

本文首先提出了波紋梁結(jié)構(gòu)，如圖1所示。圖1中，紅色曲線是需要構(gòu)造的正弦曲線。參見圖1，在局部坐標(biāo)系xOy中，建立正弦曲線L（單位為mm），即：

將文中設(shè)計(jì)的波紋梁安裝到傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)（機(jī)構(gòu)一），如圖2（a）所示，由此形成了波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)（機(jī)構(gòu)二），如圖2（b）所示。由圖2（b）可知，波紋梁的安裝方式是將2個波紋梁上下對稱安裝到2個二級平臺中間，安裝位置深度在機(jī)構(gòu)厚度b的四分之一和四分之三處。

改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)二由1個主平臺、2個二級平臺、1個波紋梁夾持部分（包括2個波紋梁）、8個直梁和機(jī)架組成。其中，b、l、h分別表示直梁的寬度（機(jī)構(gòu)的厚度）、長度和厚度;Sm表示主平臺的面積;Hs、Ls分別表示二級平臺的長度、寬度;Lc表示兩二級平臺之間的距離，近似等同于波紋梁直線距離。

相比于直梁，安裝的波紋梁軸向剛度相對較低，沿寬度方向抗彎能力較高，因此，將2根波紋梁上下對稱安裝在2個二級平臺上，使2個二級平臺平時能夠沿工作方向同時運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)對二級平臺的有效約束。

可以得到波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的固有頻率。由于機(jī)構(gòu)二中波紋梁對其運(yùn)動方向影響較小，故在計(jì)算機(jī)構(gòu)二的固有頻率時，只需要在二級平臺上增加波紋梁的質(zhì)量。但波紋梁的質(zhì)量較小，因此對機(jī)構(gòu)一階固有頻率的影響也較小。

4有限元仿真分析

在三維軟件Solidworks中，建立了傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)和波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的三維模型。然后，將其導(dǎo)入有限元仿真軟件ANSYSWorkbench中，分別建立這兩種柔性機(jī)構(gòu)的有限元模型，并進(jìn)行靜力學(xué)分析和模態(tài)分析。機(jī)構(gòu)材料選為鋁合金Al7075，具體機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵尺寸和材料參數(shù)見表1。

靜力學(xué)仿真結(jié)果如圖4所示。在機(jī)構(gòu)主平臺的工作方向上施加50N的力后，機(jī)構(gòu)一和機(jī)構(gòu)二分別產(chǎn)生了0.39877×10-3m和0.3986×10-3m的位移，可計(jì)算出其剛度分別為0.12539N/μm和0.12544N/μm，改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)二的剛度只增加了0.04%，基本保持不變。另外，數(shù)值分析結(jié)果為0.1254N/μm，計(jì)算誤差在0.01%，較為理想。

機(jī)構(gòu)二的前三階模態(tài)如圖5所示。這是仿真得到的波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)前三階模態(tài)，分別為179.16Hz、484.55Hz和622.32Hz。機(jī)構(gòu)一的前三階固有頻率分別為180.76Hz，440.99Hz和498.28Hz。由仿真結(jié)果比較可知，機(jī)構(gòu)二的二階和三階固有頻率分別提升了9.9%和24.9%。

5實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

首先，選擇單獨(dú)加工的波紋梁，通過螺栓連接的安裝方式，將波紋梁對稱安裝到二級平臺上，如圖6所示。然后搭建測試系統(tǒng)，對機(jī)構(gòu)的剛度特性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，測試系統(tǒng)參見圖6。系統(tǒng)中，通過調(diào)整壓電陶瓷驅(qū)動器后面的螺釘來對平臺施加不同的作用力，同時分別利用測微儀（三門峽中原量儀股份有限公司出品，型號為DGS-6C，分辨率為0.05μm）和力傳感器（蚌埠傳感器系統(tǒng)工程有限公司出品，型號為JLBS-MD，量程為0～50kg）對機(jī)構(gòu)主平臺的所受力和輸出位移進(jìn)行測量。通過計(jì)算被測力和位移差值比值，得到機(jī)構(gòu)一和二在工作方向上的剛度分別為0.803N/μm和0.838N/μm。顯然，2個機(jī)構(gòu)的剛度大小幾乎一致。但由于線切割時，對直梁的厚度產(chǎn)生較大誤差，導(dǎo)致直梁厚度小于1mm，同時機(jī)構(gòu)的實(shí)測剛度也變小，但不妨礙研究中機(jī)構(gòu)一和機(jī)構(gòu)二的剛度大小基本一致的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證。

