有限脈沖響應(yīng)濾波器在電力系統(tǒng)諧波魯棒估計(jì)中的應(yīng)用

陳 彪，方旭峰，陳識微

(1.國網(wǎng)杭州富陽供電公司，浙江 杭州 311400； 2.浙江容大電力設(shè)備制造有限公司，浙江 杭州 311000)

目前，由于電力電子設(shè)備的大量使用，電能質(zhì)量已經(jīng)成為電力系統(tǒng)操作中的重要問題。與電力系統(tǒng)相連的非線性負(fù)荷會(huì)導(dǎo)致諧波水平的增加，這些諧波會(huì)導(dǎo)致與電力系統(tǒng)運(yùn)行相關(guān)的嚴(yán)重問題，如電壓畸變、損耗增加、發(fā)熱[1-2]。電力系統(tǒng)諧波是衡量電能質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，因此有必要對電力系統(tǒng)諧波成分進(jìn)行估計(jì)，以提供高質(zhì)量的電能。在許多電力系統(tǒng)中的應(yīng)用程序，快速傅里葉變換和離散傅里葉變換由于計(jì)算速度快且簡單，被廣泛用于估計(jì)電壓或電流信號的諧波分量[3-4]，這兩種方法都能準(zhǔn)確地估計(jì)靜止無噪聲信號的諧波分量。然而，快速傅里葉變換和離散傅里葉變換在其推導(dǎo)過程中都沒有考慮噪聲干擾因素，僅適用于平穩(wěn)信號。對于非平穩(wěn)且有噪聲的信號，這兩種方法會(huì)導(dǎo)致精度下降，性能也較差[5]。

為了抑制噪聲和處理時(shí)變諧波，相關(guān)專家學(xué)者提出了基于卡爾曼濾波的方法，用狀態(tài)空間表示噪聲信號[6]。但是，這些方法本質(zhì)上需要系統(tǒng)的先驗(yàn)信息和信號，而這些信息很難獲取。尤其是卡爾曼濾波器的最佳性取決于過程和測量噪聲協(xié)方差矩陣的準(zhǔn)確性。過程和測量噪聲協(xié)方差矩陣的較小值會(huì)產(chǎn)生不可靠的估計(jì)，而較大的值可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果存在差異。因此，基于卡爾曼濾波的方法可能會(huì)有較差的性能。為了解決這些問題，研究人員提出了基于修正卡爾曼濾波的諧波估計(jì)技術(shù)。王少英[7]認(rèn)為，估計(jì)結(jié)果更多地取決于過程和測量噪聲協(xié)方差矩陣的比值，而不是它們各自的值。王艷等[8]提出了利用2個(gè)過程噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)諧波跟蹤估計(jì)的方法。崔永林等[9]提出了一種自調(diào)整模型誤差協(xié)方差的方法來跟蹤諧波波動(dòng)。然而，由于卡爾曼濾波器是無限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response，IIR)結(jié)構(gòu)濾波器，它利用了從初始時(shí)間到當(dāng)前時(shí)間的所有信息[10]，并具有內(nèi)部狀態(tài)，因此在狀態(tài)中可能會(huì)積累不確定性。

本文提出了利用最佳FIR濾波器對電力系統(tǒng)諧波進(jìn)行魯棒估計(jì)的方法，將帶有噪聲的電流或電壓信號表示為狀態(tài)空間模型，將信號的諧波分量表示為狀態(tài)變量，然后采用最佳FIR濾波器來估計(jì)諧波分量的大小。由于在所提出的方法中使用的最佳FIR濾波器是由有限數(shù)量的過去測量值組成的線性組合，因此從有界輸入和有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性的角度，可以保證所提出方法的穩(wěn)定性。與基于卡爾曼濾波的方法相比，該方法對臨時(shí)不確定性和數(shù)值誤差的估計(jì)更加穩(wěn)健，以期為電力系統(tǒng)諧波估計(jì)提供更可靠的解決方案。

