不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法

郝耀東 顧燦松 周煥陽 董俊紅 李洪亮 鄧江華

1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，300350 2. 中國汽車技術(shù)研究中心有限公司，天津，300300 3. 天津航天瑞萊科技有限公司，天津，300462

0 引言

車內(nèi)聲學(xué)性能是汽車舒適性最重要的組成部分之一。聲學(xué)性能相關(guān)問題根據(jù)頻率的高低可以分為低頻問題(20～200 Hz)、中頻問題(200～500 Hz)和高頻問題(>500 Hz)[1]。不同于解決中低頻問題的有限元方法和邊界元方法，國際上普遍采用統(tǒng)計能量分析(statistical energy analysis,SEA)進(jìn)行高頻噪聲問題的分析和計算[2]。

采用SEA進(jìn)行車內(nèi)噪聲環(huán)境預(yù)測的方法已經(jīng)非常成熟。早在1985年，國外學(xué)者就已經(jīng)開始利用統(tǒng)計能量方法進(jìn)行車內(nèi)噪聲環(huán)境的預(yù)測[3-4]。王震坡等[5]介紹了建立汽車SEA模型的方法和過程，并對兩款車型駕駛艙的噪聲特性進(jìn)行了預(yù)測和對比。王登峰等[6]建立了某國產(chǎn)車型的SEA模型，分析預(yù)測了車內(nèi)噪聲的1/3倍頻程頻譜，并與試驗(yàn)結(jié)果對比。賀巖松等[7]研究了內(nèi)損耗因子的變化對 SEA 子系統(tǒng)間能量傳遞的影響，使用3種不同的方案添加阻尼材料，預(yù)測了駕駛員頭部聲腔聲壓級的變化趨勢。

在設(shè)計、制造、使用過程中，SEA參數(shù)的實(shí)際值與測試值往往存在一定差距，導(dǎo)致車內(nèi)噪聲預(yù)測存在較大誤差。2010年以來，SEA的不確定分析受到了廣泛的關(guān)注。宋海洋[8]在SEA框架下，利用區(qū)間分析方法對不確定結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)預(yù)測和載荷識別進(jìn)行了研究。FAHY等[9]以幾何參數(shù)作為不確定變量，采用隨機(jī)模型對板梁SEA系統(tǒng)的功率傳遞不確定性進(jìn)行了研究。COTONI等[10]基于SEA理論提出了一種考慮正交高斯系綜的振動能量總體方差預(yù)測方法。CHRISTEN等[11]采用傅里葉靈敏度分析技術(shù)，研究了模型和參數(shù)不確定性對SEA復(fù)合結(jié)構(gòu)噪聲衰減和傳遞的影響。

但是，現(xiàn)有的不確定SEA分析方法主要存在兩點(diǎn)缺陷。①采用SEA參數(shù)作為不確定變量，不確定參數(shù)物理意義不明確，難以選擇不確定模型和設(shè)定變化范圍，且SEA參數(shù)之間存在耦合關(guān)系，限制了優(yōu)化設(shè)計的實(shí)施。②采用數(shù)值方法進(jìn)行靈敏度分析，雖然算法簡單明了，但是僅適用于線性和輕度非線性計算，對于中度以上非線性問題的計算，將產(chǎn)生較大的誤差。

本文提出了一種新的不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法，選擇材料物理參數(shù)作為不確定變量，采用隨機(jī)不確定模型對這些變量的不確定性進(jìn)行描述，通過解析方法計算了SEA損耗因子均值對不確定變量的靈敏度，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)、聲腔振動能量均值、標(biāo)準(zhǔn)差的計算方程，并且以一個板、聲腔耦合的簡單算例和一個發(fā)動機(jī)艙聲腔、防火墻結(jié)構(gòu)、車內(nèi)聲腔耦合的復(fù)雜算例驗(yàn)證了方法的有效性。

1 聲-固耦合模型的統(tǒng)計能量方法

1.1 聲-固耦合模型的統(tǒng)計能量方程

圖1所示為包含一個結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)和一個聲腔子系統(tǒng)的簡單聲-固耦合模型，結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)和聲腔子系統(tǒng)分別用下標(biāo)s和a表示。其中，Es、Ea分別表示結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)的振動能量，Mds、Mda分別表示結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)的模態(tài)密度。

