環(huán)狀刻槽鉆鋌中隨鉆方位電磁波響應的混合算法

汪宏年 , 于蕾， 王浩森， 楊守文， 殷長春

1 吉林大學計算方法與軟件國際中心， 長春 130012 2 河北建筑工程學院， 河北 張家口 075000 3 吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院， 長春 130026

0 引言

隨鉆電磁波測井技術(shù)已成為地質(zhì)導向和地層評價的重要工具，用于實時確定鉆鋌周圍的地層電導率、地層界面或油水接觸面的位置，實現(xiàn)井眼軌跡優(yōu)化.常規(guī)隨鉆電磁波儀器通常由兩對不同源距的共軸發(fā)射線圈與一對共軸接收線圈組成，進行補償式測量，提供長短源距與不同頻率的共軸電磁響應(Clark et al., 1990).這種單一共軸電磁響應不僅難以準確地提供地層電導率以及各向異性信息，也無法直接確定層界面兩邊電導率的相對大小與變化情況，從而給復雜地層條件下(斷塊、裂縫地層、起伏地形等)地質(zhì)導向造成困難(Omeragic et al., 2005).因此，多分量隨鉆電磁波測井技術(shù)已經(jīng)成為當前主要的研究發(fā)展方向(Bell et al., 2006;Fang, 2011).此外，需要指出的是，隨鉆電磁波測井儀器的探頭安裝在鉆頭附近，對傳感器的抗震性有非常高的要求.因此，實際隨鉆測井儀器中所有發(fā)射與接收線圈均安裝在鉆鋌表面的環(huán)狀刻槽中，槽中充填著鐵氧體等磁性材料來提高線圈的發(fā)射和接收效率，同時在鐵氧體外部再充填一層玻璃鋼等高阻耐磨材料(Shumpert and Butler, 1998;Park and Eom, 1999;Wang et al., 2007).由于真實隨鉆電磁測井儀器的鉆鋌表面不再光滑且發(fā)射與接收線圈均鑲嵌在環(huán)狀刻槽中，使得其電磁響應的數(shù)值模擬變得更加復雜，但目前與其相關(guān)的完整數(shù)值模擬方法與數(shù)值結(jié)果的報道非常少.

目前，應用于隨鉆電磁波測井的正演模擬方法主要包括：忽略鉆鋌與井眼影響的解析法 (Wang et al., 2008;姚東華等, 2010;汪建勛等, 2013;Yang et al., 2014;王磊等, 2018, 2020;康莊莊等, 2020)，2維和2.5維模式匹配算法(Tamarchenko and Druskin, 1993;Wang and Yang, 2001; Wang et al., 2012;譚茂金等, 2007;邢光龍等, 2008;朱天竹等, 2017;林藺等, 2017)，3維有限差分法(Wang and Signorelli, 2004;Lee et al., 2012;Zeng et al., 2018)、3維有限體積法 (張燁等, 2012;王浩森等, 2016;Wang et al., 2020)以及3維有限元法(Pardo et al., 2006;俞燕明等, 2013).忽略鉆鋌與井眼效應的解析算法由于計算速度快且計算結(jié)果能夠清楚地反映出井眼周圍地層電導率的變化情況，往往被應用于隨鉆電磁波測井探邊能力考察(Li et al., 2018)以及視電導率提取等(白彥等, 2018)；2維模式匹配算法由于其計算速度快且計算精度高，在側(cè)向測井和感應測井正反演中得到了廣泛應用.這些2維或3維正演模擬算法往往用光滑圓柱形導體來代替光滑鉆鋌，并假設發(fā)射與接收線圈纏繞在光滑鉆鋌的外表面，使數(shù)值模擬過程大大簡化(王浩森等, 2016;Wang et al., 2020).然而，實際鉆鋌表面包含著多個環(huán)狀刻槽且充填著高磁導率的鐵氧體和高阻玻璃鋼外罩，各個線圈安裝在環(huán)狀刻槽內(nèi)部(Park and Eom, 1999;Wang and Signorelli, 2004;于蕾等, 2020).由于環(huán)狀刻槽以及槽中的充填物對隨鉆電磁測井響應存在影響，建立含有刻槽鉆鋌的隨鉆電磁測井響應正演模擬方法，并研究考察其相關(guān)的儀器響應有十分重要的意義.

