基于耗散性理論的汽車(chē)底盤(pán)集成非線性魯棒約束優(yōu)化控制

張家旭 趙 健 施正堂 楊 雄

1.吉林大學(xué)汽車(chē)仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春，1300222.中國(guó)第一汽車(chē)集團(tuán)有限公司智能網(wǎng)聯(lián)研發(fā)院，長(zhǎng)春，1300113.浙江亞太機(jī)電股份有限公司智能汽車(chē)控制系統(tǒng)研究院，杭州，311200

0 引言

目前，自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的主要發(fā)展目標(biāo)之一，而主動(dòng)前輪轉(zhuǎn)向(active front steering, AFS)子系統(tǒng)和直接橫擺力矩控制(direct yaw-moment control, DYC)子系統(tǒng)是保證自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)在自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向等極限工況下安全、穩(wěn)定行駛的關(guān)鍵部件，但二者在自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向等極限工況下呈現(xiàn)出強(qiáng)耦合特性，簡(jiǎn)單組合的集成控制方式難以解決二者的強(qiáng)耦合特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制性能的影響[1]，因此深入研究二者在自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向等極限工況下的集成控制問(wèn)題是一項(xiàng)具有實(shí)際意義的工作。

AFS子系統(tǒng)和DYC子系統(tǒng)的集成控制方法按照控制模型類型可劃分為線性集成控制方法、非線性集成控制方法和智能集成控制方法。線性集成方法多采用線性二自由度汽車(chē)模型作為控制模型，并基于線性魯棒控制方法設(shè)計(jì)AFS和DYC的集成控制器。例如：文獻(xiàn)[2]將輪胎等效側(cè)偏剛度作為線性二自由度汽車(chē)模型的不確定參數(shù)，并采用最優(yōu)保性能控制方法設(shè)計(jì)AFS和DYC的集成控制器。文獻(xiàn)[3]將線性二自由度汽車(chē)模型轉(zhuǎn)化成線性分式變換結(jié)構(gòu)控制模型，并采用魯棒H∞狀態(tài)反饋控制方法實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的集成控制。文獻(xiàn)[4]基于左互質(zhì)分解線性二自由度汽車(chē)模型建立變結(jié)構(gòu)內(nèi)模魯棒控制模型，并通過(guò)優(yōu)化Youla參數(shù)化公式中的自由參數(shù)矩陣實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的魯棒集成控制。文獻(xiàn)[5]以線性二自由度汽車(chē)模型的傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，采用特征軌跡方法計(jì)算AFS和DYC的控制輸入量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的集成控制。在汽車(chē)自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向等極限工況下，線性二自由度汽車(chē)模型無(wú)法準(zhǔn)確表征汽車(chē)實(shí)際的強(qiáng)耦合動(dòng)力學(xué)特性，使得線性集成控制方法具有較大保守性。

