自適應光學系統(tǒng)誤差分析與參數(shù)優(yōu)化研究

趙子云，顧 虎，馬文超，胡棟挺，曹 朔，劉新宇，吳晶晶，朱華新，蘇宙平，胡立發(fā)*

(1.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122；2.江蘇省輕工光電工程技術研究中心，江蘇 無錫 214122)

1 引 言

在早期的天文觀測中，地基光學望遠鏡對天體目標的成像會由于大氣湍流的擾動、光學系統(tǒng)本身的像差等因素影響，導致成像分辨力較低，因而人們引入自適應光學(Adaptive optics,AO)技術來克服湍流的影響[1-7]。自適應光學系統(tǒng)通過對畸變波前的探測和補償來達到改善成像質量的目的[8-13]。目前，AO系統(tǒng)廣泛運用于Keck、MMT、GMT等大口徑地基光學望遠鏡的天文觀測中，顯著提升了光學望遠鏡的觀測能力[14]。

在地基光學望遠鏡對天文目標的高分辨率成像過程中，大氣、望遠鏡和AO系統(tǒng)中存在著眾多的影響因素，例如，帶寬誤差[15-16]變形鏡驅動器數(shù)目和間距[17-21]、等暈角[22]、質心和波前重構誤差[20-29]等。對這些誤差的分析關系到校正精度的高低，直接影響目標成像分辨力。

另一方面，對AO系統(tǒng)設計來說，由于系統(tǒng)參數(shù)之間的關聯(lián)和復雜性，總體誤差估算對光學成像系統(tǒng)性能做出預先的評估和分析非常關鍵，對進一步指導地基光學望遠鏡AO系統(tǒng)的開發(fā)和優(yōu)化意義重大。1989年，Hardy等人從波前探測器、變形鏡以及波前重構方面分析了AO系統(tǒng)的性能，但所討論的誤差并不全面，也并未給出統(tǒng)一的誤差模型[30]。90年代以來，人們在誤差估算方面做了大量工作[31-43]，結合眼底成像和天文目標觀測等領域的應用，提出了光學傳遞函數(shù)法[31]、傅里葉變換法[35]、功率譜的方法[43]等不同的誤差估算模型。已有的報道一般對部分誤差進行了分析，有一定的參考價值。建立一個系統(tǒng)、全面的誤差評價模型來定量地分析和預期成像質量，是自適應光學系統(tǒng)進行設計的關鍵問題之一。

近年來，地基光學望遠鏡的口徑越來越大，所匹配的AO系統(tǒng)在設計時，非常迫切需要有一個合理、有效的誤差模型，來評價和分析AO系統(tǒng)中的誤差，并能根據(jù)成像質量要求，來合理選擇和設計AO系統(tǒng)的關鍵參數(shù)所需要滿足的指標，這對于地基光學望遠鏡非常重要。類似的要求對于AO技術在眼底成像、生物醫(yī)學超分辨成像、激光通信、激光武器等應用也同樣具有重要的意義。

2 大氣湍流與AO系統(tǒng)模型

一般的AO系統(tǒng)采用閉環(huán)控制，其控制框圖如圖1所示，受大氣湍流擾動的目標源信號，經(jīng)過波前探測和數(shù)據(jù)處理，得到相應的控制電壓信號，并驅動波前校正器產生形變來補償畸變像差。

圖1 AO系統(tǒng)閉環(huán)控制框圖Fig.1 Framework of AO system closed-loop control

根據(jù)如圖1所示的AO系統(tǒng)控制模型，通過將復頻率域s轉為頻域的f討論更為方便，因而下式中做出了調整(s=i2πf)。系統(tǒng)有兩個輸入，X(f),N(f)分別是像差信號和噪聲信號，輸出信號根據(jù)不同輸出節(jié)點有剩余誤差信號R(f),變形鏡補償信號M(f)，以及波前探測器探測重構信號D(f)，以上信號都為功率譜。其開環(huán)HOL和閉環(huán)傳遞函數(shù)HCL分別如下：

(1)

(2)

其中：Hsensor、HDelay、HComp和HZOH分別是波前探測器、系統(tǒng)延時、變形鏡和高壓放大器等的傳遞函數(shù)[44]。因此，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)HError為：

(3)

作為輸入畸變信號的大氣湍流，其功率譜X(f)和噪聲功率譜N(f)模型如下[17]：

(4)

式中：ξ為天頂角，D為望遠鏡的口徑，kc為其波數(shù)，μn和vn分別為大氣湍流和風速的n階矩[45]。常用來描述白天大氣條件的湍流模型有SLC-Day[46]模型和HV[47]模型。本文中采用經(jīng)過修改的HV模型[32](后文中稱NHV模型)：