本文將針對中國科學院地質(zhì)與地球物理研究所自主研發(fā)的隨鉆方位電磁波測井儀器(LWD Azimuthal Electromagnetic Tool, LWD-AEMT)，利用混合算法研究建立一套完整的數(shù)值模擬方法.首先根據(jù)環(huán)狀刻槽的位置，將整個非光滑鉆鋌劃分成多個具有不同層厚、不同電導率和磁導率分布的軸對稱非均質(zhì)層狀模型，進而應用混合法給出每個層狀非均質(zhì)地層中電場和磁場的半解析解.然后，選取多個不同磁導率的鐵氧體和不同電導率的地層，系統(tǒng)地分析發(fā)射線圈的自感電動勢和接收線圈上感應電動勢的變化特征，考察發(fā)射線圈的發(fā)射功率以及阻抗隨鐵氧體磁導率和地層電導率的變化關(guān)系，以便為儀器設計過程中鐵氧體磁導率的選取提供理論依據(jù).同時，通過計算各接收線圈上感應電動勢的大小，定量地給出各個接收器上接收信號的動態(tài)范圍.最后，利用攝動理論建立各個接收器上感應電動勢的微小變化與地層電導率的微小變化之間的關(guān)系，給出隨鉆電磁波測井空間靈敏度的計算方法，并通過數(shù)值模擬結(jié)果分析不同源距的振幅比與相位差空間靈敏度的變化特征.

1 理論

1.1 隨鉆方位電磁波測井儀器結(jié)構(gòu)與測量原理

圖1a是隨鉆方位電磁波傳感器結(jié)構(gòu)示意圖.整個傳感器由一對長源距共軸發(fā)射線圈Tz1/Tz2、一對短源距共軸發(fā)射線圈Tz3/Tz4、一對共軸接收線圈Rz1/Rz2與一對共面接收線圈Rx1/Rx2組成(Fang, 2011;劉乃震等, 2015;Wang et al., 2020).每對線圈均對稱地分布在儀器中心位置的兩邊，能夠提供補償測量，降低層邊界的影響.為便于進行數(shù)值模擬，長、短源距發(fā)射線圈到儀器中心的距離分別用LTz12和LTz34表示，共軸接收線圈和共面接收線圈到儀器中心的距離分別為LRz12和LRx12.鉆鋌外半徑bmandrel、環(huán)狀刻槽徑向深度dgroov、縱向長度Lgroov以及環(huán)狀刻糟部分的鉆鋌內(nèi)半徑bgroov=bmandrel-dgroov等參數(shù)見表1.鉆鋌電導率σmandrel、鐵氧體電導率σferrite和相對磁導率μr,ferrite以及玻璃鋼電導率σglass和相對磁導率μr,glass等相關(guān)參數(shù)見表2，其中鐵氧體的相對磁導率μr,ferrite可以取不同的值.所有共軸線圈均纏繞在鐵氧體與玻璃鋼之間，位于環(huán)狀刻槽的中心位置，半徑為ρT=ρR=bmandrel-dgroov/2.與共軸接收線圈不同，共面接收線圈的法線方向垂直于鉆鋌表面，貼附在鐵氧體與玻璃鋼之間，由兩個大小、形狀相同的柱面線圈組成且對稱地安裝在刻槽鉆鋌軸線兩側(cè)，到井軸距離為ρR，法方向?qū)姆轿唤欠謩e為φR和π+φR.此外，井眼半徑為a、泥漿電導率為σmd.為簡單起見，假定鉆鋌居于井眼中心，井眼外地層電導率σ是均勻的.為了能夠利用混合法對隨鉆方位電磁波測井響應進行數(shù)值模擬，在每個環(huán)狀刻槽的上下邊界添加水平虛擬層邊界，使其成為一個水平層狀模型，dn(n=1,2,…,N+1)為虛擬層邊界的位置，且d1=-∞，dN+1=+∞，N=17是總層數(shù)(見圖1b).

