加速壽命數(shù)據(jù)的貝葉斯建模與分析

汪建均, 楊桂康, 馮澤彪

(南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

產(chǎn)品質(zhì)量不僅是企業(yè)的生命線(xiàn),更是企業(yè)在全球市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中贏得顧客的關(guān)鍵。近年來(lái),隨著各行業(yè)在產(chǎn)品質(zhì)量方面的競(jìng)爭(zhēng)日益激烈,可靠性作為最重要的質(zhì)量維度之一,在提高產(chǎn)品壽命、降低保修成本、實(shí)現(xiàn)預(yù)期產(chǎn)品功能等方面發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。因此,為了減少保修期內(nèi)的故障,制造商將注意力集中在高質(zhì)量、高可靠性的產(chǎn)品設(shè)計(jì)上[1]?？煽啃愿倪M(jìn)是產(chǎn)品質(zhì)量開(kāi)發(fā)的重要組成部分。許多具有高可靠性的產(chǎn)品,例如汽車(chē)、電視機(jī)等,通常壽命超過(guò)10年以上,這使得在正常操作條件下難以評(píng)估產(chǎn)品的可靠性[2]。此時(shí),想要獲取產(chǎn)品信息的常規(guī)方法是加速壽命試驗(yàn)(accelerated life test,ALT)。ALT是使產(chǎn)品在加速操作條件下更快地失效,從而估計(jì)產(chǎn)品在正常運(yùn)行條件下的壽命。因此,ALT的關(guān)鍵是在試驗(yàn)壽命估計(jì)與加速條件之間建立穩(wěn)健、合適的關(guān)系模型,從而在加速條件下擬合數(shù)據(jù),并將模型推廣到正常操作條件下。然而,在加速條件下,一些測(cè)試產(chǎn)品在試驗(yàn)終止時(shí)可能不會(huì)失效,此時(shí)就產(chǎn)生了刪失數(shù)據(jù)[3]。文獻(xiàn)[4-6]全面介紹了加速壽命試驗(yàn)建模和數(shù)據(jù)分析的方法。

以往大多數(shù)關(guān)于ALT的研究,由于忽略了真實(shí)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)條件,壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)是通過(guò)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方法得到的。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)意味著試驗(yàn)因子組合被隨機(jī)地應(yīng)用于每個(gè)測(cè)試單元。文獻(xiàn)[5-7]詳細(xì)介紹了關(guān)于壽命數(shù)據(jù)的分析。文獻(xiàn)[8]舉例說(shuō)明了一個(gè)提高金剛石鉆頭可靠性的Plackett-Burman設(shè)計(jì)和分析。在這些文獻(xiàn)中,假設(shè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是通過(guò)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)得到的。在實(shí)際應(yīng)用生產(chǎn)中,為了節(jié)約成本,通常在具有多個(gè)樣品的試驗(yàn)臺(tái)上施加應(yīng)力水平,此時(shí)就產(chǎn)生了子抽樣結(jié)構(gòu)。在這種情況下,試驗(yàn)臺(tái)是試驗(yàn)單元,試驗(yàn)樣品是觀(guān)測(cè)單元,所獲得的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)通常不是完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的。另外,聚類(lèi)數(shù)據(jù)、批處理以及裂區(qū)試驗(yàn)設(shè)計(jì)等情況都會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)樣品未完全隨機(jī)化[9]。在涉及到非完全隨機(jī)化的可靠性數(shù)據(jù)建模時(shí),忽視隨機(jī)效應(yīng)可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的分析結(jié)果,尤其是當(dāng)試驗(yàn)單元之間的方差大于觀(guān)測(cè)單元間的方差時(shí)。許多研究人員已經(jīng)意識(shí)到將隨機(jī)效應(yīng)整合到可靠性試驗(yàn)建模與數(shù)據(jù)分析的重要意義。文獻(xiàn)[10]采用了一種兩階段方法,用最大似然估計(jì)方法來(lái)估計(jì)每個(gè)所需參數(shù)。文獻(xiàn)[11]分別比較了I型刪失,II型刪失和數(shù)據(jù)未刪失3種情況下兩階段方法的性能。由于分成兩個(gè)階段分析未知參數(shù),因此針對(duì)其未知參數(shù)構(gòu)建共同的似然函數(shù)是極其困難的,因此不能對(duì)兩階段方法的某些特征(如失效百分位數(shù))進(jìn)行推斷。為此,文獻(xiàn)[10, 12-13]提出了一種考慮隨機(jī)效應(yīng)的非線(xiàn)性混合模型(nonlinear mixed model, NLMM)方法。該方法不但能夠減少未知參數(shù)的偏差,并且能夠精確計(jì)算低分位數(shù)的置信區(qū)間。在處理包含子抽樣結(jié)構(gòu)的樣本數(shù)據(jù)時(shí),文獻(xiàn)[14]整合了多重插補(bǔ)方法和異質(zhì)性模型,該方法進(jìn)一步提高了置信區(qū)間的預(yù)測(cè)精度。另外,文獻(xiàn)[15]提出了一種貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo,MCMC)建模方法來(lái)處理杜邦公司纖維鏈的隨機(jī)線(xiàn)軸效應(yīng)問(wèn)題。雖然這些模型考慮了隨機(jī)效應(yīng),但是其往往在構(gòu)建模型前假設(shè)尺度參數(shù)是固定的,從而忽略了對(duì)數(shù)位置-尺度分布的尺度參數(shù)的檢驗(yàn)。