非線性集成控制方法和智能集成控制方法對(duì)汽車(chē)自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向等極限工況下呈現(xiàn)出的強(qiáng)耦合特性具有更低的保守性。例如：文獻(xiàn)[6]采用滑模控制方法計(jì)算校正汽車(chē)橫擺角速度偏差和限制汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角相軌跡運(yùn)動(dòng)區(qū)域所需的廣義橫擺力矩，并基于輪胎逆模型將廣義橫擺力矩轉(zhuǎn)化為AFS和DYC的控制輸入，實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的集成控制。文獻(xiàn)[7]采用非奇異快速終端滑?？刂品椒ǚ謩e計(jì)算AFS的前輪轉(zhuǎn)角控制量和DYC的橫擺力矩控制量，并基于汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角相軌跡穩(wěn)定區(qū)域加權(quán)AFS的前輪轉(zhuǎn)角控制量和DYC的橫擺力矩控制量，實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的協(xié)調(diào)控制。文獻(xiàn)[8]將四輪車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型作為控制模型，并采用非線性模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)AFS和DYC的集成控制器，提高了汽車(chē)的操縱穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]基于七自由度汽車(chē)動(dòng)力學(xué)模型將AFS和DYC的集成控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，并通過(guò)Riccati方程求解該非線性最優(yōu)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]將七自由度汽車(chē)動(dòng)力學(xué)模型作為非線性模型預(yù)測(cè)控制方法的預(yù)測(cè)模型，設(shè)計(jì)AFS和DYC的集成控制器，最小化汽車(chē)橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角跟蹤誤差，提高汽車(chē)的操縱穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[11]采用模糊邏輯控制方法分別計(jì)算AFS的前輪轉(zhuǎn)向角控制量和DYC的橫擺力矩控制量，并基于模糊積分理論計(jì)算AFS的前輪轉(zhuǎn)向角控制量和DYC的橫擺力矩控制量的權(quán)重系數(shù)，實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的集成控制。文獻(xiàn)[12]基于多模型切換控制理論設(shè)計(jì)一系列AFS和DYC集成控制器，并采用模糊邏輯控制方法實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的AFS和DYC集成控制器的平滑切換控制。雖然非線性集成控制方法和智能集成控制方法對(duì)汽車(chē)自動(dòng)緊急轉(zhuǎn)向等極限工況下呈現(xiàn)出的強(qiáng)耦合特性具有更低的保守性，但采用非線性集成控制方法和智能集成控制方法設(shè)計(jì)的汽車(chē)底盤(pán)集成控制器通常包含大量的待確定設(shè)計(jì)參數(shù)，需要借助專家經(jīng)驗(yàn)來(lái)標(biāo)定這些待確定設(shè)計(jì)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的控制目標(biāo)。本文基于耗散性理論設(shè)計(jì)了一種標(biāo)定參數(shù)較少的非線性魯棒控制器，以實(shí)現(xiàn)AFS和DYC的集成控制。

1 數(shù)學(xué)模型

簡(jiǎn)潔、高效的汽車(chē)動(dòng)力學(xué)模型是汽車(chē)底盤(pán)集成控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。忽略空氣阻力和車(chē)身的縱向、垂向、俯仰和側(cè)傾運(yùn)動(dòng)自由度，建立包含車(chē)身側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)自由度的汽車(chē)底盤(pán)集成控制模型，如圖1所示。

圖1 汽車(chē)底盤(pán)集成控制模型Fig.1 Integrated vehicle chassis control model

如圖1所示，采用汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角β和橫擺角速度γ描述車(chē)身的側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)自由度，如下所示[13]：

(1)

(2)

(3)

式中，m為整車(chē)質(zhì)量；Iz為汽車(chē)?yán)@通過(guò)質(zhì)心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；vx為汽車(chē)縱向速度；Fx1、Fx2、Fx3、Fx4分別為左前、右前、左后和右后輪胎縱向力；Mu為校正橫擺力矩；δf為前輪轉(zhuǎn)向角；lf、lr分別為汽車(chē)質(zhì)心到前軸和后軸的距離；tf和tr分別為前輪輪距和后輪輪距的1/2；Fyf、Fyr分別為前、后輪胎側(cè)向力的均值;Fy1、Fy2、Fy3、Fy4分別為左前、右前、左后和右后輪胎側(cè)向力。

將汽車(chē)底盤(pán)集成控制模型建模誤差考慮成系統(tǒng)的加性不確定性，并且將汽車(chē)整車(chē)質(zhì)量、汽車(chē)縱向速度等信息測(cè)量誤差考慮成系統(tǒng)的乘性不確定性，則式(1)可以修正為

(4)

(5)

(6)

式中，d為系統(tǒng)的加性不確定性,d=[d1d2]T；未知參數(shù)θ為系統(tǒng)的乘性不確定性；Fy、Mz分別為汽車(chē)的側(cè)向力和橫擺力矩。