表1 刻槽鉆鋌和環(huán)狀刻槽的尺寸Table 1 Dimensions of grooved mandrel and annular grooves

表2 介質(zhì)的電導率和相對磁導率Table 2 Conductivity and relative permeability of mediums

由于金屬鉆鋌、井眼以及地層電導率的空間分布是柱對稱的，并且僅存在共軸發(fā)射線圈，因此，各個線圈產(chǎn)生的電磁場可通過混合法加以求解.為方便起見，我們將環(huán)狀刻槽所在層的電導率和相對磁導率的徑向分布分別表示為

(1)

和

(2)

而不含環(huán)狀刻槽的層的相對磁導率等于1，其電導率的徑向分布可表示為

(3)

1.2 隨鉆方位電磁波測井響應混合算法

對于圖1b的層狀非均質(zhì)模型，位于zT處、半徑為ρT的共軸發(fā)射線圈產(chǎn)生的電磁場滿足如下Maxwell方程 (時間因子為e-iω t)：

(4)

其中，σ*(r)=-iωε(r)+σ(r)為空間復電導率；為簡單起見，介電常數(shù)等于真空中的介電常數(shù)，即ε(r)=ε0；I為發(fā)射電流振幅.

圖1 隨鉆方位電磁波測井井下環(huán)狀刻槽鉆鋌上傳感器結(jié)構(gòu)示意圖(a) 環(huán)狀刻槽鉆鋌上發(fā)射和接收線圈系； (b) 用于數(shù)值模擬的層狀地層模型.Fig.1 The downhole sensor of the LWD-AEMT mounted on annular grooved mandrel(a) Transmitting and receiving coils on annular grooved mandrel； (b) Horizontal layered model for numerical simulation.

=iωμ0Iδ(ρ-ρT)δ(z-zT)，ρ>bgroov,

(5)

其中，

(6)

為二階微分算子(Wang and Yang, 2001; Wang et al., 2012).且Eφ分量在各個水平界面上滿足如下條件：

(7a)

而在環(huán)狀刻槽表面對應的柱狀界面ρ=bgroov上，滿足齊次邊界條件：

Eφ(ρ,z;ρT,zT)|ρ=bgroov=0.

(7b)

為獲得方程(5)在邊界條件(7)下的解，假定接收點位于第n層地層且位置為(ξ,η)，引入方程(5)在第n層地層中的對偶函數(shù)gn(ρ,z;ξ,η)(Tamarchenko and Druskin, 1993;Wang and Yang, 2001)：

δ(ρ-ξ)δ(z-η)，ρ>bgroov,

(8)

其中，

(9)

則利用混合法可得到方程(8)的半解析解(見附錄A)：

(10)

其中，ST(ρ)=(φ1(ρ),φ2(ρ),…,φ2k(ρ),…,φ2K(ρ))是在足夠長的徑向區(qū)間[bgroov,ρMX]內(nèi)的不均勻離散節(jié)點ρk(k=0,1,2,…,2K+1)上的插值基函數(shù)組成的行向量(Wang and Yang, 2001; Wang et al., 2012).選用如下Newton基函數(shù)，即在偶數(shù)節(jié)點上：

k=1,2,…,K

(11)

而在奇數(shù)節(jié)點上：

ρ2k≤ρ≤ρ2k+2,

k=0,1,…,K

(12)

并且假定徑向最小節(jié)點和最大節(jié)點分別為ρ0=bgroov和ρ2K+1=ρMX，通常選取ρMX=30m.

利用Green第二積分公式將方程(5)和(8)結(jié)合，可以得到空間電場的積分解：

(13)

為快速計算各個水平界面上的電場，將水平邊界上各個徑向離散節(jié)點ρk(k=1,2,…,2K)上的電場組合成2K階列向量的形式：

(14)

同時，結(jié)合方程(11)和(12)，每個水平界面上的電場可以表示成如下緊湊形式：

(15)

將方程(10)和(15)代入到 (13)中，得到如下矩陣形式的空間電場：

Eφ,n(ρ,z;ρT,zT)=

(16)

此外，為了確定各個水平界面上的電場，將邊界條件(7a)和方程(16)結(jié)合，得到關(guān)于未知向量Un(ρT,zT)的代數(shù)方程：

(17)

H(ρ,z;ρT,zT)=

(18)

1.3 隨鉆方位電磁波測井響應的空間靈敏度

當電導率存在微小攝動時，zT處共軸發(fā)射線圈在zR處接收器上的感應電動勢V(zR;zT)=2πρREφ(ρR,zR;ρT,zT)會產(chǎn)生相應的變化δV(zR;zT).利用攝動原理與Green積分公式，可以得到感應電動勢微小變化δV(zR;zT)與電導率攝動量δσ(ρ,z)間的關(guān)系為(Wang et al., 2012)：

×σ-1(ρ,z)δσ(ρ,z)dρ，

(19)

(20)

將(19)代入(20)中，并整理可得：

(21)

其中，

(22)

分別是電場振幅比與相位差的空間靈敏度函數(shù).其物理含義是半徑為ρ、厚度為dρ和高度為dz的小圓環(huán)上，當電導率的相對變化量為σ-1(ρ,z)δσ(ρ,z)時，振幅與相位的相對微小變化.