(5)

式中：w為平均風速，h為湍流高度。在圖1所示的控制模型中，目標源光照條件、波前探測、相機等都不可避免地引入了噪聲，這些噪聲包括光子噪聲、讀出噪聲、暗電流以及背景噪聲等。通常我們將在各個頻率分量上都擁有相同功率的噪聲稱為白噪聲，這里的探測噪聲顯然也符合這一條件。

按照[36]中所提出的噪聲功率譜計算方法，可以得出僅在噪聲影響下X方向質心偏移量Cx的方差為：

(6)

其中：p為光子數(shù)量，T為相機積分時間，d是暗電流，b是背景通量，σread是讀出噪聲的標準差，I為像素點光強。以上的噪聲分量都以每像素為計。Y方向質心偏移量方差有著完全相同的表達式。

為了計算變形鏡的噪聲功率譜，首先將僅在噪聲影響下的質心偏移量轉化為噪聲誤差波前；其次，通過將質心偏移量乘以重構矩陣就能得到波前校正所需的電壓指令，最后能夠得出由噪聲引起的波面。計算該波面的方差即可得出噪聲功率譜。假設處于中等視寧度條件下，可以得出噪聲功率譜為：

|N(f)|2=1.252|RS|2V(Cx)

.

(7)

3 AO系統(tǒng)的誤差模型

為了評價AO系統(tǒng)性能，一般選擇殘余像差的rms(均方根誤差)或者校正圖像的SR(斯特列爾比)。波前相位誤差較小時，存在以下關系[14]：

(8)

其中:σΦ為剩余波前相位標準差，σχ為光瞳處對數(shù)幅度標準差。通常的AO系統(tǒng)中，主要誤差源為帶寬誤差、擬合誤差、噪聲誤差、錐效應和等暈誤差[33]。對于鈉導星AO系統(tǒng)，主要包括激光導星、波前探測器、波前校正器、波前處理機。其中影響成像的誤差主要包括：與激光導星有關的非等暈誤差σiso和角錐誤差σcone，與探測器有關的波前測量誤差σNoise，與校正器有關的波前擬合誤差σfit，與系統(tǒng)時間延遲有關的帶寬誤差σBW，以及與系統(tǒng)裝調有關的校準誤差σcalib。對于自適應系統(tǒng)來說，它們是互相獨立的誤差源，因此，總的誤差可以計算如下：

(9)

其中，帶寬誤差、擬合誤差以及測量誤差由于其值較大而占據(jù)著主體地位。對這些主要的誤差源進行分析，對多共軛系統(tǒng)和單共軛系統(tǒng)都有一定參考價值。

多重共軛自適應光學系統(tǒng)(Multi-Conjugated Adaptive Optics,MCAO)是基于單共軛自適應系統(tǒng)所搭建的，如星向多重共軛結構中，探測器與導星一一對應，就其某一導星分支而言，與單共軛系統(tǒng)并無差異，且其誤差來源基本相同；就其區(qū)別而言，MCAO中將分層湍流相位投影至望遠鏡內，投影矩陣計算和重構算法計算等存在較小誤差；而多校正器多探測器的系統(tǒng)，也存在較高的共軛對準要求。

3.1 帶寬誤差

σBW是由于AO系統(tǒng)大氣湍流變化相對快，而波前校正器的采樣速度、數(shù)據(jù)處理和變形鏡響應存在時間延遲，導致閉環(huán)AO系統(tǒng)無法對動態(tài)變化的像差做出及時響應。可以根據(jù)格林伍德頻率與系統(tǒng)帶寬之比粗略地計算帶寬誤差。為了更精確地計算，可以考慮湍流的功率譜和系統(tǒng)傳遞函數(shù)，計算AO系統(tǒng)對各個頻率成分的校正能力。即閉環(huán)系統(tǒng)中帶寬誤差σBW由于AO系統(tǒng)無法補償?shù)南癫钜?，結合上述分析有：

(10)

3.2 測量誤差

測量誤差主要體現(xiàn)在質心偏移位置測量的不準確上。主要因素為探測器在曝光時間內所接收的有限光子數(shù)量的不確定性(光子噪聲)、背景噪聲、暗電流、相機讀出噪聲等，所測質心偏移量就出現(xiàn)了誤差。這一誤差在AO系統(tǒng)內隨著波前重構環(huán)節(jié)開始傳遞，最終導致了校正后的波前誤差分量——測量噪聲誤差的存在。閉環(huán)控制系統(tǒng)測量誤差為：