聲-固耦合系統(tǒng)在振動的過程中，子系統(tǒng)之間、子系統(tǒng)與外界環(huán)境之間均存在能量流動。令Pis、Pia分別表示外界環(huán)境能量流入結(jié)構(gòu)、聲腔子系統(tǒng)的功率，Psd、Pad分別表示結(jié)構(gòu)、聲腔子系統(tǒng)耗散至外界環(huán)境中的能量功率，Psa表示結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)傳遞至聲腔子系統(tǒng)的能量功率，Pas表示聲腔子系統(tǒng)傳遞至結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)的能量功率。

圖1 聲-固耦合基本模型Fig. 1 Acoustic-structural coupling basic model

在任一圓頻率ω下，子系統(tǒng)的耗散功率可以表示為

(1)

式中，ηsd、ηad分別為結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)的阻尼損耗因子。

子系統(tǒng)間能量傳遞功率可以表示為

(2)

式中，ηsa、ηas分別為結(jié)構(gòu)對聲腔和聲腔對結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子。

根據(jù)能量守恒定律，各子系統(tǒng)的輸入功率與輸出功率相等，其能量守恒方程可以表示為

(3)

當(dāng)結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)為板結(jié)構(gòu)時，其振動波包括彎曲波、壓縮波和剪切波，分別用上標(biāo)b、l和s表示。其中，只有彎曲波與聲腔子系統(tǒng)存在能量傳遞。將式(1)、式(2)代入式(3)，并將結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)能量展開成彎曲、壓縮和剪切3種振動模式，則聲-固耦合系統(tǒng)的統(tǒng)計能量方程可以表示為

P=ωηE

(4)

其中，P為輸入功率矩陣；E為子系統(tǒng)能量矩陣；η為損耗因子矩陣，并且有

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 聲-固耦合模型SEA參數(shù)分析

對于統(tǒng)計能量模型，各子系統(tǒng)的阻尼損耗因子、耦合損耗因子、模態(tài)密度、輸入功率等統(tǒng)稱為SEA參數(shù)。

設(shè)板結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)的彈性模量、泊松比和密度分別為EYs、μs和ρs，聲腔子系統(tǒng)的聲速、密度分別為ca和ρa(bǔ)。板結(jié)構(gòu)的周長為Ls、面積為Ss、厚度為ts，聲腔的體積為Va。

對于板結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)，其彎曲剛度為

(9)

板結(jié)構(gòu)彎曲波、壓縮波和剪切波的波數(shù)表示為

(10)

(11)

(12)

板結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度可以通過下式計算：

(13)

(14)

(15)

對于聲腔子系統(tǒng)，其波數(shù)和模態(tài)密度可以分別表示為

(16)

(17)

式中，La為聲腔所有邊的總長度；Sa為聲腔表面積。

對于聲-固耦合模型，結(jié)構(gòu)彎曲波與聲腔間的耦合損耗因子可以表示為

(18)

(19)

式中，σ為板和聲腔間的輻射系數(shù)。

輻射系數(shù)σ的計算方法很多，本文根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)EN12345-1對其進(jìn)行計算。輻射系數(shù)的計算存在兩個關(guān)鍵臨界頻率，板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)f11和臨界頻率fc，其中

(20)

在常規(guī)零部件尺度的分析中，f11遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于fc且當(dāng)前計算頻率f滿足f11≤f≤fc，此時有

(21)

(22)

(23)

(24)

當(dāng)前頻率f和圓頻率ω滿足關(guān)系ω=2πf。

將式(9)～式(24)代入式(4)，即可求得子系統(tǒng)振動能量矩陣E，從而根據(jù)下式進(jìn)一步求得板結(jié)構(gòu)平均振動速度vs和聲腔平均聲壓pa：

(25)

(26)