2 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)將通過數(shù)值模擬結(jié)果研究考察鐵氧體的相對磁導率變化對隨鉆方位電磁測井響應的影響，以便為鐵氧體磁導率的選擇提供理論依據(jù).在此基礎(chǔ)上，通過對刻槽鉆鋌、光滑鉆鋌與無鉆鋌情況的測井響應進行對比分析，研究分析刻槽鉆鋌對隨鉆方位電磁波測井響應的影響.

2.1 算法驗證

首先將前面的混合法(Hybrid method)與三維有限體積法(3D FVM)的數(shù)值結(jié)果進行對比，以驗證混合法的有效性.為簡單起見，假定鉆鋌中鐵氧體充填物的相對磁導率為150，并選取29個不同的地層電導率：0.001、0.01、0.02、0.05、0.06、0.07、0.085、0.1、0.125、0.2、0.275、0.35、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0、1.25、2.0、2.75、3.50、4.0、5.0、6.0、7.0、8.0和10.0 S·m-1.圖2是400 kHz和2 MHz兩個工作頻率情況下，分別由本文的混合法與三維有限體積法(于蕾等, 2020)得到的共軸電磁響應對比圖.其中，圖2a和2c分別是長短源距振幅比響應，圖2b和2d分別是長短源距相位差響應.由圖可以看出，無論是振幅比還是相位差，兩種方法的計算結(jié)果幾乎完全重合，其相對誤差小于1%.

圖2 均勻各向同性地層中由混合法與三維有限體積法得到的隨鉆共軸電磁響應對比(a) 長源距振幅比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距振幅比； (d) 短源距相位差. 藍色實線和紅色虛線是混合法數(shù)值結(jié)果，藍色▲和紅色★離散符號是三維有限體積法數(shù)值結(jié)果.Fig.2 Comparison of LWD coaxial EM responses computed by Hybrid method with that by 3D FV method in homogenous formation with the conductivity ranging from 0.001 to 10S/m(a) Attenuation of long spacing; (b) Phase shift of long spacing; (c) Attenuation of short spacing; (d) Phase shift of short spacing.

2.2 刻槽鉆鋌、光滑鉆鋌與無鉆鋌隨鉆電磁波測井響應的對比

采用與圖2相同的地層模型，分別利用混合法(Hybrid method)和傳輸線法(TLM)計算出光滑鉆鋌和無鉆鋌情況下的隨鉆電磁波測井響應，并與圖2中刻槽鉆鋌情況下的共軸電磁響應進行對比，考察刻槽鉆鋌、光滑鉆鋌和無鉆鋌三種不同情況下隨鉆電磁波測井響應的差異.對于光滑鉆鋌情況，假定所有發(fā)射與接收線圈均安裝在柱狀鉆鋌外、距離鉆鋌表面0.005 m處；而無鉆鋌情況則將發(fā)射與接收線圈看作磁偶極子.圖3同時給出了三種不同情況下高頻與低頻共軸響應的數(shù)值模擬結(jié)果.其中，圖3a和3c分別是長短源距振幅比，而圖3b和3d是長短源距相位差.從圖3a和圖3c的數(shù)值結(jié)果不難看出，無鉆鋌情況的振幅比與刻槽鉆鋌和光滑鉆鋌情況的振幅比相差很大，特別是短源距振幅比的最大差值超過了50%.因此，利用不考慮鉆鋌影響的儀器模型研究隨鉆方位電磁波測井響應會產(chǎn)生很大的誤差.然而，與振幅比的響應特征不同，圖3b和圖3d的數(shù)值結(jié)果顯示刻槽鉆鋌、光滑鉆鋌與無鉆鋌三種情況下計算得到的相位差差異較小，即相位差響應受鉆鋌和刻槽的環(huán)狀影響非常小.