(11)

3.3 波前擬合誤差

σfit是由于驅動器間隔、行程大小、響應函數(shù)等導致所需校正的像差的空間特征和變形鏡自身的空間特征存在固有差異，進而導致變形鏡無法校正高于自身空間頻率的畸變[35]。變形鏡擬合誤差與驅動器的數(shù)目、變形鏡的大小、中央遮攔比以及支撐變形鏡表面的外邊緣等多方面因素有關[17,48]。本文中擬合誤差可用式(12)計算[32]：

(12)

其中：λ為目標源波長，d為變形鏡的驅動器對應到望遠鏡上的間距。

3.4 非等暈誤差

σiso是對暗弱目標進行觀測時，AO系統(tǒng)需要參考源(導星)用以探測大氣擾動，這導致引入了非等暈誤差σiso[14,49-50]：

(13)

其中：a為系數(shù)，θ為目標與信標之間的角距離，θ0為等暈角。Sasiela等人根據(jù)Mellin變換[51]，給出了較為詳細的自然導星角度非等暈誤差表達式：

(14)

其中:a=kD/2，k為空間頻率，k0為波數(shù)，其他參數(shù)同上統(tǒng)一，Jn為n階貝塞爾函數(shù)。上式中包含了平移項σP和傾斜項σT[52-53]：

(15)

(16)

在σIPT中移除平移和傾斜后可得較為準確的非等暈誤差值：

(17)

使用人造信標時，以上計算過程仍然適用[54]。

3.5 角錐誤差

σcone是由于激光導星的錐效應引起的誤差，也被稱為聚焦非等暈性誤差。Tyler提出了使用特征參量d0來表征這一由于激光導星高度有限所造成的誤差[55]。

(18)

式中的μ+和μ-為湍流n階矩的部分湍流矩，Z為激光導星所在高度。由聚焦非等暈所造成的波前探測誤差可以表示為[56]：

(19)

除了以上誤差之外，還有傾斜誤差、混疊誤差[35]、閃爍引起的誤差[57]，以及夏克哈特曼波前探測器標定[58]等引起的誤差，文中主要對高階誤差和易于模擬驗證的誤差進行了介紹。通過對以上誤差的系統(tǒng)分析，我們可以獲得可全面評價AO系統(tǒng)性能的總體誤差。

需要說明的是，文中誤差模型基于使用變形鏡等器件的AO系統(tǒng)，一些較新的技術如液晶等[59-61]，則需要對部分誤差計算方法進行小的調整。

(a)10 m口徑(a) Telescope diameter=10 m

4 模擬及分析

(a)-10星等(a) Magnitude = -10

我們選擇在不同條件下對數(shù)值模型進行分析模擬，并結合基于MATLAB的自適應光學工具包(Object-Oriented Matlab Adaptive Optics，OOMAO)所搭建的AO模型進行對比驗證。多重共軛系統(tǒng)引入了激光導星，因此多了非等暈誤差、錐光誤差。而主體誤差分析仍是以帶寬誤差、噪聲誤差、擬合誤差為主。對不同星等、采樣時間2 ms條件下進行分析，結果如圖2所示。圖2(a)中模擬條件為r0=18 cm，波長為550 nm，口徑D=10 m，采用了修改后的HV模型；圖2(b)中模擬條件為r0=7 cm、波長為1 215 nm、口徑D=4 m，使用了SLC湍流模型?？梢钥闯鲭S著目標星等的提升，殘差逐漸增大，且數(shù)值模型與OOMAO仿真曲線接近。光子充足的條件下(噪聲誤差影響很小可忽略)，數(shù)值預測與模擬值更加吻合；但在低信噪比條件下，由于采樣時間變短，噪聲影響增大，誤差也增大。

相機采樣頻率對AO校正殘差有著重要影響，高采樣頻率能有效降低帶寬誤差的影響，但同時將降低信噪比導致噪聲誤差增強，二者需要平衡。分析了AO系統(tǒng)的采樣頻率對誤差的影響，結果如圖3所示。

圖3(a)、(b)、(c)、(d)分別為選取了-10、4、6、8星等的目標源，在1～20 ms/frame的采樣頻率下的rms模擬分布。首先，3(a)與3(b)圖中OOMAO仿真與數(shù)值分析曲線基本一致，表明在高于某個信噪比條件時，校正效果取決于湍流強弱和系統(tǒng)采樣頻率。其次，圖3(a)～3(c)的RMS曲線誤差模型值與模擬結果非常接近，在信噪比較高的條件下，噪聲誤差影響小。在圖3(d)中，可以看到采樣時間低于5 ms時仿真與數(shù)值分析結果相差明顯。這是由于低信噪比時，過快的采樣頻率導致測量不準，而慢的采樣又導致時間延遲引起的誤差增加，因此，數(shù)值分析得到一個誤差最低的采樣頻率非常合理，這相對于OOMAO仿真更為準確。