針對(duì)加速壽命試驗(yàn)的大多數(shù)研究只考慮了尺度參數(shù)不相等的情況,而忽略了對(duì)于形狀參數(shù)的分析。文獻(xiàn)[2]中假設(shè)加速應(yīng)力通過(guò)尺度參數(shù)而不是形狀參數(shù)納入到模型中。文獻(xiàn)[10]所提出的傳統(tǒng)兩階段方法都是建立在形狀參數(shù)相等的前提下。文獻(xiàn)[16]在形狀參數(shù)相等的情況下,給出了分位數(shù)置信區(qū)間的方法。另外,有一部分學(xué)者意識(shí)到了形狀參數(shù)是變量的檢驗(yàn)問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]將用于設(shè)計(jì)ALT的最大似然方法擴(kuò)展到非恒定形狀參數(shù)的模型中。另外,在指定應(yīng)力因子的水平下,該設(shè)計(jì)方案可以最小化最大似然估計(jì)的漸近方差。當(dāng)應(yīng)力水平不影響形狀參數(shù)時(shí),文獻(xiàn)[18]推導(dǎo)出了II型刪失情況下恒加速壽命試驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)量。文獻(xiàn)[18]中的方法計(jì)算簡(jiǎn)單,不會(huì)出現(xiàn)估計(jì)量不存在的問(wèn)題,同時(shí)該方法的偏差也比線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)的偏差更小。文獻(xiàn)[19]提出了一種有效的算法,無(wú)論對(duì)數(shù)壽命數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差是否與應(yīng)力因子相關(guān),都可以計(jì)算出未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值。文獻(xiàn)[20]在構(gòu)建模型之前首先檢驗(yàn)了分組數(shù)據(jù)的形狀參數(shù)是否相等,但是并沒(méi)有考慮形狀參數(shù)隨應(yīng)力因子的變化而變化的情況。文獻(xiàn)[21]假設(shè)Weibull壽命分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都隨應(yīng)力因子的變化而變化,并且通過(guò)自助法得到了低分位數(shù)的置信區(qū)間。文獻(xiàn)[22]認(rèn)為壽命分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都和應(yīng)力因子有關(guān),并且通過(guò)正態(tài)近似法得到低分位數(shù)的置信區(qū)間。文獻(xiàn)[2]同時(shí)考慮了隨機(jī)效應(yīng)和形狀參數(shù)是變量的問(wèn)題,并使用Weibull回歸模型從ALT中對(duì)分位數(shù)進(jìn)行推斷。這些文獻(xiàn)研究表明,加速應(yīng)力不僅對(duì)位置-尺度分布的位置參數(shù)有影響,而且對(duì)尺度參數(shù)也有一定的影響,但是由于模型的限制,只假設(shè)隨機(jī)效應(yīng)影響尺度參數(shù)。