圖3 均勻各向同性地層中刻槽鉆鋌、光滑鉆鋌與無鉆鋌情況下隨鉆共軸電磁響應對比(a) 長源距振幅比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距振幅比； (d) 短源距相位差. 藍色與紅色虛線以及離散符號▲和■分別是刻槽鉆鋌與光滑鉆鋌的測井響應(混合法求得)，藍色與紅色實線是無鉆鋌情況下的測井響應(由傳輸線法得到).Fig.3 Comparison of LWD coaxial EM responses for three different mandrels: with annular groove, smooth mandrel and without mandrel in homogenous formation(a) Attenuation of long spacing; (b) Phase shift of long spacing; (c) Attenuation of short spacing; (d) Phase shift of short spacing.

2.3 鐵氧體磁導率對隨鉆方位電磁波測井儀器的發(fā)射功率和接收線圈上感應電動勢的影響

由于隨鉆方位電磁波測井儀器主要采用蓄電池或泥漿發(fā)電機供電，在儀器設計中需要了解儀器功耗、發(fā)射線圈阻抗、接收線圈信號動態(tài)范圍等信息，以便合理分配有限的電力資源.為此，我們選擇22個不同的地層電導率σ：0.001、0.01、0.02、0.05、0.08、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0、1.5、2.0、3.0、4.0、5.0、8.0和10.0 S/m，以及22個不同的鐵氧體相對磁導率μr：1、1.3、1.7、2.2、2.8、3.7、4.8、6.3、8.1、10.6、13.7、17.9、23.3、30.3、39.4、51.2、66.5、86.5、112.5、146.2、190和240，利用混合法計算四個發(fā)射線圈(Tz1、Tz2、 Tz3和Tz4)上的自感電動勢以及兩個共軸接收線圈(Rz1和Rz2)和單邊共面接收線圈(Rx1和Rx2)上的感應電動勢，進而利用計算結(jié)果研究分析不同地層電導率和不同鐵氧體磁導率情況下儀器發(fā)射功率、發(fā)射阻抗以及接收線圈上感應電動勢的動態(tài)變化范圍，為選擇合適的鐵氧體磁導率提供理論依據(jù).

2.3.1 儀器發(fā)射功率與發(fā)射阻抗的變化特征

圖4是工作頻率為400 kHz和2 MHz情況下發(fā)射線圈Tz1上的自感電動勢的正演模擬結(jié)果.其中，圖4a和圖4b是400 kHz情況下自感電動勢的實部和虛部，而圖4c和圖4d是2 MHz情況下自感電動勢的實部和虛部.由于自感電動勢的虛部大小主要反映線圈的直耦電動勢，其受地層電導率的影響較小，但受鐵氧體磁導率變化的影響卻非常大(見圖4b和4d)，且隨著鐵氧體磁導率的增加而單調(diào)變化.而自感電動勢的實部對地層電導率和鐵氧體磁導率變化均較為敏感(見圖4a和圖4c).此外，在μr<20的范圍內(nèi)，自感電動勢的實部(即波阻抗值與發(fā)射功率)受鐵氧體磁導率的影響最明顯，隨后鐵氧體磁導率的增加對波阻抗值與發(fā)射功率的影響逐漸減弱，且當μr增加到150后，波阻抗值與發(fā)射功率似乎進入飽和狀態(tài).由此不難推斷：選擇μr=200的鐵氧體磁導率作為環(huán)狀刻槽的充填物較為合適.此外，當μr=200固定不變時，由圖4a和4c的數(shù)值結(jié)果可以看出，在整個電導率變化范圍內(nèi)，低頻和高頻發(fā)射功率大約為2.3 W和6 W，相差2倍以上，而波阻抗大約為4.6+620i和12+3100i.

圖4 發(fā)射線圈Tz1上的自感電動勢隨地層電導率和鐵氧體磁導率的變化關(guān)系(a) 低頻、實部； (b) 低頻、虛部； (c) 高頻、實部； (d) 高頻、虛部.Fig.4 Self-induced voltage on the transmitting antenna Tz1 for different formation conductivity and ferrite relative permeability(a) Real part for 400 kHz; (b) Imaginary part for 400 kHz; (c) Real part for 2 MHz; (d) Imaginary part for 2 MHz.

