p階強(qiáng)度量正則性的擾動穩(wěn)定性

許文丁， 何詣然

（1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066； 2.四川旅游學(xué)院 旅游文化產(chǎn)業(yè)學(xué)院，四川 成都610100）

1 引言及預(yù)備知識

定理1.1稱為Graves定理.若映射f：X→Y在xˉ處嚴(yán)格可微，則由嚴(yán)格可微（不妨設(shè)f在xˉ處的導(dǎo)數(shù)為f′（xˉ））的定義可知，對任意ε＞0，存在xˉ的鄰域U，使得對任意x，x′∈U，有

有

其中記號d（z，A）表示點(diǎn)z到集合A的距離，即

使（1）式成立的所有常數(shù)c關(guān)于鄰域U×V的下確界稱為F在xˉ處的度量正則模，記為reg F（xˉ｜yˉ）.F在xˉ處度量正則當(dāng)且僅當(dāng)reg F（xˉ｜yˉ）＜∞.

眾所周知，對單值映射g：X→Y，常數(shù)L≥0，若存在xˉ的鄰域U，使得對任意x，x′∈U，都有

則稱g在xˉ處關(guān)于常數(shù)L局部Lipschitz連續(xù)，常數(shù)L關(guān)于鄰域U的下確界稱為Lipschitz模，記為Lip（g；xˉ）.

由經(jīng)典的Banach開映像定理可知，連續(xù)線性映射A：X→Y是度量正則的當(dāng)且僅當(dāng)它是滿射.對于非線性映射f：X→Y，文獻(xiàn)［1］得到如下結(jié)論.

定理1.1 設(shè)f：X→Y為映射，A：X→Y為連續(xù)線性映射，κ，μ＞0滿足κμ＜1.若以下條件成立：

（i）映射A關(guān)于常數(shù)κ度量正則；

（ii）映射f-A關(guān)于常數(shù)μ全局Lipschitz連續(xù)；

即映射f-f′（xˉ）在xˉ處是局部Lipschitz連續(xù)的，且其Lipschitz常數(shù)可以任意小.這樣，由定理1.1便容易證得如下推論.

推論1.1 設(shè)映射f：X→Y在xˉ處嚴(yán)格可微，若其導(dǎo)數(shù)為f′（xˉ）是滿射，則其自身為度量正則的.

事實(shí)上，以上推論為充分必要條件，其逆命題的證明可由被稱為“推廣的Lyusternik-Graves定理”（見文獻(xiàn)［2-4］等）所得到.

定理1.2 設(shè)κ、μ為2個非負(fù)常數(shù)滿足κμ＜1，F(xiàn)：XY為集值映射，（xˉ，yˉ）為F的圖像上一點(diǎn)，g：X→Y為在xˉ處局部Lipschitz連續(xù)的單值映射.若F在xˉ處度量正則且

同時有

則映射F+g在xˉ處度量正則，且

關(guān)于強(qiáng)度量正則性，也有以下相應(yīng)的結(jié)論（見文獻(xiàn)［3］等）.

定理1.3 設(shè)κ、μ為2個非負(fù)常數(shù)滿足κμ＜1，F(xiàn)：X Y為集值映射，（xˉ，yˉ）為F的圖像上一點(diǎn).g：X→Y為在xˉ處局部Lipschizt連續(xù)的單值映射.若F在xˉ處強(qiáng)度量正則且reg F（xˉ｜yˉ）≤κ，同時有Lip（g；xˉ）≤μ，則映射F+g在xˉ處強(qiáng)度量正則，且（2）式成立.

定理1.2與定理1.3說明，（強(qiáng)）度量正則的映射經(jīng)滿足一定條件的Lipschitz映射的擾動后所得映射仍是（強(qiáng)）度量正則的.近幾十年來，定理1.2與定理1.3在不同情形下的推廣形式被學(xué)者們廣泛研究和討論，有興趣的讀者可參見文獻(xiàn)［2-9］及其參考文獻(xiàn).下面介紹有關(guān)p階度量正則性的概念及相關(guān)結(jié)論.