在ALT分析中同時(shí)將隨機(jī)效應(yīng)納入到尺度參數(shù)和形狀參數(shù)中,并且考慮形狀參數(shù)不相等的研究較少。事實(shí)上,不同類(lèi)型的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)(完整或刪失數(shù)據(jù)集、大數(shù)據(jù)集或小數(shù)據(jù)集等)可能采用不同的估計(jì)方法。例如,對(duì)于不同的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù),考慮偏差和均方根誤差等統(tǒng)計(jì)量時(shí),沒(méi)有一種方法在參數(shù)估計(jì)方面總是優(yōu)于其他方法。此外,其他因素也可能會(huì)影響參數(shù)估計(jì)方法的選擇,例如計(jì)算的簡(jiǎn)單性[23]。因此探索小樣本的分布特性,提高參數(shù)對(duì)小樣本分布特性的可靠性仍然是必要的[24]。NLMM在整合隨機(jī)效應(yīng)方面有很大優(yōu)勢(shì),但是NLMM只能處理隨機(jī)效應(yīng)服從正態(tài)的情況,并且不能計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)效應(yīng)。另外NLMM模型的積分異常復(fù)雜,它的計(jì)算精度和積分點(diǎn)選取的數(shù)量有關(guān)。因此,針對(duì)上述問(wèn)題,本文在貝葉斯建模的框架下,結(jié)合NLMM提出一種新的可靠性壽命數(shù)據(jù)的分析方法。

1 基本模型和假設(shè)

目前在壽命數(shù)據(jù)分析中,Weibull分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布是常用的兩種對(duì)數(shù)位置-尺度族分布。然而,相關(guān)文獻(xiàn)表明,可靠性工程師傾向于選擇Weibull分布和最小極值分布來(lái)建模壽命數(shù)據(jù)。實(shí)際上,由于具有形狀參數(shù),Weibull分布的數(shù)據(jù)擬合能力遠(yuǎn)強(qiáng)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布,其能夠靈活地對(duì)多種類(lèi)型的失效機(jī)制進(jìn)行建模,因此本文選用Weibull分布來(lái)對(duì)壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。對(duì)于表示壽命數(shù)據(jù)的隨機(jī)變量T,雙參數(shù)Weibull概率密度函數(shù)的常用參數(shù)形式:

(1)

累計(jì)分布函數(shù):

(2)

式中,t>0是失效時(shí)間;β>0是Weibull分布的無(wú)量綱形狀參數(shù),不同的形狀參數(shù)β值代表幾種不同的失效機(jī)制;η>0是尺度參數(shù),和隨機(jī)變量T有相同的單位,這個(gè)尺度參數(shù)可以解釋為失效時(shí)間分布的近似0.632 1分位數(shù)(也就是總體的63.21%失效的時(shí)間)。另外,壽命時(shí)間t的對(duì)數(shù),即log(t)服從最小極值分布,它的位置參數(shù)為μ=logη,尺度參數(shù)為σ=1/β。

2 模型分析

2.1 NLMM分析

本文提出了一種將隨機(jī)效應(yīng)納入失效時(shí)間模型的貝葉斯理論模型,假設(shè)隨機(jī)效應(yīng)是由于子抽樣造成的[25],通常通過(guò)兩種方式將隨機(jī)效應(yīng)納入到模型中[25]:通過(guò)平均響應(yīng)或通過(guò)模型參數(shù)。廣義線(xiàn)性混合模型采用第一種方法,NLMM更靈活,通過(guò)模型參數(shù)來(lái)考慮隨機(jī)效應(yīng)。對(duì)于Weibull分布,一個(gè)普遍的假設(shè)是所有模型項(xiàng)都通過(guò)與對(duì)數(shù)尺度參數(shù)成線(xiàn)性關(guān)系輸入,因此本文在貝葉斯理論的基礎(chǔ)上,使用NLMM框架來(lái)整合子抽樣導(dǎo)致的隨機(jī)效應(yīng)。在可靠性壽命試驗(yàn)中,有i=1,2,…,m個(gè)獨(dú)立的試驗(yàn)單元,每個(gè)試驗(yàn)單元中有j=1,2,…,ni個(gè)子樣本或者觀(guān)測(cè)單元,可以將具有子抽樣的Weibull分布的NLMM指定為

tij|μi,εi～I(xiàn)ndep.Weib(βi,ηi)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中,假設(shè)有q個(gè)因子效應(yīng),xi是第i個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的q×1的因子效應(yīng)矩陣;ηi>0,βi>0分別是第i組的尺度參數(shù)和形狀參數(shù);tij>0是第i個(gè)試驗(yàn)單元上第j個(gè)樣本的失效時(shí)間,服從尺度參數(shù)為ηi,形狀參數(shù)為βi的獨(dú)立Weibull分布;θ和γ是固定因子效應(yīng)的回歸系數(shù)矩陣;μi和εi分別為i=1,2，…,m時(shí)的隨機(jī)效應(yīng);F(tij|βi,ηi,μi,εi)是第i個(gè)試驗(yàn)單元內(nèi)數(shù)據(jù)的Weibull累計(jì)分布函數(shù);f(μi)和f(εi)是隨機(jī)效應(yīng)μi和εi的正態(tài)概率密度函數(shù);tip是第i個(gè)試驗(yàn)單元的p分位數(shù)(0