2.3.2 共軸接收線圈上的感應電動勢以及振幅比和相位差的變化特征

為考察地層電導率和鐵氧體磁導率變化對共軸接收線圈上的感應電動勢的影響及其動態(tài)變化范圍，圖5和圖6分別給出400 kHz和2 MHz工作頻率下長源距發(fā)射線圈Tz1在共軸接收線圈Rz1和Rz2上對應的感應電動勢Vz1和Vz2.結(jié)果顯示：感應電動勢的實部和虛部對地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化均較為敏感，且?guī)缀跏窍鄬Υ艑实膯握{(diào)增函數(shù)；與發(fā)射線圈上自感電動勢的特征不同，地層電導率變化對兩個接收線圈上感應電動勢的影響更為明顯.根據(jù)圖5和圖6的計算結(jié)果可以清楚地看到不同地層電導率和鐵氧體相對磁導率情況下兩個共軸接收線圈上感應電動勢的動態(tài)變化范圍，為接收電路設計提供重要參數(shù).

圖5 發(fā)射線圈Tz1在共軸接收線圈Rz1和Rz2上的感應電動勢(Vz1和Vz2)隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(400 kHz)(a) Vz1實部； (b) Vz1虛部； (c) Vz2實部； (d) Vz2虛部.Fig.5 The induced voltage (Vz1 and Vz2) of transmitter coil Tz1 on coaxial receiving coils Rz1 and Rz2 for different formation conductivity and ferrite relative permeability (400 kHz)(a) Real part of Vz1; (b) Imaginary part of Vz1; (c) Real part of Vz2; (d) Imaginary part of Vz2.

圖6 發(fā)射線圈Tz1在共軸接收線圈Rz1和Rz2上的感應電動勢(Vz1和Vz2)隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(2 MHz)(a) Vz1實部； (b) Vz1虛部； (c) Vz2實部； (d) Vz2虛部.Fig.6 The induced voltage (Vz1 and Vz2) of transmitter coil Tz1 on coaxial receiving coils Rz1 and Rz2 for different formation conductivity and ferrite relative permeability (2 MHz)(a) Real part of Vz1; (b) Imaginary part of Vz1; (c) Real part of Vz2; (d) Imaginary part of Vz2.

由于隨鉆方位電磁波測井的輸出資料是軸向感應電動勢的振幅比和相位差，為此，圖7和圖8分別給出了400 kHz和2 MHz工作頻率下，長短源距發(fā)射線圈在共軸接收線圈Rz1和Rz2上感應電動勢的振幅比(Att)與相位差(Ps).從圖可以看出，振幅比與相位差幾乎不受環(huán)狀刻槽中磁導率的影響，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是環(huán)狀刻槽中鐵氧體的體積相對較小，僅僅影響了其周圍較小范圍內(nèi)的電磁場空間分布，而對遠離鐵氧體的鉆鋌外部地層中的電磁場影響非常小.這也說明充填的鐵氧體有效地提高了發(fā)射線圈的發(fā)射功率、增加了波阻抗、同時也提高了接收線圈上感應電動勢的強度，但對鉆鋌外的電磁場空間分布影響不明顯，因此，共軸接收線圈上感應電動勢的振幅比(Att)與相位差(Ps)主要反映地層電導率的變化特征.

圖7 共軸接收線圈Rz1和Rz2上感應電動勢的振幅比(Att)與相位差(Ps)隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(400 kHz)(a) 長源距振幅比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距振幅比； (d) 短源距相位差.Fig.7 Attenuation and Phase shift of induced voltage on coaxial receiving coils Rz1 and Rz2 for different formation conductivity and ferrite relative permeability (400 kHz)(a) Attenuation of long spacing; (b) Phase shift of long spacing; (c) Attenuation of short spacing; (d) Phase shift of short spacing.

圖8 共軸接收線圈Rz1和Rz2上感應電動勢的振幅比(Att)與相位差(Ps)隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(2 MHz)(a) 長源距振幅比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距振幅比； (d) 短源距相位差.Fig.8 Attenuation and Phase shift of induced voltage on coaxial receiving coils Rz1 and Rz2 for different formation conductivity and ferrite relative permeability (2 MHz)(a) Attenuation of long spacing; (b) Phase shift of long spacing; (c) Attenuation of short spacing; (d) Phase shift of short spacing.