式中，ms為板結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

2 聲-固耦合模型的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法

2.1 隨機(jī)統(tǒng)計能量方法理論

在聲-固耦合模型中，材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)隨制造、裝配和環(huán)境條件的改變而改變，其不確定性無法避免。采用不確定模型可以對參數(shù)的不確定性進(jìn)行描述，常用的不確定模型包括隨機(jī)模型、區(qū)間模型、證據(jù)模型等。當(dāng)已知不確定參數(shù)的概率分布時，采用隨機(jī)模型對其進(jìn)行描述可以獲得最大的分析精度。在本文中，我們采用隨機(jī)模型對不確定參數(shù)的不確定性進(jìn)行描述。由于不確定參數(shù)的值主要與制造、裝配有關(guān)，其概率密度函數(shù)往往呈現(xiàn)正態(tài)分布。設(shè)不確定參數(shù)bj(j=1,2,…,n，n為隨機(jī)不確定參數(shù)個數(shù))組成不確定參數(shù)向量b，Exp(bj)和Var(bj)分別表示bj的均值和方差，并且有

Exp(b)=(Exp(b1),Exp(b2),…,Exp(bn))

(27)

Var(b)=(Var(b1),Var(b2),…,Var(bn))

(28)

對于聲-固耦合系統(tǒng)的基本統(tǒng)計能量方程，輸入功率矩陣、能量矩陣和損耗因子矩陣均可以看作不確定參數(shù)向量b的函數(shù)，式(4)可以寫成

P(b)=ωη(b)E(b)

(29)

將輸入功率矩陣P(b)和損耗因子矩陣η(b)進(jìn)行一階泰勒級數(shù)展開，則有

(30)

(31)

令PC、ηC分別表示向量b取其均值Exp(b)時的輸入功率矩陣和損耗因子矩陣，ΔP、Δη分別表示輸入功率矩陣和損耗因子矩陣的攝動值，則PC、ηC、ΔP、Δη分別表示為

PC=P(b)|b=Exp(b)

(32)

ηC=η(b)|b=Exp(b)

(33)

(34)

(35)

將式(32)～式(35)代入式(29)，可得

ω(ηC+Δη)E=PC+ΔP

(36)

式(36)可以寫作

(37)

將(ηC+Δη)-1采用紐曼級數(shù)展開，有

(38)

式中，γ為紐曼系數(shù)。

將式(38)代入式(37)，可得

(39)

式中，EC為統(tǒng)計能量法中能量矩陣E的均值；ΔE為能量矩陣的攝動值。

忽略高階項(xiàng)，將式(39)簡化為

(40)

(41)

將式(32)～式(35)代入式(41)，可得

(42)

(43)

根據(jù)式(42)，能量矩陣E的方差可以表示為

(44)

通過式(40)和式(44)即可對統(tǒng)計能量法中能量矩陣的均值和方差進(jìn)行計算。

2.2 不確定參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)

(45)

(46)

計算損耗因子矩陣對結(jié)構(gòu)彈性模量的靈敏度矩陣。根據(jù)式(9)，彎曲剛度對結(jié)構(gòu)彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為

(47)

對式(10)～式(12)求偏導(dǎo)，可以得到結(jié)構(gòu)波數(shù)對彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)：

(48)

(49)

(50)

同理根據(jù)式(13)～式(15)可以求得模態(tài)密度對彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)：

(51)

(52)

(53)

計算臨界頻率fc對彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)：

(54)

根據(jù)式(21)，結(jié)構(gòu)輻射系數(shù)對彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為

(55)

(56)

(57)

(58)

根據(jù)式(18)和式(19)，結(jié)構(gòu)彎曲波與聲腔間耦合損耗因子對結(jié)構(gòu)彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為

(59)

(60)

綜上，損耗因子矩陣η對結(jié)構(gòu)彈性模量EYs的靈敏度矩陣可以表示為

(61)

同理，可以推導(dǎo)出η對結(jié)構(gòu)泊松比μs、結(jié)構(gòu)密度ρs、聲腔聲速ca、聲腔密度ρa(bǔ)以及結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子ηsd和聲腔阻尼損耗因子ηad的靈敏度矩陣。

