基于壓縮感知的Logistic多渦卷混沌保密通信

黃 沄，張 鵬

(1.重慶郵電大學資產(chǎn)管理處， 重慶 400065； 2.重慶郵電大學教務處， 重慶 400065)

混沌信號具有非周期性、類似隨機噪聲的寬頻譜特性、良好的相關性等統(tǒng)計特性，因此在保密通信中有著巨大的潛在價值[1]?；煦缭诒Ｃ芡ㄐ畔到y(tǒng)中的研究取得了一定的研究成果，如張定梅[2]提出了一種基于3個半導體環(huán)形激光器進行雙路混沌通信的方案，引入交叉反饋后，混沌信號的質(zhì)量得到了明顯的改善，但在傳輸距離上對通信質(zhì)量的提升有一定的制約。Zirkohi[3]提出一種基于多項式模糊模型的同步多渦槳混沌系統(tǒng)的安全通信設計方法，采用基于多項式-模糊模型的混沌同步方法實現(xiàn)了系統(tǒng)的自適應混沌同步，但效率不高。肖成龍等[4]運用Lyapunov指數(shù)與NIST測試驗證了該混沌系統(tǒng)的混沌特性及隨機性，提高安全性，但對信號傳輸性能有一定的影響。王燦妮等[5]以Logistic映射迭代的數(shù)據(jù)替換驅(qū)動系統(tǒng)的參數(shù)，建立一種參數(shù)調(diào)制的混沌保密通信方案，但僅局限于圖像保密通信方案。劉林芳等[6]應用混沌陣子相空間對稱陣子和同步，提出了基于相空間對稱混沌陣子的保密通信系統(tǒng)，可滿足其在大規(guī)模保密通信中的應用，又能保持原混沌陣子的優(yōu)良特性，但復雜度比較高。

針對目前混沌保密系統(tǒng)存在的問題和不足[7-10]，現(xiàn)以Logistic混沌為研究對象，從混沌信號的復雜度與傳輸長度角度，引入多渦卷思想，將Logistic混沌進行改進，同時引入壓縮感知思想，采用Logistic混沌對信號進行長度的控制，得到的重構(gòu)信號用于異步數(shù)字保密通信系統(tǒng)，并驗證該信號保密通信處理方法的可行性。

1 壓縮感知理論

假設X∈RB×1表示一維信號，信號X在一組B×B維正交基η={η1，η2，…，ηB}上展開為

(1)

式(1)中：αk=，X、α都是B×1維度向量。當信號X在某個正交基η上存在k個非零系數(shù)(k?B)αk時，則η表示信號X的稀疏基，α為含有k個值的B維向量。實際通信過程中，信號不會是稀疏的，需要經(jīng)過式(1)的轉(zhuǎn)換，即實現(xiàn)通信信號的稀疏化。比較常見的稀疏基η有正余弦基、小波基、Chirplet基等。

將信號XB×1投射到一組測量矩陣φA×B(B?A)上，從而得到X的A個采樣數(shù)據(jù)YA×1，即

Y=φX

(2)

在函數(shù)的表示上，可以將式(1)、式(2)相結(jié)合，得到采樣數(shù)據(jù)Y與變換系數(shù)α之間的函數(shù)關系為

Y=φ×X=φ×η×α

(3)

根據(jù)上面的描述，壓縮感知的數(shù)據(jù)采集描述如圖1所示。

圖1 壓縮感知的數(shù)據(jù)采集過程Fig.1 Acquisition process of compressed sensing data

由圖1可知，待測信號矩陣，假定它是一個二維矩陣(A×B)，通過壓縮后變?yōu)橐粋€一維矩陣(A×1)，同時需要考慮基于一維矩陣(A×1)需要還原為待測的信號矩陣(A×B)，即需要保證正交稀疏基η、待測矩陣φ不相關，文獻[11-12]中還進一步提到φ必須滿足限制等距性(restricted isometry property, RIP)準則，即對任意含有k個值的B維向量h，β為信號的變換系數(shù)，待測矩陣φ應該滿足：

(4)