2 汽車(chē)底盤(pán)集成非線性L2增益控制

本節(jié)在Backstepping設(shè)計(jì)架構(gòu)下，基于非線性魯棒控制理論設(shè)計(jì)汽車(chē)底盤(pán)集成非線性L2增益控制律，抑制系統(tǒng)的加性不確定性對(duì)系統(tǒng)性能輸出的影響。同時(shí)，借助投影修正法在汽車(chē)底盤(pán)集成非線性L2增益控制律中引入系統(tǒng)乘性不確定性自適應(yīng)律，通過(guò)實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償系統(tǒng)的乘性不確定性來(lái)抑制其對(duì)系統(tǒng)性能輸出的影響，進(jìn)一步降低系統(tǒng)的保守性。由AFS和DYC的集成控制目標(biāo)，可得系統(tǒng)的性能輸出為

(7)

βd=0

(8)

(9)

(10)

(11)

式中，z1、z2分別為質(zhì)心側(cè)偏角偏差和橫擺角速度偏差；σ為滑模面；βd、γd分別為期望的質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度；s為拉普拉斯算子；Kγ、Tγ分別為期望橫擺角速度穩(wěn)態(tài)增益和響應(yīng)時(shí)間；Cf、Cr分別為前后輪胎等效側(cè)偏剛度；l為汽車(chē)軸距。

考慮輪胎-地面附著條件約束，期望的橫擺角速度進(jìn)一步限制為

(12)

式中，μ為輪胎-路面附著系數(shù)峰值；g為重力加速度；ζ為式(12)簡(jiǎn)化過(guò)程產(chǎn)生的影響因子，本文取ζ=0.85。

在上述分析的基礎(chǔ)上，我們通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得到以下定理。

定理針對(duì)式(4)描述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下汽車(chē)底盤(pán)集成非線性L2增益控制律：

(13)

采用如下自適應(yīng)律更新：

(14)

式中，θmin、θmax分別為乘性不確定性的下確界和上確界；Projθ(·)為投影算子。

若選取的設(shè)計(jì)參數(shù)κ1滿足

(15)

則閉環(huán)系統(tǒng)在加性不確定性d≠0時(shí)是有限增益L2穩(wěn)定的；在加性不確定性d=0時(shí)其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)齊次系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明：選擇李雅普諾夫候選函數(shù)為

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)，可得

(17)

將式(13)描述的汽車(chē)底盤(pán)集成非線性L2增益控制律和式(14)描述的乘性不確定性自適應(yīng)律代入式(17)，可得

(18)

根據(jù)Young不等式[14]可得

(19)

(20)

將不等式(19)和不等式(20)代入式(18)，可得

(21)

(22)

對(duì)式(22)積分，可得耗散不等式

(23)

當(dāng)系統(tǒng)的加性不確定性d=0時(shí)，對(duì)式(23)積分，可得

(24)

3 校正橫擺力矩約束優(yōu)化分配

AFS子系統(tǒng)和DYC子系統(tǒng)分別通過(guò)調(diào)節(jié)前輪側(cè)向力和四個(gè)車(chē)輪縱向力對(duì)汽車(chē)施加校正橫擺力矩。因此，由圖1所示的汽車(chē)橫擺力矩與四個(gè)車(chē)輪輪胎力之間的關(guān)系，可得

Mu=HΔu

(25)

H=

[2lfcosδflfsinδf-tfcosδflfsinδf+tfcosδf-trtr]

(26)

Δu=[ΔFyfΔFx1ΔFx2ΔFx3ΔFx4]T

(27)

式中，H、Δu分別為控制效率矩陣和目標(biāo)輪胎力增量。

目標(biāo)輪胎側(cè)向力增量可以表示為

ΔFyf=-2CfΔα

(28)

式中，Δα為前輪側(cè)偏角增量。

由線性二自由度汽車(chē)動(dòng)力學(xué)模型可得汽車(chē)前輪側(cè)偏角與前輪轉(zhuǎn)向角之間的幾何關(guān)系為

(29)