1 方法論

如果卡爾曼濾波器的誤差動(dòng)態(tài)在一定程度上是穩(wěn)定的，則小的誤差可能是發(fā)散問題的原因。因此，基于卡爾曼濾波方法的估計(jì)諧波對于具有建模誤差或數(shù)值誤差的系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)偏差。為了克服基于卡爾曼濾波的諧波估計(jì)方法的缺點(diǎn)，需要對電力系統(tǒng)諧波進(jìn)行魯棒估計(jì)。在信號處理領(lǐng)域，具有有限脈沖響應(yīng)(Finite Impulse Response，F(xiàn)IR)結(jié)構(gòu)的滾動(dòng)時(shí)域或移動(dòng)時(shí)域估計(jì)器被提出作為IIR結(jié)構(gòu)估計(jì)器(如卡爾曼濾波器)的替代方案。由于FIR結(jié)構(gòu)的濾波器使用最新的有限信息[11]，因此與IIR結(jié)構(gòu)的濾波器相比，可以保證有界輸入/有界輸出(BIBO)的穩(wěn)定性，并具有更高的魯棒性和更快的響應(yīng)速度。此外，F(xiàn)IR估計(jì)器對過程噪聲的敏感性低于IIR估計(jì)器[12]，可以用FIR濾波器代替卡爾曼濾波器對電力系統(tǒng)諧波進(jìn)行魯棒估計(jì)。

在電力調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，包含諧波分量的電流或電壓信號可以用測量噪聲表示為式(1)：

(1)

式中，m為諧波階數(shù)；am，t和θm，t分別為第m個(gè)諧波分量在時(shí)間t處的大小和相位角；ω為電力系統(tǒng)的基本頻率；vt為測量噪聲，它是一個(gè)協(xié)方差為RS的零均值白高斯隨機(jī)過程。

設(shè)采樣時(shí)間間隔為Δt=tk+1-tk，時(shí)間指數(shù)k為第k個(gè)采樣時(shí)間(tk=Δtk)，則在k時(shí)刻的信號可以表示為式(2)：

(2)

式(2)可以表示線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型。

假設(shè)第m個(gè)諧波分量的方差Δam，k(m=1，…，M)服從隨機(jī)游走運(yùn)動(dòng)，則第m個(gè)諧波分量在k+1時(shí)刻的大小可以表示為式(3)：

Δam，k+1=am，k+Δam，k

(3)

設(shè)狀態(tài)變量xk為式(4)：

(4)

那么k+1時(shí)刻的信號可以表示為式(5)：

(5)

結(jié)合式(5)，式(2)的時(shí)不變狀態(tài)空間模型可以表示為式(6)、式(7)：

(6)

yk=Hxk+vk

(7)

(8)

H=[1 0 … 1 0]

(9)

為了設(shè)計(jì)最佳FIR濾波器，考慮以下狀態(tài)空間模型：

xk+1=Axk+Gwk

(10)

yk=Cxk+vk

(11)

式中，xk為狀態(tài)向量；yk為測量值；wk和vk分別為過程噪聲和測量噪聲。同時(shí)，wk和vk分別為具有協(xié)方差Q和R的高斯白隨機(jī)噪聲。

最佳FIR濾波器可以設(shè)計(jì)為時(shí)域[k-N，k-1]有限測量的線性函數(shù)：

(12)

2 性能評估

通過仿真來評估方法的性能，考慮以下電壓信號諧波：

y(t)=acos(ωt+60)+0.1cos(3ωt+15)+0.095cos(5ωt-10)+0.035cos(7ωt+40)+0.014cos(9ωt+30)+0.01cos(11ωt+50)+0.02cos(13ωt+70)+v(t)

(13)