2.2 先驗(yàn)信息的選擇

在使用極大似然估計(jì)(maximum likelihood estimation,MLE)方法時(shí),刪失數(shù)據(jù)的似然函數(shù)可能是無(wú)窮的,因此不存在MLE值,不能通過(guò)MLE來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的估計(jì)值。規(guī)避可估計(jì)性問(wèn)題的一種自然方法是使用貝葉斯方法[24]。通過(guò)使用合適的先驗(yàn)分布,可以計(jì)算出有代表性的后驗(yàn)分布,然后可以使用其均值或中位數(shù)來(lái)估計(jì)未知參數(shù)。

當(dāng)尺度參數(shù)與形狀參數(shù)均未知時(shí),尚未有合適的聯(lián)合先驗(yàn)分布形式。本文假設(shè)θ和γ的先驗(yàn)分布為q維多元正態(tài)分布π(θ|μ0,Σ0)和π(γ|μ1,Σ0),其中,

(10)

(11)

Σ0=M-1

(12)

M=XTX+A0

(13)

2.3 刪失數(shù)據(jù)和失效時(shí)間數(shù)據(jù)的Gibbs采樣算法

步驟 1設(shè)定(θ,γ,σμ,σε)初始值。

(14)

式中,yi=logti。

在此,采用吉布斯抽樣方法來(lái)獲得模型參數(shù)的估計(jì)值。首先,舍棄一些模型參數(shù)的初始抽樣值(即燃燒期);然后對(duì)經(jīng)過(guò)處理后的模型參數(shù)抽樣值(即所獲得模型參數(shù)的馬爾可夫鏈)進(jìn)行收斂性診斷。若上述模型參數(shù)的馬爾可夫鏈圍繞某個(gè)確定值在一定范圍內(nèi)上下波動(dòng),則可以利用該模型參數(shù)的馬爾可夫鏈的均值作為未知參數(shù)的估計(jì)值。

需要特別指出的是,這里的“鏈”是指對(duì)模型參數(shù)采用貝葉斯方法估計(jì)時(shí),通過(guò)MCMC模擬方法所獲得的馬爾可夫鏈,并使其平穩(wěn)分布為待估計(jì)參數(shù)的后驗(yàn)分布。燃燒期是指采用MCMC或Gibbs抽樣方法所獲取的模型參數(shù)后驗(yàn)抽樣值(即模型參數(shù)的馬爾可夫鏈)在沒(méi)有達(dá)到平穩(wěn)分布時(shí)所采集到的樣本量。

對(duì)式(2)和式(3),經(jīng)過(guò)充分的迭代后所生成的鏈若通過(guò)收斂性診斷,則可以說(shuō)明式(3)中所繪制的樣本來(lái)自于(θ,γ,σμ,σε)的后驗(yàn)分布。此外,需要特別說(shuō)明的是,Gibbs抽樣是MCMC抽樣方法中的一種抽樣算法,適用于條件分布比邊緣分布更容易采樣的多變量分布。利用MCMC或Gibbs抽樣方法所獲得的模型參數(shù)的馬爾可夫鏈,通?？梢岳靡恍┡袛嗍諗啃缘慕y(tǒng)計(jì)量(如潛在尺度縮減因子 potential scale reduction factor, PSRF)或者一些收斂性診斷工具(如可視化的蹤跡圖、自相關(guān)圖和密度曲線(xiàn)圖)來(lái)推斷模型參數(shù)的后驗(yàn)抽樣值是否已經(jīng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài),是否可能收斂于某個(gè)平穩(wěn)分布[27-28]。

3 基于貝葉斯NLMM的可靠性數(shù)據(jù)分析

本文提出了一種將隨機(jī)效應(yīng)分別納入尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的貝葉斯理論模型。在表1中,分別列出了文獻(xiàn)[5],文獻(xiàn)[10],文獻(xiàn)[6],文獻(xiàn)[2]中可靠性分析的模型以及本文所用到的NLMM模型。由于刪失數(shù)據(jù)的存在,無(wú)法找到似然函數(shù)的共軛先驗(yàn)分布,后驗(yàn)分布沒(méi)有簡(jiǎn)單的閉環(huán)形式。因此本文根據(jù)以上各參數(shù)的先驗(yàn)設(shè)定方法,通過(guò)MCMC方法動(dòng)態(tài)模擬各參數(shù)后驗(yàn)分布的馬爾可夫鏈,并根據(jù)各參數(shù)的后驗(yàn)樣本進(jìn)行收斂性診斷與參數(shù)估計(jì)。