天文觀測系統(tǒng)所觀測的目標、所處的湍流強度是變化的，為獲得最佳的補償效果，針對D=2 m、r0=7 cm條件下采樣頻率和目標星等在一定變化范圍內的誤差進行分析，結果如圖4所示。需要指出的是，大于500 nm的殘差已不具備校正效果，無法進行有效成像，因此，將所有大于500 nm的殘差置為500 nm。低星等導致了高信噪比，此時高的采樣頻率使得殘差更小；星等增加時，信噪比會降低，此時模型預測的最低誤差對應著最優(yōu)化的采樣頻率，在此頻率下可以獲得最佳的校正效果。

圖4 不同采樣頻率和目標星等下的波前殘差分布Fig.4 Distribution of residual wavefront error under different sampling frequencies and target magnitudes

在MCAO(多重共軛自適應光學系統(tǒng))內，非等暈誤差是MCAO主要區(qū)別于單重共軛AO系統(tǒng)的誤差源。在波長550 nm和SLC湍流模型下，模型預測的結果如圖5所示。隨著D/r0的逐漸增大，誤差曲線不斷右移；而同一星等條件下，低星等時D/r0的提高對成像精度的提升很小，但高星等處高D/r0將能有效降低殘差。

圖5 不同D/r0的誤差曲線Fig.5 Error curves of different D/r0

圖6(a)為望遠鏡口徑為D=10 m，波長為550 nm條件下，角度非等暈誤差的模型預測結果。隨著r0提高，誤差曲線趨于平穩(wěn)，且在導星與目標源角距離較小時，各模型誤差值非常接近。與帶寬誤差類似的是，同一湍流條件下，選用不同的探測波長對角度非等暈誤差無影響。其主要的影響因素為固有的湍流條件好壞和角距離的大小。圖6(b)為不同口徑下殘差隨角度的變化情況?？趶綄嵌确堑葧炚`差的影響集中在低于1 m的口徑范圍內，隨著望遠鏡口徑的增加，角度非等暈誤差也在提升，而當口徑大于1.2 m時，口徑所造成的角度誤差影響越來越小直至不再提升。

圖6 (a)不同湍流模型的角度非等暈誤差曲線；(b)不同口徑下的角度非等暈誤差。Fig.6 (a) Angles anisoplanatic error of different turbulence model；(b) Angles anisoplanatic error of different telescope diameter.

2003年6月凱克天文臺，在500 nm波段，大氣相干常數(shù)為18 cm左右，所觀測的7星等目標殘差為260 nm[36]，在選用近似的條件和參數(shù)后，我們得到了285 nm的預測值；與2002年首光的MMT自適應光學系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)相比[62]，其6、8、10星等SR為0.15、0.21、0.1，模型預測值為0.31、0.10、0.07，整體預測符合其H波段SR為0.2左右的觀測效果?？梢娬`差模型與實際測量數(shù)據(jù)相比有一定的先驗性。

5 結 論

本工作嘗試為帶有AO系統(tǒng)的大口徑地基光學望遠鏡系統(tǒng)建立合理的誤差評價模型。一方面，該模型可以在自適應光學系統(tǒng)設計階段提供合理的誤差評價、性能預估，以選擇最佳的參數(shù)；另一方面，也可以在自適應光學系統(tǒng)使用階段，為選擇合理的曝光時間等關鍵參數(shù)提供理論指導。這為大口徑地基光學望遠鏡獲得最佳成像效果提供了理論依據(jù)。同時，也為自適應光學系統(tǒng)在生物顯微成像、眼底成像、激光大氣通信等方面的合理應用提供了有意義的方法指導。

本文全面整理了自適應光學系統(tǒng)的誤差來源并給出了合理的數(shù)值模型，該模型與仿真結果進行了對比驗證，證實了模型的合理性，在合適條件下能達到誤差在30 nm以內的高精度殘差估計，值得說明的是本模型在信噪比低于5時預測精度將大幅衰減；許多誤差源之間存在明顯的耦合關系，單獨對某一誤差源進行研究并不能有效用于整體誤差預測，通過數(shù)值模型對系統(tǒng)誤差進行整體的數(shù)值模擬對實際應用更具有意義。