3 隨機(jī)統(tǒng)計能量方法基本流程

不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法基本步驟如下。

(1)定義結(jié)構(gòu)和聲腔的材料、幾何參數(shù)，包括結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的彈性模量、泊松比和密度，聲腔系統(tǒng)的聲速、密度，板結(jié)構(gòu)的周長、面積、厚度，聲腔體積等。

(2)根據(jù)式(9)～式(24)計算聲-固耦合模型的SEA參數(shù)，包括波數(shù)、模態(tài)密度、阻尼損耗因子、耦合損耗因子等。

(3)根據(jù)式(4)～式(7)建立聲-固耦合模型的統(tǒng)計能量方程，并計算結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)的振動能量。

(4)引入隨機(jī)不確定模型對聲-固耦合模型的不確定性進(jìn)行描述，定義不確定參數(shù)及其均值和方差。

(5)根據(jù)式(61)及相關(guān)公式推導(dǎo)損耗因子矩陣對不確定參數(shù)的靈敏度矩陣。

(6)根據(jù)式(40)和式(44)計算子系統(tǒng)振動能量的均值和方差。

4 算例

4.1 平板和立方體聲腔

本算例中的聲-固耦合模型由一個立方體聲腔和一個平板組成，如圖2所示。立方體聲腔的尺寸為1 m×1 m×1 m，平板尺寸為1 m×1 m。聲腔由空氣組成，聲速ca=343 m/s，密度ρa(bǔ)=1.21 kg/m3。平板采用鋁材料，其彈性模量Es=71 GPa，泊松比μs=0.3296，密度ρs=2700 kg/m3。平板結(jié)構(gòu)和立方體聲腔的阻尼損耗因子均設(shè)置為0.001。結(jié)構(gòu)與聲腔之間采用面連接，連接面積為1 m2。

圖2 平板和立方體聲腔模型Fig. 2 Plate and cube acoustic cavity model

將平板結(jié)構(gòu)和立方體聲腔各視為一個子系統(tǒng)，并加載全頻段均為常數(shù)的輸入功率。其中，結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)彎曲波輸入功率為20 W，壓縮波和剪切波輸入功率均為10 W，聲腔子系統(tǒng)輸入功率為50 W。采用1/3倍頻程的方式，計算200～10 000 Hz頻率范圍內(nèi)子系統(tǒng)振動能量波動的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)聲-固耦合模型統(tǒng)計能量方法，將材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)代入模型的統(tǒng)計能量方程中，就可以求得結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)的振動能量，如圖3所示。

圖3 結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)振動能量Fig.3 Vibration energy of structural and acoustic subsystems

表1 平板和立方體聲腔模型中的不確定變量平均值和標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Means and standard deviations of uncertain variables in models of plate and cube cavity

計算耦合損耗因子對各個不確定參數(shù)的靈敏度，部分計算結(jié)果如圖4所示。耦合損耗因子與結(jié)構(gòu)、聲腔阻尼損耗因子間沒有相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，故其靈敏度在各個頻率上均為0。由圖4可知，增大結(jié)構(gòu)材料彈性模量、泊松比以及聲腔密度，結(jié)構(gòu)與聲腔間的耦合損耗因子將會變大；而增加結(jié)構(gòu)材料密度，結(jié)構(gòu)與聲腔間的耦合損耗因子將會變??；增大聲速，結(jié)構(gòu)傳遞至聲腔的耦合損耗因子將增大，而聲腔傳遞至結(jié)構(gòu)的耦合損耗因子將變小。

將耦合損耗因子對不確定參數(shù)的靈敏度組裝成靈敏度矩陣，采用隨機(jī)攝動方法計算子系統(tǒng)振動能量波動的標(biāo)準(zhǔn)差，計算結(jié)果如圖5所示。為了驗(yàn)證計算結(jié)果的精度，采用蒙特卡羅方法對10 000個樣本點(diǎn)進(jìn)行了計算，統(tǒng)計了計算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，并和本文提出的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法進(jìn)行了對比。由圖5可知，本文提出的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法具有較高的計算精度，對于本算例，計算精度達(dá)到95%以上。