由于車(chē)身慣量遠(yuǎn)大于車(chē)輪慣量，使得車(chē)輪狀態(tài)變化明顯快于車(chē)身狀態(tài)變化，因此，基于式(29)可將前輪側(cè)偏角增量表示為

Δα=-Δδf

(30)

目標(biāo)輪胎縱向力增量可以表示為

ΔFxi=ΔTbi/Rwi=1,2,3,4

(31)

式中，Rw為車(chē)輪有效滾動(dòng)半徑；ΔTb1、ΔTb2、ΔTb3和ΔTb4分別為左前、右前、左后和右后車(chē)輪制動(dòng)力矩增量。

基于式(28)、式(29)，將式(25)修正為

Mu=H1Δu1

(32)

H1=[4Cflfcosδf(lfsinδf-tfcosδf)/Rw
(lfsinδf+tfcosδf)/Rw-tr/Rwtr/Rw]

(33)

Δu1=[ΔδfΔTb1ΔTb2ΔTb3ΔTb4]T

(34)

式中，H1為修正后的控制效率矩陣；Δu1為由目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)向角增量和目標(biāo)車(chē)輪制動(dòng)力矩增量組成的控制輸入。

由AFS子系統(tǒng)和DYC子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性約束，可得

|Δδf|≤Δδfmax

(35)

|ΔTbi|≤ΔTbmaxi=1,2,3,4

(36)

式中，Δδfmax和ΔTbmax分別為前輪轉(zhuǎn)向角增量最大值和車(chē)輪制動(dòng)力矩增量最大值。

為了最小化能量消耗，定義如下目標(biāo)函數(shù):

(37)

(38)

(39)

(40)

式中，W為權(quán)重矩陣；ε為修正因子，ε=10-4；Fz1、Fz2、Fz3和Fz4分別為左前、右前、左后和右后輪垂直載荷；μ1、μ2、μ3和μ4分別為左前、右前、左后和右后輪胎-路面附著系數(shù)；ρ為平滑過(guò)渡因子;χ為描述汽車(chē)穩(wěn)定性的因子。

在式(37)描述的目標(biāo)函數(shù)權(quán)重矩陣中引入平滑過(guò)渡因子，可以使AFS子系統(tǒng)主要工作在汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角相平面穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。同時(shí)，汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角相軌跡越靠近相平面穩(wěn)定邊界，AFS子系統(tǒng)的權(quán)重越大，使得AFS子系統(tǒng)和DYC子系統(tǒng)在提升汽車(chē)操縱穩(wěn)定性方面由共同主導(dǎo)作用平滑過(guò)渡到僅DYC子系統(tǒng)起主導(dǎo)作用。

綜上，將校正橫擺力矩約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的非線性規(guī)劃問(wèn)題:

(41)

采用逐步二次規(guī)劃(sequential quadratic programming，SQP)法對(duì)式(41)描述的非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)采用汽車(chē)動(dòng)力學(xué)仿真軟件CarSim構(gòu)建模型在環(huán)測(cè)試系統(tǒng)，對(duì)所提出的汽車(chē)底盤(pán)集成非線性魯棒控制器的可行性和有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在仿真過(guò)程中，車(chē)輛參數(shù)與汽車(chē)底盤(pán)集成非線性魯棒控制器參數(shù)配置如表1所示。

表1 車(chē)輛參數(shù)與控制器參數(shù)Tab.1 The parameters of vehicle and controller

4.1 調(diào)幅正弦轉(zhuǎn)向工況

在調(diào)幅正弦轉(zhuǎn)向工況中，汽車(chē)動(dòng)力學(xué)仿真軟件CarSim的路面附著系數(shù)設(shè)置為1，初始車(chē)速設(shè)置為120 km/h，前輪轉(zhuǎn)向角輸入如圖2a所示，正弦頻率設(shè)置為3.14 rad/s，調(diào)幅速率設(shè)置為0.447 °/s，未施加控制，DYC控制和集成控制的仿真對(duì)比結(jié)果如圖2b～圖2i所示。