2 Logistic混沌的多渦卷改進研究

由于Tent混沌[13]與Logistic混沌[14]在信號表示上存在拓撲共軛的關系，引入多渦卷思想，Tent混沌已經(jīng)可以拓展為分段Tent混沌，相應地，Logistic混沌也可以采用分段的形式，從而有助于改善其密鑰空間小、序列復雜度低的問題。其中范九倫等[15]提出一種分段Logistic混沌映射方法，在試驗過程中對分段映射的執(zhí)行效率及信號傳輸?shù)陌踩赃M行了驗證，其中，分段Logistic混沌表示為

(5)

式(5)中對應的參數(shù)an∈(0,1)，θ∈[0, 4]，需要強調(diào)的是分段Logistic混沌具有較強的非線性性質(zhì)，因為分段并不會改變該非線性函數(shù)的初始值區(qū)間、參數(shù)范圍。蔡丹等[16]在范九倫研究的基礎上進一步分段，提出了三段式的Logistic混沌信號處理方法，定義為

(6)

王亥等[17]進一步改進Logistic混沌，但是這個改進并不是分段，混沌函數(shù)定義為

(7)

該函數(shù)在表示上與一般Logistic混沌函數(shù)相同，但是在參數(shù)的取值上有明顯的改進，其中an的取值范圍為[-1, 1]，同時將θ的取值范圍縮減為[0, 2]，但是整體映射空間與原有Logistic混沌映射一致。

范九倫在王亥算法基礎上進一步引入多渦卷的思想，將Logistic混沌進行分段[18]，通過試驗仿真證明該分段Logistic混沌的各項性能均好于一般Logistic混沌，張薇等[19]在研究擴頻通信領域的通信保密性問題時，也引用了該方法，該算法的函數(shù)為

(8)

式(8)中繼承了王亥算法的優(yōu)點[17]，即將an的取值范圍設置為[-1, 1]，將θ的取值范圍調(diào)整為[0, 2]，同時引入了分段的方法，但是算法在實現(xiàn)過程中適當增加了復雜度，保證了加密運算的安全性?，F(xiàn)從Logistic混沌的安全性角度，引入范九倫等提出的兩段式Logistic混沌數(shù)據(jù)處理算法[18]。

3 基于Logistic的改進混沌-伯努利測量矩陣算法

混沌是非線性系統(tǒng)所獨有且一直都存在的一種非周期運動形式，因為混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)集具有確定性、隨機性等特點，因而在非線性關系、信號調(diào)制、保密通信等領域都具有較好的應用。

結(jié)合王亥等提出的Logistic混沌模型，在θ取值范圍調(diào)整設置為[1.872, 2]內(nèi)，a0的取值設置為0.23、0.36或者0.68時，對應的Lyapunov指數(shù)均大于0，由Logistic系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機序列{an}經(jīng)過式(9)符號函數(shù)映射成序列{gn}，其中：

(9)

在文獻[20]中提到將θ設置為2.0時，當前的Logistic系統(tǒng)產(chǎn)生的{gn}滿足伯努利(Bernoulli)分布，同時也滿足RIP性質(zhì)，此時經(jīng)由Logistic系統(tǒng)產(chǎn)生的序列{gn}可以作為壓縮感知的測量矩陣。首先對Logistic混沌進行二段式處理，使其復雜度提高，整體映射空間與原有Logistic混沌映射一致，具體構(gòu)造測量矩陣算法步驟如下。

(1)經(jīng)過反復試驗對比，證實在θ設置為2.0，a0的初值設置為0.23、0.36或者0.68時，重構(gòu)后的均方誤差(MSE)分別為0.096 57、0.083 15及0.088 71，取值略微存在差異，故將對應參數(shù)設置為θ=2.0，a0=0.36，通過改進Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列{gn}，對應序列長度為n=A×B-1。

(2)將步驟1生成的序列{an}通過式(9)得到符號函數(shù)映射序列{gn}。

(3)對生成的序列{gn}進行長度為B的截取，從而得到A×B維的測量矩陣φ。根據(jù)文獻[21]分析，傳統(tǒng)的Logistic混沌算法的時間復雜度超過O(B2)，而本文模型對應的時間復雜度為O(A×B)，其中A?B，通過仿真可以對本文改進混沌-伯努利(Chaos-Bernoulli)算法得到的序列與常規(guī)伯努利隨機序列進行對比，如圖2所示。