圖6繪制了子系統(tǒng)振動能量標(biāo)準(zhǔn)差占其平均值的百分比。由圖5和圖6可知，隨著頻率的增大，結(jié)構(gòu)和聲腔子系統(tǒng)振動能量逐漸減小，其波動標(biāo)準(zhǔn)差也隨之減小。對于平板縱向波和剪切波，其攝動半徑占中心值的百分比在不同頻率保持不變，恒定為5%；對于平板彎曲波，這一結(jié)果則先增大，后減小，在6300 Hz以上則驟然增大，最大達(dá)到15%；對于聲腔子系統(tǒng)，攝動半徑占中心值的百分比則先較小后增大，在低頻和高頻最大均達(dá)到7%。

(a) 結(jié)構(gòu)彈性模量靈敏度曲線

(b) 結(jié)構(gòu)密度靈敏度曲線

(c) 結(jié)構(gòu)泊松比靈敏度曲線

(d) 聲腔聲速靈敏度曲線

(e) 聲腔密度靈敏度曲線

4.2 汽車發(fā)動機(jī)艙、防火墻和車內(nèi)聲腔

本算例中的模型包括汽車發(fā)動機(jī)艙、防火墻和車內(nèi)聲腔，發(fā)動機(jī)艙、防火墻和車內(nèi)聲腔、防火墻分別組成兩個板、聲腔連接，如圖7所示。其中，發(fā)動機(jī)艙體積為1.10 m3，車內(nèi)聲腔體積為4.75 m3，防火墻面積為1.15 m2，厚度為1.2 mm。發(fā)動機(jī)艙和車內(nèi)聲腔均由空氣組成，聲速ca=343 m/s，密度ρa(bǔ)=1.21 kg/m3。防火墻為鋼材料，其彈性模量Es=210 GPa，泊松比μs=0.33，密度ρs=7850 kg/m3。防火墻的阻尼損耗因子設(shè)置為0.02，發(fā)動機(jī)艙、車內(nèi)聲腔的阻尼損耗因子設(shè)置為0.01。防火墻與發(fā)動機(jī)艙、防火墻與車內(nèi)聲腔均采用面連接。

(a) 結(jié)構(gòu)彎曲波振動能量標(biāo)準(zhǔn)差

(b) 聲腔振動能量標(biāo)準(zhǔn)差圖5 子系統(tǒng)振動能量標(biāo)準(zhǔn)差Fig.5 Standard deviation of vibration energy of subsystems

圖6 子系統(tǒng)振動能量攝動半徑占比Fig.6 Perturbed radius ratio of subsystem vibration energy

(a) 發(fā)動機(jī)艙、防火墻和車內(nèi)聲腔

(b) 發(fā)動機(jī)艙和防火墻圖7 汽車發(fā)動機(jī)艙、防火墻和車內(nèi)聲腔模型Fig.7 Models of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

發(fā)動機(jī)艙是汽車最重要的噪聲源，發(fā)動機(jī)艙內(nèi)產(chǎn)生的噪聲會通過防火墻傳遞至車內(nèi)聲腔，因此，防火墻的隔聲性能是整車最重要的噪聲性能評價指標(biāo)之一。在發(fā)動機(jī)艙處加載全頻段1 W的輸入功率，通過車內(nèi)聲腔的聲壓值或振動能量大小就可以評價處防火墻的隔聲性能。計算采用1/3倍頻程的方式，計算頻率為400～8000 Hz。

根據(jù)隨機(jī)統(tǒng)計能量方法基本流程，計算模型中的統(tǒng)計能量參數(shù)，其中，發(fā)動機(jī)艙和車內(nèi)聲腔的模態(tài)密度如圖8所示，發(fā)動機(jī)艙、車內(nèi)聲腔和防火墻之間的耦合損耗因子如圖9所示。

圖8 發(fā)動機(jī)艙和車內(nèi)聲腔的模態(tài)密度Fig.8 Modal densities of engine nacelle and interior acoustic cavity

圖9 發(fā)動機(jī)艙、車內(nèi)聲腔和防火墻間的耦合損耗因子Fig.9 Coupling loss factors of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

