基于深度學(xué)習(xí)的“小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)”實(shí)踐與思考

張秉金 楊志宇

摘? ?要：人的深度學(xué)習(xí)與淺層學(xué)習(xí)相對(duì)，淺層學(xué)習(xí)是對(duì)零散的、無(wú)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容不加判斷的機(jī)械記憶，與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)缺乏關(guān)聯(lián)。深度學(xué)習(xí)是圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)是對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容中關(guān)鍵問(wèn)題積極主動(dòng)的理解、聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的建立。通過(guò)遵循認(rèn)知規(guī)律、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念;圍繞學(xué)習(xí)主題、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念;把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念;構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念等方式，使學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中得到知識(shí)技能學(xué)習(xí)與思想方法培養(yǎng)的有機(jī)統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);概念教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009-010X（2021）07-0029-04

深度學(xué)習(xí)源于計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和人工智能的研究，這里的深度學(xué)習(xí)是機(jī)器的深度學(xué)習(xí)，不同于人的深度學(xué)習(xí)。人的深度學(xué)習(xí)與淺層學(xué)習(xí)相對(duì)，淺層學(xué)習(xí)是對(duì)零散的、無(wú)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容不加判斷的機(jī)械記憶，學(xué)習(xí)內(nèi)容脫離學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，與學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)缺乏關(guān)聯(lián);而深度學(xué)習(xí)則是對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容積極主動(dòng)的理解、聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的建立。

郭華教授等人的研究成果顯示，所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過(guò)程，把握學(xué)科本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為既具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神，基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來(lái)社會(huì)歷史實(shí)踐的主人。

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)對(duì)象在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是理解和掌握一些數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是掌握數(shù)學(xué)概念并運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷、推理的過(guò)程，一切數(shù)學(xué)規(guī)則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)之上。因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，更是學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。

一、遵循認(rèn)知規(guī)律、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，是按照“動(dòng)作認(rèn)知（操作水平）——圖形認(rèn)知（表象水平）——符號(hào)認(rèn)知（分析水平）”的認(rèn)知規(guī)律循序漸進(jìn)地建立起來(lái)的。人們要形成正確的數(shù)學(xué)概念，需要多元的感性材料，經(jīng)歷從具體到表象，從表象到抽象的過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，由表象深入到本質(zhì)，即“從生動(dòng)的直觀到抽象的思維”，是學(xué)生形成正確概念的重要途徑。在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，首先，要給學(xué)生提供充分而準(zhǔn)確的感知材料，“充分”是指感性材料的數(shù)量，“準(zhǔn)確”是指提供的感性材料要典型，強(qiáng)調(diào)感性材料的質(zhì)量。在概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師還要注意言語(yǔ)的導(dǎo)向功能，要使“感知”成為有目的有計(jì)劃的觀察活動(dòng)。其次，要使學(xué)生建立和獲得表象，促進(jìn)感知向抽象思維過(guò)渡。直觀感知只是為學(xué)生提供了理解的起點(diǎn)，表象的建立能使學(xué)生更快地?cái)[脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過(guò)渡。第三，抽象概括一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性形成數(shù)學(xué)概念。教師要引導(dǎo)學(xué)生分析、綜合與比較，再通過(guò)抽象、概括，舍棄非本質(zhì)的特性，抽象出事物的本質(zhì)特性，形成概念。

教學(xué)“三角形”時(shí)，上課伊始教師用課件呈現(xiàn)自行車(chē)支架、相機(jī)支架、斜拉橋等圖片，學(xué)生觀察圖片中的三角形，用手描一描并說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)的三角形。學(xué)生匯報(bào)后，教師課件演示從圖片中抽象出三角形。接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想象一個(gè)三角形，并用直尺畫(huà)出來(lái)。通過(guò)展示、對(duì)比學(xué)生畫(huà)的三角形，引導(dǎo)學(xué)生理解“圍成”“每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連”等知識(shí)，最后抽象出三角形的概念——由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫做三角形。