表1 5種方法的模型假設(shè)

所提方法的基本流程如圖1所示,具體步驟如下。

圖1 所提方法的可靠性分析流程圖

步驟 1首先需要檢驗(yàn)收集的數(shù)據(jù)是否服從Weibull分布,在服從Weibull分布的前提下驗(yàn)證形狀參數(shù)是否是恒定常數(shù)。

步驟 2從最初的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中利用最小二乘法計(jì)算尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計(jì)值,并根據(jù)式(10)～式(13)設(shè)置合理的先驗(yàn)分布。

步驟 3根據(jù)步驟2的先驗(yàn)分布和未知參數(shù)的似然信息就可以利用Gibbs采樣迭代地估計(jì)參數(shù)值。若經(jīng)過(guò)K次迭代后生成的鏈已經(jīng)符合收斂性檢驗(yàn),則可以將去掉燃燒期后的鏈的均值作為模型參數(shù)的估計(jì)值。若經(jīng)過(guò)K次迭代后生成的鏈沒(méi)有收斂,則需要重新設(shè)定初始值,重復(fù)上述迭代過(guò)程。

步驟 4根據(jù)步驟3的后驗(yàn)估計(jì)值得出分位數(shù)的估計(jì)值和置信區(qū)間。

步驟 5計(jì)算均方根誤差(root mean square error,RMSE)和相對(duì)偏差(relative bias,RB)[29],并且對(duì)幾種方法進(jìn)行對(duì)比及驗(yàn)證。

4 實(shí)例分析

4.1 實(shí)例背景

該實(shí)例來(lái)自文獻(xiàn)[9],主要研究電容器的可靠性問(wèn)題,響應(yīng)變量為電容器失效的時(shí)間,影響可靠性壽命的因子主要包括:溫度和電壓。其中溫度應(yīng)力為2水平變量,電壓應(yīng)力為4水平變量,實(shí)驗(yàn)設(shè)置由Zelen描述為“N個(gè)組件同時(shí)放置在試驗(yàn)單元上”,這是一個(gè)子抽樣試驗(yàn)設(shè)計(jì)。該試驗(yàn)一共有8個(gè)試驗(yàn)單元,每個(gè)單元有8個(gè)電容器,并且采用定數(shù)截尾的方式來(lái)終止試驗(yàn),本試驗(yàn)預(yù)先設(shè)定的失效數(shù)目為4。本實(shí)驗(yàn)中的觀(guān)測(cè)單位是每個(gè)試驗(yàn)臺(tái)上的8個(gè)玻璃電容器,每個(gè)試驗(yàn)臺(tái)均采用單獨(dú)的溫度、電壓處理組合。試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和壽命數(shù)據(jù)如表2所示，*代表刪失數(shù)據(jù)。

4.2 數(shù)據(jù)分析

運(yùn)用本文提出的方法重新分析這個(gè)例子。首先,檢驗(yàn)收集到的數(shù)據(jù)是否遵循Weibull分布。用Minitab軟件使用AD(Anderson-Darling)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)所收集到的數(shù)據(jù)是否遵循Weibull分布,其結(jié)果如圖2所示。

表2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及壽命數(shù)據(jù)

圖2 Minitab輸出結(jié)果

從圖2中發(fā)現(xiàn),每個(gè)處理組合的AD值都比較小,這意味著壽命數(shù)據(jù)很好地遵循Weibull分布。其次,利用Minitab軟件檢驗(yàn)Weibull分布的形狀參數(shù)是否為常數(shù),結(jié)果表明,χ2=19.507 5,自由度df為7,p=0.007,這意味著可在2α=0.05水平下拒絕原假設(shè)。另外,可以看出最大的形狀參數(shù)(26.991)和最小的形狀參數(shù)(2.153 2)相差較大,不能簡(jiǎn)單地將形狀參數(shù)假設(shè)為一個(gè)恒定常數(shù)。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析的結(jié)果,對(duì)模型參數(shù)設(shè)置合理的先驗(yàn)分布,然后運(yùn)用MCMC方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在此,對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了120 000次迭代抽樣,并舍棄了前20 000次的抽樣,獲得了100 000次的模型參數(shù)抽樣值。為了消除未知參數(shù)抽樣值之間的自相關(guān)性,在此對(duì)抽樣獲得的后驗(yàn)樣本每間隔10步抽樣一次,最后得到10 000個(gè)有效的模型參數(shù)抽樣值。然后,對(duì)所獲得的模型參數(shù)抽樣值進(jìn)行收斂性檢驗(yàn),并列出蹤跡圖和自相關(guān)圖來(lái)幫助判斷參數(shù)抽樣值的收斂性?？紤]到篇幅限制,這里只提供θ2和第3組的第一分位數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)后驗(yàn)值的蹤跡圖(見(jiàn)圖3)和自相關(guān)圖(見(jiàn)圖4)。