標(biāo)稱系統(tǒng)頻率f=60 Hz，數(shù)據(jù)采集單元的采樣頻率為1.62 kHz(每個(gè)周期27個(gè)采樣)。

為了說明基于最佳FIR濾波器方法的性能，針對狀態(tài)空間模型(6)和(7)分別實(shí)現(xiàn)了最佳FIR濾波器、時(shí)變(Time Varying，TV)卡爾曼濾波器和自適應(yīng)卡爾曼濾波器，并對仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。

2.1 時(shí)不變諧波分量

針對含有時(shí)不變諧波分量的信號，將基于最佳FIR濾波器方法與時(shí)變卡爾曼濾波器進(jìn)行了比較，驗(yàn)證該方法的估計(jì)性能。在該仿真場景中，式(13)中的設(shè)為1.0，比設(shè)為0.25，測量噪聲的協(xié)方差為0.05。測試信號的波形如圖1所示。

圖1 帶時(shí)不變諧波分量的測試信號波形Fig.1 Test signal waveform with time invariant harmonic component

模擬中使用的時(shí)變卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)如下。

(1)時(shí)間更新。

①預(yù)測未來狀態(tài)：

(14)

②預(yù)測未來誤差協(xié)方差：

Pk|k-1=APk-1|k-1AT+Q

(15)

(2)測量更新。

①計(jì)算濾波器增益：

Kk=Pk|k-1CT(CPk|k-1CT+R)-1

(16)

②通過測量更新估算值：

(17)

③更新誤差協(xié)方差：

Pk|k=(I-KkC)Pk|k-1

(18)

仿真參數(shù)設(shè)置如下：選取最佳FIR濾波器的時(shí)域尺寸為14，TV 卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)的初始狀態(tài)和初始估計(jì)誤差方差分別設(shè)置為x0=[1 1 … 1]T和P0=10×I。

圖2、圖3和表1分別比較了2種方法對各諧波分量的估計(jì)幅度及其均方根估計(jì)誤差。從這些結(jié)果可以看出，基于最佳FIR濾波器方法和基于TV 卡爾曼濾波的方法均提供了可靠的估計(jì)結(jié)果。由于本文方法中使用的最佳FIR濾波器是一個(gè)時(shí)不變?yōu)V波器，因此該方法將比基于TV卡爾曼濾波器的方法具有更好的計(jì)算效率。為了比較計(jì)算效率，比較了2種算法每次迭代的平均計(jì)算時(shí)間：最佳FIR濾波器、TV卡爾曼濾波器計(jì)算時(shí)間分別為0.971、1.517 μs。該方法的計(jì)算時(shí)間比基于TV 卡爾曼濾波器方法的計(jì)算時(shí)間少23%左右。

圖2 基波諧波分量和5次諧波分量的估計(jì)值比較Fig.2 Comparison of estimated values of fundamental harmonic component and 5th harmonic component

圖3 3次和13次諧波分量的估計(jì)幅度比較Fig.3 Comparison of estimated amplitudes of 3rd and 13th harmonic components

表1 均方根估計(jì)誤差Tab.1 Root mean square estimation error 10-3

2.2 時(shí)變諧波分量

為了驗(yàn)證基于最佳FIR濾波器方法的魯棒性和跟蹤性能，考慮了具有時(shí)變諧波分量的信號。對于這種情況，將式(13)中的設(shè)置為：

(19)

帶時(shí)變諧波分量的測試信號如圖4所示。

圖4 帶時(shí)變諧波分量的測試信號波形Fig.4 Test signal waveform with time varying harmonic component

為了驗(yàn)證FIR結(jié)構(gòu)濾波器的使用效率，將本文方法與基于TV 卡爾曼濾波器的方法對具有時(shí)變諧波分量的測試信號進(jìn)行了比較。