教學(xué)“6的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師課件呈現(xiàn)6個(gè)蘋(píng)果、6名學(xué)生、6朵花等，引導(dǎo)學(xué)生點(diǎn)數(shù)。并且指出這些物體個(gè)數(shù)都可以用數(shù)字“6”表示。接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生擺出6個(gè)圓片、畫(huà)出6個(gè)圓圈、找出數(shù)量是6的物體。通過(guò)數(shù)一數(shù)、擺一擺、畫(huà)一畫(huà)、找一找等活動(dòng)，由具體到抽象再到具體，充分認(rèn)識(shí)數(shù)字“6”。

二、圍繞學(xué)習(xí)主題、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

俗語(yǔ)說(shuō)“提領(lǐng)而頓，百毛皆順”。因此，在課堂教學(xué)中，教師要選擇關(guān)鍵問(wèn)題作為深度學(xué)習(xí)的主題。數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵問(wèn)題一般指學(xué)科中的主要內(nèi)容、核心內(nèi)容，它是一系列相關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)的形成知識(shí)結(jié)構(gòu)上的“神經(jīng)突觸”。關(guān)鍵問(wèn)題不是某一具體數(shù)學(xué)知識(shí)，而是某一單元或幾個(gè)相關(guān)單元一系列知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想方法，是一系列數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉和升華。將這樣的關(guān)鍵問(wèn)題作為深度學(xué)習(xí)的主題開(kāi)展學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)深刻學(xué)習(xí)其本質(zhì)和思想方法。如，在教學(xué)“小數(shù)的意義和性質(zhì)”這一單元時(shí)，關(guān)鍵問(wèn)題是計(jì)數(shù)單位，我們可以把小數(shù)的意義、小數(shù)的讀寫(xiě)、小數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)的大小比較、小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)對(duì)小數(shù)大小的變化等學(xué)習(xí)內(nèi)容與“計(jì)數(shù)單位”建立聯(lián)系，并給“計(jì)數(shù)單位”以核心地位。本單元每一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都圍繞“計(jì)數(shù)單位”這一學(xué)習(xí)主題開(kāi)展。

教學(xué)“小數(shù)的意義”時(shí)，通過(guò)人民幣、米尺等多個(gè)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生理解分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示，小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……，分別可以寫(xiě)作0.1、0.01、0.001……。突出小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的這一特征，感受學(xué)習(xí)小數(shù)的價(jià)值。

教學(xué)“小數(shù)的讀寫(xiě)”時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)位順序表，體會(huì)小數(shù)和整數(shù)的聯(lián)系，同樣采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10，啟發(fā)學(xué)生感悟位值制。

教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)和大小比較”時(shí)，在小數(shù)部分的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變。如0.6=0.60，它們的計(jì)數(shù)單位不同，數(shù)值卻相等，這背后的本質(zhì)是計(jì)數(shù)單位和對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)同時(shí)變化。0.6里面有6個(gè)十分之一，0.60里面有60個(gè)百分之一，6個(gè)十分之一和60個(gè)百分之一相等，所有0.6=0.60。

小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化教學(xué)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)除以10;小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)除以100……。小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)乘10;小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)乘100……。小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)引起小數(shù)大小變化，其本質(zhì)是計(jì)數(shù)單位變了，而計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)沒(méi)有變。如，0.65小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位是6.5，0.65里面有65個(gè)百分之一，6.5里有65個(gè)十分之一。0.65的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，計(jì)數(shù)單位由百分之一變成了十分之一，而計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)不變，都是65個(gè)。

抓住這個(gè)單元中的關(guān)鍵問(wèn)題——計(jì)數(shù)單位，系統(tǒng)設(shè)計(jì)整個(gè)單元的教學(xué)程序，將單元教學(xué)目標(biāo)分解到每個(gè)課時(shí)，才能在每個(gè)課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中圍繞“關(guān)鍵問(wèn)題”有計(jì)劃地進(jìn)行滲透、有目的地進(jìn)行點(diǎn)撥，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)圍繞不同內(nèi)容，在多層次、多視角的探究中，不斷加深對(duì)小數(shù)意義的理解。準(zhǔn)確把握單元教學(xué)的“關(guān)鍵問(wèn)題”設(shè)計(jì)主題學(xué)習(xí)，是深度學(xué)習(xí)開(kāi)展的基礎(chǔ)。