從圖3和圖4中可知,在抽樣過(guò)程中,由于參數(shù)的不確定性其后驗(yàn)抽樣值會(huì)圍繞某個(gè)確定的值上下波動(dòng),并且呈現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)分布的特征,因此可以直觀(guān)地判斷出所有的模型參數(shù)估計(jì)值具有良好的收斂性,可以利用其參數(shù)的抽樣值進(jìn)行后續(xù)的統(tǒng)計(jì)推斷和數(shù)據(jù)分析。

圖3 模型參數(shù)后驗(yàn)值的蹤跡圖

圖4 模型參數(shù)后驗(yàn)值的自相關(guān)圖

表3列出了表1描述的模型的參數(shù)估計(jì)值,-為模型中未估計(jì)的參數(shù)。在應(yīng)用本文提出的方法時(shí),在考慮隨機(jī)效應(yīng)對(duì)尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都有影響時(shí),產(chǎn)生的結(jié)果與之前的模型結(jié)果相比稍有不同。

表3 模型Ⅰ～Ⅴ的參數(shù)估計(jì)

從表3中可以看出,尺度參數(shù)的回歸模型系數(shù)沒(méi)有太大差別,但是形狀參數(shù)的回歸系數(shù)與前4種模型有較大差別,主要是因?yàn)楸疚姆椒紤]了隨機(jī)效應(yīng)對(duì)形狀參數(shù)的影響。另外,形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)(σε=0.400 8)大于尺度參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)(σμ=0.262 7),因此僅僅考慮隨機(jī)效應(yīng)對(duì)尺度參數(shù)的影響而忽略隨機(jī)效應(yīng)對(duì)形狀參數(shù)的影響是不合理的。在模型IV中,σμ=0.184,小于模型V中的0.262 7,這意味著,如果忽略了加速壽命分析中的隨機(jī)效應(yīng)對(duì)形狀參數(shù)的影響,那么尺度參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)就會(huì)被低估。為了獲得低分位數(shù)的精確估計(jì),因此有必要將隨機(jī)效應(yīng)同時(shí)納入到尺度參數(shù)和形狀參數(shù)中。表4給出了5種模型尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計(jì)值。

表4 模型Ⅰ～Ⅴ的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計(jì)

在可靠性?xún)?yōu)化中,產(chǎn)品在其低分位點(diǎn)處的失效時(shí)間往往是生產(chǎn)商關(guān)注的焦點(diǎn)[29]。因此分位數(shù)估計(jì)在可靠性分析,尤其是在加速壽命分析中尤為重要。表5總結(jié)了模型Ⅰ～Ⅴ的第1、第5、第10和第50分位數(shù)及其95%的置信區(qū)間。由于模型Ⅲ、模型Ⅳ和模型Ⅴ考慮了非恒定形狀參數(shù)的假設(shè),3個(gè)模型的第1、第5和第10分位數(shù)的結(jié)果與模型Ⅰ和模型Ⅱ中的稍有不同。 另外,模型Ⅴ和模型Ⅲ、模型Ⅳ的分位數(shù)估計(jì)以及置信區(qū)間有較大不同,產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的原因是模型Ⅴ考慮了隨機(jī)效應(yīng)對(duì)形狀參數(shù)的影響。

從表5可以看出,模型V的95%置信區(qū)間范圍大于前4個(gè)模型的范圍,雖然本文方法在一定程度上增加了分位數(shù)估計(jì)的不確定性,但是改進(jìn)了未知參數(shù)的估計(jì)精度。另外,表3的結(jié)果表明不能為了消除這種不確定性而忽略隨機(jī)效應(yīng)對(duì)形狀參數(shù)的影響。