圖2 伯努利隨機序列與改進混沌-伯努利序列對比Fig.2 Comparison of Bernoulli random sequences with improved Chaos-Bernoulli series

在圖2中對比采用混沌-伯努利生成的隨機序列、伯努利生成的隨機序列，會發(fā)現(xiàn)前者產(chǎn)生的隨機序列具有更好地平均性、穩(wěn)定性，在對應統(tǒng)計點-1、1的個數(shù)趨近于相同。

4 實驗仿真與分析

以Logistic混沌作為研究對象，分別從信號的保密性和長度角度，引入了多渦卷、壓縮感知思想，從而生成改進型混沌-伯努利測量矩陣。首先對通過一維信號進行仿真，從而驗證測量矩陣抗干擾特性，然后將該矩陣信號用于異步數(shù)字保密通信系統(tǒng)中，驗證信號的還原性及安全性。

4.1 一維信號的仿真試驗

選取長度B=256的一維信號，測量數(shù)A為B的一半，即壓縮比A/B=1/2，信號重構(gòu)借鑒正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法，測試結(jié)果如圖3所示。

圖3 一維信號的改進混沌-伯努利測量矩陣的重構(gòu)結(jié)果 Fig.3 Reconstruction results of one-dimensional signal measurement matrix based Improved Chaos-Bernoull

由圖3可知，采用的改進混沌-伯努利測量矩陣可以對原始信號進行重構(gòu)，重構(gòu)信號波形與原有的波形幾乎一致。在信號長度為B=256，同時測量數(shù)A=128的情況下，即壓縮比A/B=1/2時，重構(gòu)信號波形與原有的波形幾乎一致；當信號長度B和測量數(shù)A取不同值時測試各個測量矩陣的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)，如圖4所示。

圖4 一維信號在不同測量矩陣下的PSNR對比Fig.4 PSNR comparison of one-dimensional signals under different measurement matrices

由圖4可知，采用改進混沌-伯努利測量矩陣所得到的波形表現(xiàn)較為平穩(wěn)，即伴隨著壓縮比的不斷提高，對應的PSNR也穩(wěn)步上升，同時PSNR值均優(yōu)于其他測量矩陣。

4.2 異步數(shù)字保密通信系統(tǒng)的設計

假設p(s)是原始二進制信號序列，對每個比特進行預處理，經(jīng)由式(10)得到對應的p′(s)，函數(shù)表達式為

p′(s)=p(s)-{[p(s)+1]mod2}

(10)

經(jīng)由式(8)可以得到A(t)，其中含有a1(t)、a2(t)、a3(t)及a4(t)共4個狀態(tài)變量，它們的值對應的區(qū)間不同，按照一定比例將狀態(tài)變量A(t)的振幅調(diào)整到同一個區(qū)間范圍內(nèi)[Amin,Amax]，即B(t)，通過式(11)可以將a1(t)、a2(t)、a3(t)及a4(t)轉(zhuǎn)換為b1(t)、b2(t)、b3(t)及b4(t)轉(zhuǎn)換公式為

(11)

式(11)中：J為信號增益的倍數(shù)。

在B(t)中需要進行閾值的監(jiān)測，即從B(t)內(nèi)剔除部分在[-u,u]內(nèi)的值，從而得到BC(t)，其中u(u≥6)表示噪聲系數(shù)，同時將BC(t)對應時刻的差值區(qū)間定義為[A,E]，需要強調(diào)這里A表示的僅僅是BC(t)對應時刻的最小值，其中A=Amin-Amax，E=Amax-Amin，同時將[A,E]劃分為4個子區(qū)間，分別為[A,B)、[B,C)、[C,D)及[D,E]。

對于p′(s)中每一個連續(xù)比特p′(2i-1)、p′(2i)，由ni∈N決定從BC(t)的4個狀態(tài)變量中選擇其中bni(t)∈BC(t)，取其中ci+2個連續(xù)變量值，對每個變量序列的最后兩個值進行修改，從而得到b(t)，如圖5所示。