三、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及到的數(shù)學(xué)概念是最簡(jiǎn)單、最基本的，但都是非常重要的?！白詈?jiǎn)單的往往是最本質(zhì)的”，發(fā)生深度學(xué)習(xí)的學(xué)生能夠抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，深刻理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念。把握本質(zhì)的過(guò)程就是去除非本質(zhì)的干擾、分辨本質(zhì)和非本質(zhì)屬性區(qū)別的過(guò)程。而深刻理解概念的內(nèi)涵，感悟其數(shù)學(xué)思想是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)的重要標(biāo)志，也是學(xué)生思維成長(zhǎng)的必經(jīng)過(guò)程。

如教學(xué)“方程”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從生活情境中抽象出等量關(guān)系，用語(yǔ)言描述等量關(guān)系，再用等式表示出它們的關(guān)系，讓學(xué)生深入理解等式，在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)方程的概念。如，在教學(xué)方程時(shí)創(chuàng)設(shè)籃球比賽情境，出示籃球比賽紅隊(duì)和藍(lán)隊(duì)比分32：39。

師：現(xiàn)在場(chǎng)上的狀態(tài)是什么樣子的？

生：紅隊(duì)比分落后。

師：你能用式子表示嗎？

生：32<39。

師：紅隊(duì)教練換上主力隊(duì)員，連得幾分，可以怎么表示呢？

生：可以用x表示。

師：紅隊(duì)現(xiàn)在的得分是多少？

生：32+x。

師：藍(lán)隊(duì)沒(méi)有得分，他們的得分還是39。

師：現(xiàn)在場(chǎng)上兩隊(duì)的分?jǐn)?shù)誰(shuí)領(lǐng)先呢？

生：可能紅隊(duì)領(lǐng)先，可能藍(lán)隊(duì)領(lǐng)先，還可能兩隊(duì)得分相等。

師：得分相等的時(shí)候用哪個(gè)式子表示呢？

生：32+x=39。

方程是學(xué)生用代數(shù)思維分析現(xiàn)實(shí)生活中等量關(guān)系的重要載體，是學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。方程的教學(xué)不能僅停留在記憶概念的淺層學(xué)習(xí)，要結(jié)合生活情境，經(jīng)過(guò)發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，用語(yǔ)言描述等量關(guān)系，用含有未知數(shù)的等式表示等量關(guān)系的全過(guò)程。

再如教學(xué)“周長(zhǎng)”時(shí)，學(xué)生初次學(xué)習(xí)周長(zhǎng)，往往是感性的、直觀的，認(rèn)為圖形的形狀、大小一樣，周長(zhǎng)才會(huì)相等。為了能夠讓學(xué)生更加注重周長(zhǎng)本質(zhì)的理解，課堂教學(xué)時(shí)，教師呈現(xiàn)了如下素材。

第一題中兩個(gè)圖形形狀不同，凹字形和凸字形的周長(zhǎng)是一樣的。第二題圖形ADC和圖形ABC的形狀不同，但周長(zhǎng)相等。通過(guò)上面這樣兩組習(xí)題的對(duì)比，更加凸顯周長(zhǎng)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

四、構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

皮亞杰認(rèn)為：“人的認(rèn)識(shí)總要形成整體的心理構(gòu)造，這種心理構(gòu)造是在不斷的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中建造起來(lái)的，即有一個(gè)發(fā)生、更新和改造的進(jìn)化過(guò)程，心理的整體構(gòu)造能使人的思想更加完善，并且是獲得更高知識(shí)的有效工具”。數(shù)學(xué)概念也有類(lèi)似整體結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。一個(gè)數(shù)學(xué)概念它從一些最基本的概念中得來(lái)，又為建立新的概念做基礎(chǔ)，從本質(zhì)上說(shuō)，每一個(gè)概念都是嵌進(jìn)了一些概念的體系當(dāng)中，是這個(gè)體系中的一個(gè)“細(xì)胞”。因此理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，不僅要理解概念本身的規(guī)定，而且要從它在整個(gè)概念體系的位置以及和其他概念的關(guān)系中去理解。深度學(xué)習(xí)中對(duì)概念的理解，教師必須引導(dǎo)小學(xué)生對(duì)已經(jīng)掌握的概念不斷更新、改造、組織、整理，將零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)化，形成有序的概念體系，從整體上去把握概念之間的有機(jī)聯(lián)系，以抓住本質(zhì)屬性。