2.3.3 共面接收線圈上感應電動勢的變化特征

與常規(guī)隨鉆電磁波儀器相比，隨鉆方位電磁波儀器在鉆鋌上增加了兩個共面接收線圈Rx1和Rx2，用于測量電磁場橫向分量，提高探邊能力和各向異性識別能力.由于每個共面接收線圈有兩個大小相同的小線圈對稱地貼附在鉆鋌兩邊(Wang et al., 2020)，其角度正好相差180°，在直井情況下，對于單個的小線圈，由于其不在鉆鋌的軸線上，感應電動勢不等于零，且對稱分布的兩個小線圈上的感應電動勢大小相同、符號相反，因此，直井中Rx1和Rx2上的感應電動勢等于零.所以，這里我們考察共面接收線圈中單個小線圈上的感應電動勢隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化情況.圖9和圖10分別是400 kHz和2 MHz工作頻率下，在不同地層電導率和鐵氧體相對磁導率的情況下由發(fā)射線圈Tz2和Tz4在共面接收線圈Rx1的單邊小線圈上產(chǎn)生的感應電動勢.結(jié)果顯示：地層電導率和鐵氧體相對磁導率變化對橫向感應電動勢影響非常大.圖11給出了不同地層電導率和鐵氧體相對磁導率情況下共面接收線圈Rx1的單邊小線圈上的合成感應電動勢Vzx1(劉乃震等, 2015;Wang et al., 2020)，合成后的橫向感應電動勢受鐵氧體磁導率的影響仍然很大.從數(shù)值結(jié)果不難推斷，由于橫向感應電動勢本身很小，加入高磁導率的鐵氧體后可以大大增加橫向感應電動勢的強度，有利于提高橫向分量的測量精度.

圖9 發(fā)射線圈Tz2和Tz4在共面接收線圈Rx1的單邊小線圈上產(chǎn)生的感應電動勢Vxz隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(400 kHz)(a) Tz2產(chǎn)生的Vxz實部； (b) Tz2產(chǎn)生的Vxz虛部； (c) Tz4產(chǎn)生的Vxz實部； (d) Tz4產(chǎn)生的Vxz虛部.Fig.9 The induced voltage Vxz on the single-side coil of the coplanar coil Rx1 by the transmitter coils Tz2 and Tz4 for different formation conductivity and ferrite relative permeability (400 kHz)(a) Real part of Vxz by Tz2; (b) Imaginary part of Vxz by Tz2; (c) Real part of Vxz by Tz4; (d) Imaginary part of Vxz by Tz4.

圖10 發(fā)射線圈Tz2和Tz4在共面接收線圈Rx1的單邊小線圈上產(chǎn)生的感應電動勢Vxz隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(2 MHz)(a) Tz2產(chǎn)生的Vxz實部； (b) Tz2產(chǎn)生的Vxz虛部； (c) Tz4產(chǎn)生的Vxz實部； (d) Tz4產(chǎn)生的Vxz虛部.Fig.10 The induced voltage Vxz on the single-side coil of the coplanar coil Rx1 by the transmitter coils Tz2 and Tz4 for different formation conductivity and ferrite relative permeability (2 MHz)(a) Real part of Vxz by Tz2; (b) Imaginary part of Vxz by Tz2; (c) Real part of Vxz by Tz4; (d) Imaginary part of Vxz by Tz4.

2.3.4 共軸接收線圈上的直耦電動勢及其對儀器響應的影響

圖11 共面接收線圈Rx1的單邊小線圈上的合成感應電動勢V1xz隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(a) 低頻、實部； (b) 低頻、虛部； (c) 高頻、實部； (d) 高頻、虛部.Fig.11 The synthetic induced voltage V1xz on the single-side coil of the coplanar coil Rx1 by both transmitter coils Tz2 and Tz4 for different formation conductivity and ferrite relative permeability(a) Real part for 400 kHz; (b) Imaginary part for 400 kHz; (c) Real part for 2 MHz; (d) Imaginary part for 2 MHz.

圖12 四個發(fā)射線圈分別在共軸接收線圈Rz1上的直耦電動勢隨鐵氧體磁導率的變化關(guān)系(a) 低頻、實部； (b) 低頻、虛部； (c) 高頻、實部； (d) 高頻、虛部.Fig.12 Direct coupling voltage on the coaxial receiver Rz1 by the four transmitters in air for different ferrite relative permeability(a) Real part for 400 kHz; (b) Imaginary part for 400 kHz; (c) Real part for 2 MHz; (d) Imaginary part for 2 MHz.