圖5 b(t)的組成Fig.5 The composition of b(t)

在圖5中，對于每一個選中的狀態(tài)變量bni(i)，其中有限個不變狀態(tài)用連接符“-”代替，其中長度ci∈Ck，其中兩個連續(xù)的符號“○”表示已修改的變量值，將其用于掩蓋p′(s)中兩個連續(xù)比特p′(2i-1)、p′(2i)，因而b(4)是經(jīng)由4個狀態(tài)變量混合而成的序列。假定ti=[2(i-1)+1+sum(C[1∶i])]×Tb，其中i=(1,2,3，…，n)/2，k=Tb。Tb表示兩個連續(xù)發(fā)射信號之間的時間間距。

對于任意b(ti),b(ti+k)∈b(t)，如果|b(ti)|-|b(ti+k)|∈[-L,L]，則需要調(diào)整其值使得|b(ti)|-|b(ti+k)|不在[-L,L]的范圍內(nèi)，否則在接收端信號無法正?；謴停ㄟ^式(12)，實現(xiàn)從b(t)轉(zhuǎn)化為b′(t)，在該公式里需要根據(jù)[A,E]的4個子區(qū)間進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式為

(12)

e(t)=p′(s)b′(t)

(13)

假定t=t0時刻，應用式(13)，可以掩蓋信號p′(s)、狀態(tài)變量信號b′(t)，其中b′(t)、ci以及e(t)之間的關系如圖6所示，經(jīng)過處理后，e(t)成為加載有意義信號的混沌信號，但是此時只能在無噪聲的物理信道中傳輸。

考慮到物理信道肯定有噪聲干擾，因而添加高斯噪聲r(t)到e(t)中模擬信道噪聲，從而實際發(fā)送信號e′(t)表示為

e′(t)=e(t)+r(t)

(14)

經(jīng)由上述的分析，本研究搭建的異步保密通信系統(tǒng)，涉及狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)換[b(t)]、時鐘信號的變換[p(s)]以及輸出信號[e(t)]的計算等，整個模型如圖7所示。

圖6 b′(t)、ci以及e(t)之間的關系Fig.6 The relationship among b′(t),ci and e(t)

圖7 異步保密通信系統(tǒng)的發(fā)送端信號調(diào)制流程Fig.7 The process of signal modulation at the sending end of an asynchronous secure communication system

由圖7可知，存在3個過程：首先，狀態(tài)信號變量的調(diào)制，從改進Logistic混沌矩陣獲取信號后經(jīng)由信號放大，明顯噪聲信號的剔除；其次，通過隨機選取得到b(t+k)，經(jīng)過信號調(diào)制得到b′(t)，同時設置一個時鐘信號p(s)用于確定狀態(tài)變量的類型；最后，將上述信號進行混合得到e(t)，再添加一定噪聲得到e′(t)。

異步通信系統(tǒng)接收端，需要對信號進行解調(diào)，即接收信號e′(t)后，通過延時得到e′(t+k)，其中t∈(2QTb, (2Q+1)Tb)，Q=0, 1, 2, 3，…，同時k=Tb。假定|e′(t)|-|e′(t+k)|在BC(t)對應時刻值區(qū)間[A,B)內(nèi)，且e′(t)<0，e′(t+k)<0，通過式(12)、式(13)可以得到p″(s)=11，具體的信號解調(diào)計算方法如圖8所示。

圖8 異步保密通信系統(tǒng)的接收端信號解調(diào)方法Fig.8 The receiving end signal demodulation method of asynchronous secure communication system

由圖8可知，信號解調(diào)根據(jù)不同的狀態(tài)值域[A,B)、[B,C)、[C,D)及[D,E]可以分為4類，不同類別根據(jù)算式e’(t)、e’(t+k)的值域可以進一步劃分為16種子信號值。