教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)了百分?jǐn)?shù)的意義，理解了它表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生思考，表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系還可以用分?jǐn)?shù)、倍和比表示，通過(guò)下面的練習(xí)對(duì)比這幾種數(shù)學(xué)概念的異同，凸顯出學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的價(jià)值。

下面哪些是可以改寫(xiě)成百分?jǐn)?shù)表述的？

1.雞蛋的蛋白質(zhì)含量是，一個(gè)雞蛋重千克;

2.一家超市周六的銷(xiāo)售額是周五的2倍;

3.青少年體內(nèi)水分與自身體重的比是70：100。

第1題中兩個(gè)分?jǐn)?shù)，第一個(gè)分?jǐn)?shù)表示關(guān)系可以用13%表示，第二個(gè)分?jǐn)?shù)表示具體的量，不能用百分?jǐn)?shù)表示;第2題中的“2倍”表示周六與周五銷(xiāo)量的關(guān)系，所以可以改寫(xiě)成一家超市周六的銷(xiāo)售額是周五的200%;第3題中的比表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，也可以改寫(xiě)成青少年體內(nèi)水分占自身體重的70%。

通過(guò)這樣的比對(duì)，不僅強(qiáng)化了百分?jǐn)?shù)的意義，而且引發(fā)學(xué)生關(guān)于學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的價(jià)值，凸顯出百分?jǐn)?shù)在統(tǒng)計(jì)時(shí)便于比較大小的優(yōu)勢(shì)。

教學(xué)“負(fù)數(shù)”時(shí)，在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了負(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比之前學(xué)過(guò)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)在它們前面加上負(fù)號(hào)就是負(fù)數(shù)，小學(xué)階段學(xué)過(guò)的數(shù)可以分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)也有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的不同形式。通過(guò)深度學(xué)習(xí)既擴(kuò)展了數(shù)域，又了解了小學(xué)期間學(xué)習(xí)的各種數(shù)之間的關(guān)系?！柏?fù)數(shù)”一課學(xué)生還學(xué)習(xí)了0的新含義，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線。在學(xué)生理解了這一知識(shí)后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧0的其他作用——0可以表示沒(méi)有，表示占位，表示測(cè)量的起點(diǎn)等。通過(guò)與學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)比，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為學(xué)生在中學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)的概念打下基礎(chǔ)。

教師在學(xué)生的深度學(xué)習(xí)中仍然發(fā)揮著組織者、引導(dǎo)者、合作者的重要作用，沒(méi)有教師，雖然學(xué)生也會(huì)學(xué)習(xí)，但離開(kāi)教師的組織、引導(dǎo)、合作，很難發(fā)生深度學(xué)習(xí)?！皩W(xué)然后知不足，教然后知困?！睕](méi)有教師巧妙地創(chuàng)設(shè)教學(xué)設(shè)計(jì)，很難有學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生;反過(guò)來(lái)，在不斷引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的思考過(guò)程中，教師的專業(yè)技能也得到了持續(xù)發(fā)展。

在深度學(xué)習(xí)中，教師與學(xué)生，知識(shí)技能的學(xué)習(xí)與思想方法的培養(yǎng)等不再是分離的、對(duì)立的，而是有機(jī)統(tǒng)一的。數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)能夠遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，準(zhǔn)確把握關(guān)鍵問(wèn)題并形成單元學(xué)習(xí)的主題，剖析數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)的聯(lián)系，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，在課堂教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，深度學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生。

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