表2和圖5分別給出了不同Q/R比(R=0.05，為常數(shù))下基波分量的估計(jì)量及其均方根估計(jì)誤差。從這些結(jié)果中可以看出，所提方法的估計(jì)沒有明顯的變化，而TV卡爾曼濾波器的估計(jì)不能收斂到實(shí)際幅度[16]。這些結(jié)果驗(yàn)證了基于FIR結(jié)構(gòu)濾波器的方法對協(xié)方差矩陣的敏感性較低。因此，可以說該方法比基于卡爾曼濾波器的方法具有更強(qiáng)的魯棒性。在圖5中，2種方法的振蕩行為是由于測量噪聲vk和不準(zhǔn)確的過程噪聲協(xié)方差矩陣引起的。此外，將基于FIR結(jié)構(gòu)濾波器方法與基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器的方法進(jìn)行了比較，以驗(yàn)證其魯棒性和收斂能力。自適應(yīng)卡爾曼濾波器與TV卡爾曼濾波器具有相同的結(jié)構(gòu)，不同的是，每次迭代都對過程和測量協(xié)方差矩陣和進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整[17]。

表2 不同Q/R時(shí)的均方根估計(jì)誤差比較Tab.2 Comparison of root mean square estimation error under different Q/R

設(shè)計(jì)自適應(yīng)卡爾曼濾波器，初始狀態(tài)和初始估計(jì)誤差方差的設(shè)置與TV 卡爾曼濾波器參數(shù)相同。本文所提出的方法和基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器方法的均方根估計(jì)誤差見表3。結(jié)果表明，所提出方法的估計(jì)誤差小于基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器方法的估計(jì)誤差。

圖5 基波分量的估計(jì)幅度比較Fig.5 Comparison of estimated amplitudes of fundamental components

表3 均方根估計(jì)誤差比較Tab.3 Comparison of root mean square estimation error 10-3

基于FIR結(jié)構(gòu)濾波器方法和基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器方法的諧波分量估計(jì)幅度如圖6、圖7所示。

圖6 基波、3次諧波和5次諧波分量的實(shí)際和估計(jì)幅度Fig.6 Actual and estimated amplitudes of fundamental，3rd and 5th harmonic components

圖7 7次、9次、13次諧波分量的實(shí)際和估計(jì)幅度Fig.7 Actual and estimated amplitudes of 7th，9th and 13th harmonic components

從圖6、圖7中可以看出，與基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器的方法相比，基于FIR結(jié)構(gòu)濾波器方法的估計(jì)能更快地收斂到每個(gè)諧波分量的真實(shí)幅度。另外，由于自適應(yīng)卡爾曼濾波每次迭代都需要計(jì)算和。因此，本文所提出方法的計(jì)算時(shí)間少于基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器方法的計(jì)算時(shí)間。最佳FIR濾波器、TV卡爾曼濾波器每次迭代的平均計(jì)算時(shí)間分別為0.972、3.579 μs，基于FIR結(jié)構(gòu)濾波器方法比基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器方法的計(jì)算時(shí)間少72.84%。

3 結(jié)語

提出了一種魯棒估計(jì)方法來估計(jì)電力系統(tǒng)諧波分量的幅值。為了設(shè)計(jì)魯棒的估計(jì)器，將最佳FIR濾波器應(yīng)用于有噪聲電流或電壓信號的狀態(tài)空間表示。由于該方法所使用的最佳FIR濾波器由有限個(gè)過去測量值的線性組合所組成，因此該方法可以避免基于卡爾曼濾波器方法中可能出現(xiàn)的散度問題。與基于卡爾曼濾波方法相比，該方法因使用了FIR結(jié)構(gòu)的濾波器來估計(jì)諧波分量，可以提供更穩(wěn)健的不確定性和數(shù)值誤差估計(jì)。由于最佳FIR濾波器不使用任何初始狀態(tài)的先驗(yàn)信息。因此，提出的諧波估計(jì)方法可以避免未知初始狀態(tài)引起的誤差。仿真結(jié)果表明，與基于卡爾曼濾波的方法相比，該方法對過程噪聲的敏感性較低。