表5 模型Ⅰ～Ⅴ的分位數(shù)估計(jì)以及置信區(qū)間

續(xù)表5

為了說(shuō)明本文所提方法的有效性,比較了所提方法與其他方法對(duì)分位數(shù)的估計(jì)精度。為了確保評(píng)價(jià)估計(jì)方法的精度,本文采用RB和RMSE兩個(gè)指標(biāo)[30]。

(15)

(16)

RB1、RB2、RB3、RB4分別為文獻(xiàn)[5],文獻(xiàn)[10],文獻(xiàn)[2]以及本文方法的RB;RMSE1、RMSE2、RMSE3、RMSE4分別代表文獻(xiàn)[5],文獻(xiàn)[10],文獻(xiàn)[2]以及本文方法的RMSE。

RB和RMSE的分析比較結(jié)果分別列于圖5和圖6中。

從圖5中可以看出,RB4在所有方法中是最小的,這意味著本文提出的方法精度是比較好的。在圖6中可知,文獻(xiàn)[10]以及本文所提方法所獲得RMSE的值小于文獻(xiàn)[5]以及文獻(xiàn)[2]中的值。在第1、第5、第10分位數(shù)中,雖然RB3的值是較小的,但是RMSE3的值是大于其他3種方法的,由此表明雖然文獻(xiàn)[2]所提方法正確地考慮了隨機(jī)效應(yīng)對(duì)尺度參數(shù)的影響,但是卻增大了分位數(shù)預(yù)測(cè)值的波動(dòng)。由于本文所提方法考慮了隨機(jī)效應(yīng)對(duì)形狀參數(shù)的影響,同時(shí)利用貝葉斯隨機(jī)抽樣方法考慮了模型參數(shù)的不確定性以及隨機(jī)誤差對(duì)模型參數(shù)估計(jì)的影響,因此在對(duì)低分位數(shù)的估計(jì)方面是更為穩(wěn)健。

圖5 分位數(shù)估計(jì)的RB

圖6 分位數(shù)估計(jì)的RMSE

5 方法討論

針對(duì)可靠性壽命的低分位數(shù)估計(jì)的偏差和存在刪失情況的問(wèn)題,為了改善分析結(jié)果的可靠性,本文研究加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析與處理方法,結(jié)合貝葉斯抽樣方法與NLMM,提出一種改進(jìn)方法。首先,利用Weibull分布擬合壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù),并檢驗(yàn)各組數(shù)據(jù)的形狀參數(shù)是否恒定。其次,考慮隨機(jī)效應(yīng)對(duì)尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的影響,建立相應(yīng)的貝葉斯模型。此外,結(jié)合電容器試驗(yàn)案例,對(duì)不同優(yōu)化方法的研究結(jié)果進(jìn)行了比較。根據(jù)本文的研究結(jié)果可得結(jié)論如下。

(1) 在ALT中,因研究對(duì)象的復(fù)雜程度、試驗(yàn)因子數(shù)量[31]、試驗(yàn)條件存在很大差異,加上樣本數(shù)量有限、存在混合刪失現(xiàn)象等原因,使得試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析、建模存在較大難度。同時(shí),因?yàn)椴淮嬖谕ㄓ玫哪Ｐ秃头椒?需要針對(duì)實(shí)際的樣本數(shù)據(jù)開(kāi)展針對(duì)性分析和研究,提出合適的模型和算法。由于本文選用的案例數(shù)據(jù)屬于II型刪失,因此本文所提方法只是初步驗(yàn)證了算法在II型刪失中的有效性,但還不足以證明該方法的通用性和適用范圍,例如在I型刪失數(shù)據(jù)中,每組刪失個(gè)數(shù)不同,很難建立一個(gè)通用的模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)。