定義1.2 設(shè)p＞0為一常數(shù)，F(xiàn)：X Y為集值映射，（xˉ，yˉ）為F的圖像上一點(diǎn).稱映射F在xˉ處p階度量正則，如果存在常數(shù)c＞0以及xˉ與yˉ的鄰域U和V，使得對任意（x，y）∈U×V，有

使（3）式成立的所有常數(shù)c關(guān)于鄰域U×V的下確界稱為F在xˉ處的p階度量正則模，記為regpF（xˉ｜yˉ）.類似地，F(xiàn)在xˉ處p階度量正則當(dāng)且僅當(dāng)

關(guān)于p階度量正則性的擾動穩(wěn)定性，文獻(xiàn)［10］中給出了如下結(jié)論（由于本文所涉及的空間均為賦范空間，因此將該結(jié)論中的距離空間統(tǒng)一換成賦范空間，距離統(tǒng)一換成范數(shù)）.

定理1.4 設(shè)X為Banach空間，Y為賦范空間.考慮映射H：＝G+h，其中G：XY為集值映射，h：X→Y為單值映射.設(shè)yˉ∈G（xˉ），常數(shù)η＞0.假設(shè)：

（i）映射G的圖像在（xˉ，yˉ）處是局部閉的；

（ii）存在c，p＞0，使得對任意（x，y）∈B（xˉ，η）×B（yˉ，η），有

同時，對任意x，x′∈B（xˉ，η），都有

其中k∈（0，c-1p），則存在r＞0，使得滿足（4）式的單值映射h稱為在處階H?lder連續(xù)，常數(shù)k稱為h在xˉ處的H?lder常數(shù).

定理1.4說明了在一定條件下（度量正則常數(shù)與H?lder常數(shù)的乘積嚴(yán)格小于1），p階度量正則的映射經(jīng)階H?lder連續(xù)的函數(shù)擾動后所得函數(shù)仍為p階度量正則的.顯然，當(dāng)p＝1時，定理1.4便退化為定理1.2.

類似于強(qiáng)度量正則性，可以定義如下p階強(qiáng)度量正則性.

定義1.3 設(shè)p＞0為一常數(shù)，F(xiàn)：X Y為集值映射，（xˉ，yˉ）為F的圖像上一點(diǎn).稱F在xˉ處p階強(qiáng)度量正則，如果其逆映射F-1在yˉ處存在一個p階H?lder連續(xù)的單值局部化，即存在xˉ與yˉ的鄰域U′和V′，使得映射

為單值映射且在yˉ處局部p階H?lder連續(xù).

自然要問，關(guān)于強(qiáng)度量正則性的經(jīng)典擾動穩(wěn)定性結(jié)論（定理1.3），是否也有類似于定理1.4的，推廣至p階情形的結(jié)論？本文的主要結(jié)論回答了上述問題的答案是肯定的.

2 主要結(jié)論

為證明本文的主要結(jié)論，需要用到關(guān)于p階Aubin連續(xù)性的概念及相關(guān)結(jié)論（見文獻(xiàn)［11-12］）.首先，對于集合A、B，記

定義2.1 給定常數(shù)p＞0，設(shè)T：X Y為集值映射，yˉ∈T（xˉ），且T的圖像在（xˉ，yˉ）處局部閉.稱T在xˉ處p階Aubin連續(xù)，如果存在常數(shù)κ≥0以及xˉ的鄰域U與yˉ的鄰域V，使得對任意x′，x∈U，都有

或者，等價地

其中B：＝｛y｜‖y‖≤1｝.使得（6）式成立的所有κ關(guān)于鄰域U×V的下確界記為Lipp（T；xˉ｜yˉ）.顯然，當(dāng)映射T取單值時，其在xˉ處的p階Aubin連續(xù)性即為p階H?lder連續(xù)性.此時，記Lipp（T；xˉ｜T（xˉ））為Lipp（T；xˉ）.