根據(jù)統(tǒng)計能量方程計算車內(nèi)聲腔的振動能量，如圖10所示。

圖10 車內(nèi)聲腔振動能量均值Fig.10 Mean of vibrational energy of interior acoustic cavity

表2 發(fā)動機(jī)艙、防火墻和車內(nèi)聲腔模型中的不確定變量平均值和標(biāo)準(zhǔn)差Tab.2 Means and standard deviations of uncertain variables in models of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

計算耦合損耗因子對各個不確定參數(shù)的靈敏度。將耦合損耗因子對不確定參數(shù)的靈敏度組裝成靈敏度矩陣。采用隨機(jī)攝動方法計算車內(nèi)聲腔振動能量的波動標(biāo)準(zhǔn)差，計算結(jié)果如圖11所示。由圖11可知，隨著頻率的增大，車內(nèi)聲腔振動能量逐漸減小，標(biāo)準(zhǔn)差也隨之減小。

圖11 車內(nèi)聲腔振動能量波動標(biāo)準(zhǔn)差Fig. 11 Standard deviation of vibrational energy of interior acoustic cavity

車內(nèi)聲腔噪聲聲壓級均值和標(biāo)準(zhǔn)差如圖12所示。需注意圖中的聲壓級單位為dB，需要換算成Pa才能進(jìn)行加減操作。

振動能量標(biāo)準(zhǔn)差占其均值的比例如圖13所示。由圖可知，雖然在高頻段振動能量標(biāo)準(zhǔn)差較小，由于此時均值也較小，標(biāo)準(zhǔn)差占其均值的比例反而隨著頻率增大而增大。由于人的聽覺與聲壓級大小之間并不是線性關(guān)系，在高頻段，人耳對噪聲更為敏感，因此，采用該方法進(jìn)行振動能量標(biāo)準(zhǔn)差分析后，若能降低高頻振動能量標(biāo)準(zhǔn)差，將顯著改善車內(nèi)噪聲品質(zhì)。

圖12 車內(nèi)聲腔噪聲聲壓級均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.12 Mean and standard deviation of sound pressure level of interior acoustic cavity

圖13 車內(nèi)聲腔振動能量標(biāo)準(zhǔn)差占幅值比例Fig.13 Ratio of vibration energy standard deviation to amplitude of interior acoustic cavity

5 結(jié)論

(1)本文提出了一種不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機(jī)統(tǒng)計能量方法。在統(tǒng)計能量方程基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了不確定參數(shù)關(guān)于結(jié)構(gòu)、聲腔材料參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)方程，建立了子系統(tǒng)能量波動標(biāo)準(zhǔn)差與材料參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差之間的數(shù)量關(guān)系。隨機(jī)統(tǒng)計能量方法可以用來計算不確定性條件下子系統(tǒng)能量的波動平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，通過簡單模型和汽車實(shí)際模型兩個算例，驗(yàn)證了該方法的可用性和有效性。

(2)本文的研究表明，統(tǒng)計能量方法的不確定性可以采用解析的方法而非數(shù)值的方法進(jìn)行研究，材料參數(shù)的不確定性對子系統(tǒng)能量波動的影響是存在確定數(shù)量關(guān)系的。雖然本文采用了隨機(jī)模型進(jìn)行材料參數(shù)不確定性的描述，但采用區(qū)間模型、證據(jù)模型同樣可以應(yīng)用該數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計算。

(3)本文選擇結(jié)構(gòu)和聲腔材料參數(shù)而不是SEA參數(shù)作為不確定性參數(shù)，既使設(shè)計初期確定不確定性參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差變得更加直接和容易，又避免了SEA參數(shù)之間的相互關(guān)系對不確定性分析結(jié)果產(chǎn)生影響。

(4)本文提出的方法主要適用于不確定變量樣本量較大、概率密度函數(shù)清晰的模型，概率密度函數(shù)不明確時，無法采用隨機(jī)模型進(jìn)行不確定性的描述，此時區(qū)間模型是較佳的替代方案。此外，本文提出的方法采用一階泰勒展開式進(jìn)行隨機(jī)攝動分析，主要適用于輕度、中度非線性問題，在高度非線性問題的計算中可能會存在較大的誤差。