(2) 本文在以往相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了尺度參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)。以往文獻(xiàn)通常假設(shè)非隨機(jī)化設(shè)計(jì)只影響尺度參數(shù),然而,尺度參數(shù)和形狀參數(shù)通常是在建模過(guò)程中結(jié)合具體的試驗(yàn)數(shù)據(jù)共同擬合估計(jì)出來(lái)。因此不能在建模過(guò)程中忽視形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)對(duì)研究結(jié)果的影響。正如文獻(xiàn)[2]所指出的那樣“在未來(lái)研究中應(yīng)該考慮將尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)納入統(tǒng)一模型框架中。然而,由于NLMM的數(shù)值積分問(wèn)題非常復(fù)雜,因此有待進(jìn)一步研究。” 本文利用貝葉斯方法對(duì)所構(gòu)建的新模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),不僅在以往研究基礎(chǔ)上考慮形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng),而且還利用貝葉斯抽樣方法考慮模型參數(shù)不確定性以及隨機(jī)誤差對(duì)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響。根據(jù)研究結(jié)果可知,在建模過(guò)程中考慮形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)會(huì)在一定程度上增加分位數(shù)估計(jì)結(jié)果的不確定性,但同時(shí)又能提高低分位數(shù)估計(jì)結(jié)果的穩(wěn)健性。然而,表3中的研究結(jié)果表明:形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)σε大于尺度參數(shù)σμ的隨機(jī)效應(yīng)。因此,在建模過(guò)程中忽視形狀參數(shù)的隨機(jī)效應(yīng)可能會(huì)導(dǎo)致一些與實(shí)際不太吻合的研究結(jié)論,甚至是錯(cuò)誤結(jié)果。

(3) 若直接用數(shù)值積分方法來(lái)計(jì)算上述的NLMM往往會(huì)非常復(fù)雜,因?yàn)槠淠Ｐ蛥?shù)的后驗(yàn)分布往往異常復(fù)雜,在很多情況下往往無(wú)法獲得其封閉的概率密度函數(shù)。因此,借助貝葉斯抽樣方法(如Gibbs抽樣)來(lái)獲得模型參數(shù)的后驗(yàn)抽樣值,然后據(jù)此來(lái)計(jì)算模型參數(shù)后驗(yàn)抽樣值的均值,從而借助貝葉斯方法實(shí)現(xiàn)對(duì)NLMM的估計(jì),解決了NLMM模型的計(jì)算精度和積分點(diǎn)選取的問(wèn)題。

6 結(jié) 論

在加速壽命設(shè)計(jì)的可靠性分析中,往往需要考慮未完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)對(duì)可靠性壽命的影響。本文結(jié)合貝葉斯抽樣方法與NLMM方法提出了一種可靠性壽命分析的新方法。該方法不僅考慮了隨機(jī)效應(yīng)對(duì)模型尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的影響,而且還解決了兩階段方法中似然函數(shù)不統(tǒng)一和NLMM中使用Gauss-Hermite法中計(jì)算精度和積分點(diǎn)選取的問(wèn)題。另外,通過(guò)實(shí)例證明該方法在存在高波動(dòng)情況下對(duì)低分位數(shù)估計(jì)也是穩(wěn)健的。

需要特別指出的是,本文中先驗(yàn)分布的選擇具有一定的主觀(guān)性,下一步需要進(jìn)一步地驗(yàn)證先驗(yàn)信息對(duì)可靠性壽命估計(jì)的靈敏度。此外,在可靠性分析時(shí),尤其對(duì)于ALT來(lái)說(shuō),在低應(yīng)力水平下樣本失效數(shù)據(jù)少,甚至出現(xiàn)一組數(shù)據(jù)全部刪失的情況。若某組試驗(yàn)數(shù)據(jù)全部刪失,此時(shí)可利用的信息較少,無(wú)論樣本的失效機(jī)制是否相同,都不能計(jì)算該組樣品的特征參數(shù)。文獻(xiàn)[32]針對(duì)失效數(shù)據(jù)少的問(wèn)題,提出了一種分層貝葉斯方法,從其他分組中共享信息。在處理某組樣本數(shù)據(jù)全部是刪失情況時(shí),文獻(xiàn)[33]只是簡(jiǎn)單的刪除此組數(shù)據(jù),可能會(huì)剔除掉一些重要信息。因此,在某組壽命數(shù)據(jù)全部刪失的情況下,未來(lái)需要考慮的是如何借助貝葉斯方法獲取更多的信息以便進(jìn)行下一步分析。另外,本文僅考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從威布爾分布的情況。若試驗(yàn)數(shù)據(jù)不服從Weibull分布時(shí),則需要進(jìn)一步判斷試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否滿(mǎn)足常見(jiàn)分布如對(duì)數(shù)正態(tài)分布或指數(shù)分布。若試驗(yàn)數(shù)據(jù)滿(mǎn)足常見(jiàn)分布,則可以參考本文所提出的貝葉斯建模方法對(duì)相關(guān)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)與可靠性數(shù)據(jù)分析。若試驗(yàn)數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足常見(jiàn)分布,本文所提方法將不再適用,則有待未來(lái)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題開(kāi)展更為深入的研究。