為了測量機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性，使用了分辨率為0.05μm的電渦流位移傳感器（上海振迪檢測技術(shù)有限公司出品）來測量機(jī)構(gòu)主平臺的位移，如圖7所示。實(shí)驗(yàn)過程中，在機(jī)構(gòu)主平臺施加一沖擊載荷，使其自由振動，同時使用電渦流傳感器測量其位移，基于LabVIEW搭建信號采集系統(tǒng)，并通過數(shù)據(jù)采集卡采集到信號，然后編寫程序?qū)y量時域信號進(jìn)行頻譜分析，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2。由表2可知，機(jī)構(gòu)一前三階固有頻率分別為152Hz、380Hz和425Hz，而機(jī)構(gòu)二前三階固有頻率分別為150Hz、415Hz和556Hz。通過對比，機(jī)構(gòu)二在一階固有頻率基本保持不變的情況下二階和三階固有頻率較機(jī)構(gòu)一分別提高了9.2%和30.8%。分析表2可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果變化趨勢保持一致，證明了該設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)在動力學(xué)性能的改進(jìn)。

6結(jié)束語

首先，本文設(shè)計(jì)了一種基于波紋梁夾持的對稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)，在沒有改變機(jī)構(gòu)運(yùn)動剛度和一階固有頻率的情況下，解決了傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)二級平臺的欠約束問題，從而改善傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能。文中首先對機(jī)構(gòu)剛度進(jìn)行建模，并采用能量法和模塊化思想建立了機(jī)構(gòu)的動力學(xué)解析模

型。最后，對2種柔性機(jī)構(gòu)的靜動力學(xué)仿真結(jié)果和

實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比分析，分析表明與傳統(tǒng)對稱雙

平行四桿機(jī)構(gòu)相比，波紋梁夾持型對稱雙平行四桿機(jī)構(gòu)的二、三階模態(tài)的固有頻率均有明顯提高，對于提高大行程柔性機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性和抑振能力具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

[1]AWTARS，MARIAPPANDD.Experimentalmeasurementofthebearingcharacteristicsofstraight-lineflexuremechanisms[J].PrecisionEngineering，2017，49：S0141635916304500.

[2]SHORYAA.SynthesisandanalysisofparallelKinematicXYflexuremechanisms[J].ReviewofScientificInstruments，2015，16（3）：251-264.

[3]BROUWERDM.Designprinciplesforsixdegrees-of-freedomMEMS-basedprecisionmanipulators[J].PrecisionEngineering，2010，34（2）：307-319.

[4]SMITHST.Flexures：Elementsofelasticmechanisms[M].USA：CRCPress，2014.

[5]LEGTENBERGR，GROENEVELDAW，ELWENSPOEKM.Comb-driveactuatorsforlargedisplacements[J].JournalofMicromechanicsandMicroengineering，1999，6（3）：320-329.

[6]AWTARS，SLOCUMH，SEVINCERE.Characteristicsofbeam-basedflexuremodules[J].JournalofMechanicalDesign，2007，129（6）：625-639.

[7]BrouwerDM.Designprinciplesforsixdegrees-of-freedomMEMS-basedprecisionmanipulators[D].TheKingdomoftheNetherlands：UniversityofTwente，2007.

[8]JermanJH，GradeJD.Miniaturedevicewithtranslatablemember：US，6664707[P].2003-12-16.

[9]BROUWERDM，OTTENA，ENGELENJBC，etal.Long-rangeelasticguidancemechanismsforelectrostaticcomb-driveactuators[C]//Proceedingsofthe10thInternationalConferenceoftheEuropeanSocietyforPrecisionEngineeringandNanotechnology（EUSPEN2010）.Delft，Netherlands：euspen，2010：142-1465.

[10]PANASRM，HOPKINSJB.Eliminatingunder-constraintindoubleparallelogramflexuremechanisms[J].JournalofMechanicalDesign，2015，137（9）：092301.

[11]ROYNK，CULLINANMA.Designandcharacterizationofatwo-axis，flexure-basednanopositioningstagewith50mmtravelandreducedhigherordermodes[J].PrecisionEngineering，2018，53：236-247.