4.3 基于改進Logistic混沌信號的安全性模擬分析

在狀態(tài)變量BC(t)的區(qū)間內(nèi)，設置信號增益J=2，噪聲系數(shù)L=6，采用基于改進Logistic混沌得到的3組測試值用于該異步保密通信系統(tǒng)，對應的誤比特率/信噪比(bit error rate/signal noise ratio, BER/SNR)關系如圖9所示。

圖9 在保密通信系統(tǒng)中SNR-BER之間的關系Fig.9 The relationship between SNR and BER in secure communication systems

由圖9可知，伴隨著信噪比的提高，誤比特率明顯下降，當信噪比提高至4及以上，對應的誤比特率會進一步下降至0，即增加信噪比，數(shù)字信號可以從混沌信號中恢復。

對于定義的4種不同區(qū)間的狀態(tài)變量A(t)，首先需要將其調(diào)整在同一個區(qū)間內(nèi)，剔除部分噪聲系數(shù)在[-u,u](u≥6)內(nèi)的值，從而得到BC(t)，否則該區(qū)間的值會被高斯噪聲掩蓋，會導致解調(diào)時發(fā)生比特錯誤，其中，BC(t)對應b1(t)、b2(t)、b3(t)及b4(t)對應時間變換的曲線如圖10所示。

假定原始信號p(s)的長度為270，通過混沌得到的信號b′(t)如圖11(a)所示，該信號是由式(8)得到不同狀態(tài)調(diào)整后的結(jié)果，可以看出信號還是混沌的，通過原始信號、混沌信號合并輸出得到的e(t)以及加了高斯噪聲的e′(t)也是混沌的信號，如圖11(b)所示。

圖10 BC(t)中不同時刻的狀態(tài)變量值Fig.10 The values of the state variables at different time in BC(t)

圖11 混沌信號中的b′(t)、e(t)以及e′(t)Fig.11 b′(t),e(t) and e′(t) in chaotic signals

這里假定原始信號p(s)表示為101110111011010110110111010001000，此處設置狀態(tài)變量信號增益J=2，噪聲系數(shù)u=6，信噪比控制在[-5, 10]的范圍內(nèi)，可以看到經(jīng)由混沌信號混合的信號p′(s)可以還原成p(s)，如圖12所示。

圖12 信號解調(diào)前后的p(s)、p′(s)以及p″(s)Fig.12 p(s),p′(s) and p″(s) before and after signal demodulation

由圖12可知，原始信號p(s)通過混合后，波長幅度增加，經(jīng)過還原后，發(fā)生變換的波形p″(s)還原為p(s)，即通過信號解調(diào)，混沌處理后的信號可以被還原。在信號調(diào)制過程中，信號的變換過程為：A(t)→B(t)→BC(t)→b(t)→b′(t)→e(t)→e′(t)，發(fā)送信號e′(t)是由混沌信號p′(s)和高斯噪聲合成的，攻擊者即便攔截e′(t)，如果不知道改進Logistic混沌的初值，同時又不知道該混沌系統(tǒng)的段函數(shù)，同時不知道子區(qū)間的峰值(B,C,D,E)，就不可能解調(diào)出有意義的信號。

首先就Logistic混沌在信號保密性和信號長度分別引入多渦卷思想、壓縮感知的方式，使得Logistic混沌的難度得到進一步增加，同時密碼長度并沒有明顯增加，即保證了信號的保密性，同時并沒有增加解碼量，從而證明設計的改進Logistic混沌在保密通信領域是有效的。

5 結(jié)論

針對混沌密碼在保密通信領域的應用，以Logistic混沌作為研究對象，針對該混沌方式存在的不足，從信號保密難度及信號長度的角度，分別引入多渦卷、壓縮感知等方式，提出改進Logistic混沌的信號重構(gòu)方式。相比于伯努利測量矩陣，采用本文方法進行信號重構(gòu)可以取得較好的效果，同時信噪比指標出現(xiàn)一定幅度的提升，混沌處理后的信號增加信噪比，對應的信號誤比特率明顯降低，同時信號可以被還原，在改進Logistic混沌方式的信號調(diào)制下，信號難以被解碼，從而證明采用該混沌方式可以提升通信信號的保密性，具有一定實用價值，今后可以在通信系統(tǒng)應用中做進一步的性能分析。