圖13 消除直耦信號影響后的共軸接收線圈上感應電動勢的振幅比和相位差隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(400 kHz)(a) 長源距振幅比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距振幅比； (d) 短源距相位差.Fig.13 Attenuation and Phase shift of induced voltage on coaxial receivers for different formation conductivity and ferrite relative permeability after removing direct coupling signal (400 kHz)(a) Attenuation of long spacing; (b) Phase shift of long spacing; (c) Attenuation of short spacing; (d) Phase shift of short spacing.

圖14 消除直耦信號影響后的共軸接收線圈上感應電動勢的振幅比和相位差隨地層電導率和鐵氧體相對磁導率的變化關(guān)系(2 MHz)(a) 長源距振幅比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距振幅比； (d) 短源距相位差.Fig.14 Attenuation and phase shift of induced voltage on coaxial receivers for different formation conductivity and ferrite relative permeability after removing direct coupling signal (2 MHz)(a) Attenuation of long spacing; (b) Phase shift of long spacing; (c) Attenuation of short spacing; (d) Phase shift of short spacing.

2.4 空間靈敏度

利用空間靈敏度計算公式(22)，可以確定隨鉆方位電磁波測井共軸響應的振幅比與相位差的空間靈敏度分布.圖15和圖16是在地層電導率為0.1 S·m-1的情況下，2 MHz工作頻率時短源距與長源距的振幅比與相位差空間靈敏度分布情況.首先，從圖中可以看出，鉆鋌中的環(huán)狀刻槽影響的方位非常小，對鉆鋌外部的地層幾乎沒有影響.對比圖15和圖16可以看出，短源距的探測范圍與探測深度明顯比長源距小.此外，振幅比空間靈敏度分布與相位差空間靈敏度分布之間存在著明顯差異，振幅比空間靈敏度的分布范圍更大，其探測深度更大.

圖15 短源距軸向感應電動勢的振幅比與相位差空間靈敏度分布圖(2 MHz)(a) 振幅比空間靈敏度； (b) 相位差空間靈敏度.Fig.15 Spatial sensitivity distribution of attenuation and phase shift of coaxial induced electromotive force in high frequency of 2 MHz for the short spacing(a) Spatial sensitivity of attenuation; (b) Spatial sensitivity of phase shift.

圖16 長源距軸向感應電動勢的振幅比與相位差空間靈敏度分布圖(2 MHz)(a) 振幅比空間靈敏度； (b) 相位差空間靈敏度.Fig.16 Spatial sensitivity distribution of attenuation and phase shift of coaxial induced electromotive force in high frequency of 2 MHz for the long spacing(a) Spatial sensitivity of attenuation; (b) Spatial sensitivity of phase shift.

3 結(jié)論

本文利用混合法研究建立了環(huán)狀刻槽鉆鋌情況下隨鉆方位電磁波測井響應的數(shù)值模擬方法，對環(huán)狀刻槽中鐵氧體磁導率以及地層電導率變化對各個線圈上感應電動勢的影響特征進行了系統(tǒng)分析.數(shù)值結(jié)果顯示，鐵氧體磁導率的增大明顯提高了發(fā)射線圈的發(fā)射功率，選擇相對磁導率等于200的鐵氧體已能夠顯著地提高發(fā)射效率以及各個接收器上感應電動勢的強度.而在改進儀器發(fā)射效率的同時，鐵氧體對周圍的電磁場空間分布以及探測能力無明顯影響，因此，在對共軸電磁響應進行處理時不需要考慮鉆鋌環(huán)狀刻槽的影響.然而，對于共面電磁響應，環(huán)狀刻槽以及鐵氧體磁導率會對其產(chǎn)生較大影響，如何定量解釋橫向電磁有待更進一步的研究.

附錄A

(A1)

(A2)

(A3)

其中，

(A4)

(A5)

(A6)

附錄B

將方程(17)簡化成如下帶狀方程(Tamarchenko and Druskin, 1993;Wang and Yang, 2001)：

(B1)

其中，

(B2)

(B3)

a)傳播矩陣的遞推運算

首先不考慮右端項的影響.利用條件U1=0和UN+1=0，可以得到地層界面n+1與地層界面n上的電場遞推公式：

(B4)

其中，

(B5)

(B6)

其中，

(B7)

b)匹配矩陣遞推算法

將(B4)和(B6)代入到方程(B1)中得到：

(B8)

其中，

(B9)

稱為界面匹配矩陣.