文獻(xiàn)［3］等證明了映射F的度量正則性等價于其逆映射F-1的Aubin連續(xù)性.為了證明該等價性可推廣至p階情形［11-12］，首先證明如下引理.

引理2.1 設(shè)常數(shù)p＞0，點(diǎn)（xˉ，yˉ）在映射T：X Y的圖像上.若T在xˉ處p階Aubin連續(xù)，則對于yˉ的任一鄰域V，存在xˉ的鄰域U，使得對任意x∈U，有T（x）∩V≠?.

證明 由映射T在xˉ處的Aubin連續(xù)性可知，存在xˉ的鄰域U′與yˉ的鄰域V′，使得對任意x∈U′，有

于是，對任意x∈U′，有

因此，存在y∈T（x），v∈B，使得

進(jìn)而有

注意到，對于yˉ的任一鄰域V，都存在xˉ的鄰域U，使得U?U′，并且對于任意x∈U，有

這樣便得到對于任意x∈U，有

引理得證.

對于映射F，其強(qiáng)度量正則性等價于其逆映射F-1具有Aubin連續(xù)性且處處不取多值，以下引理說明了該等價性可推廣至p階情形.

引理2.2 設(shè)T：X Y為集值映射，yˉ∈T（xˉ），則下列2個命題等價：

（i）T在xˉ周圍存在一個以κ為H?lder常數(shù)的p階H?lder連續(xù)的單值局部化；

（ii）T在xˉ處關(guān)于常數(shù)κ是p階Aubin連續(xù)的且在xˉ處存在一個不取多值的局部化t：X→Y.

證明 （i）?（ii）是顯然的.下面證明（ii）?（i）.

設(shè)T在xˉ處關(guān)于常數(shù)κ是p階Aubin連續(xù)的，則由引理2.1可知t為T在xˉ周圍的一個局部化.因此，存在a，b＞0，使得T（x）∩B（yˉ，b）≠?，并且

為單值映射.取a′＞0使得

這樣，對任意x，x′∈B（xˉ，a′），都有

于是，存在y′∈T（x′），使得

由于映射t取單值，故而由t的構(gòu)造知

于是得到

因此，有y′∈B（yˉ，b）.進(jìn)而

于是可知

即t為T在xˉ周圍的以κ為常數(shù)的p階H?lder連續(xù)的單值局部化.引理得證.

此外，類似于1階Aubin連續(xù)性，p階Aubin連續(xù)性也具有如下性質(zhì)［3］.

引理2.3 設(shè)p＞0為常數(shù)，T：XY為集值映射，yˉ∈T（xˉ），且T的圖像在（xˉ，yˉ）處局部閉，則T在xˉ處p階Aubin連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)存在xˉ的鄰域U及yˉ的鄰域V，使得對任意x′∈X，x∈U，有

證明 若對任意x′∈X，x∈U都有（9）式成立，則由p階Aubin連續(xù)性的定義可知T在xˉ處顯然是p階Aubin連續(xù)的.

結(jié)合（b）并運(yùn)用定理1.4，可知映射H＝g+F在xˉ處p階度量正則，且

3 結(jié)論

本文的主要結(jié)論（定理2.3）給出了關(guān)于p階強(qiáng)度量正則性的擾動穩(wěn)定性結(jié)論.該結(jié)論指出，p階強(qiáng)度量正則的集值映射在經(jīng)階H?lder連續(xù)的單值映射擾動后，所得到的映射仍然是p階強(qiáng)度量正則的.顯然，當(dāng)p＝1時，定理2.3便退化為經(jīng)典結(jié)果定理1.3.

致謝 四川旅游學(xué)院2019年度校級科研項目（19SCTUZZ02）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

定理得證.