如圖2b～圖2e所示，在系統(tǒng)存在加性不確定性時(shí)，未施加控制，DYC控制和集成控制的汽車(chē)均保持穩(wěn)定行駛狀態(tài)，但是未施加控制的汽車(chē)無(wú)法跟隨期望橫擺角速度，呈現(xiàn)出不足轉(zhuǎn)向趨勢(shì)，而DYC控制和集成控制的汽車(chē)可以準(zhǔn)確跟蹤期望橫擺角速度。如圖2f～圖2i和表2所示，相對(duì)于DYC控制的汽車(chē)，集成控制的汽車(chē)需要的車(chē)輪制動(dòng)力矩更小，對(duì)汽車(chē)縱向速度的影響更小。因此，本文提出的集成控制器既可以提高汽車(chē)操縱性，又可以抑制其對(duì)汽車(chē)乘坐舒適性的影響。

(a)前輪轉(zhuǎn)向角輸入 (b)汽車(chē)橫擺角速度 (c)汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角

(d)汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角相軌跡 (e)系統(tǒng)加性不確定性 (f)汽車(chē)縱向速度

(g)未控制、DYC控制和集成 (h)集成控制的車(chē)輪制動(dòng)力矩(i)DYC控制的車(chē)輪制動(dòng)力矩 控制的前輪轉(zhuǎn)向角圖2 調(diào)幅正弦轉(zhuǎn)向工況仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of sine increasing amplitude sine steering

表2 調(diào)幅正弦轉(zhuǎn)向工況車(chē)輪制動(dòng)力矩均值和方差Tab.2 The mean and covariance of brake torque in sine increasing amplitude steering

4.2 正弦延遲轉(zhuǎn)向工況

在正弦延遲轉(zhuǎn)向工況中，汽車(chē)動(dòng)力學(xué)仿真軟件CarSim的路面附著系數(shù)設(shè)置為0.8，初始車(chē)速設(shè)置為100 km/h，前輪轉(zhuǎn)向角輸入如圖3a所示，幅值設(shè)置為5.82°，未施加控制，DYC控制和集成控制的仿真對(duì)比結(jié)果如圖3b～圖3i所示。

如圖3b～圖3e所示，在系統(tǒng)存在加性不確定性時(shí)，未施加控制的汽車(chē)在1.3s后失去穩(wěn)定性，呈現(xiàn)出過(guò)多轉(zhuǎn)向趨勢(shì)，而DYC控制和集成控制的汽車(chē)均保持穩(wěn)定行駛狀態(tài)，并且可以準(zhǔn)確跟蹤期望橫擺角速度。同時(shí)，相對(duì)于DYC控制的汽車(chē)，集成控制的汽車(chē)對(duì)期望橫擺角速度的跟蹤精度更高。如圖3f～圖3i和表3所示，在正弦延遲轉(zhuǎn)向工況中，汽車(chē)處于極限行駛狀態(tài)，集成控制的AFS介入較少，但依然可以降低對(duì)車(chē)輪制動(dòng)力矩的需求。因此，相對(duì)于DYC控制，本文提出的集成控制器既可以提高汽車(chē)操縱穩(wěn)定性，又可以減小其對(duì)汽車(chē)乘坐舒適性的影響。

(a)前輪轉(zhuǎn)向角輸入 (b)汽車(chē)橫擺角速度 (c)汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角

(d)汽車(chē)質(zhì)心側(cè)偏角相軌跡 (e)系統(tǒng)加性不確定性 (f)汽車(chē)縱向速度

(g)未控制、DYC控制和集成 (h)集成控制的車(chē)輪制動(dòng)力矩(i)DYC控制的車(chē)輪制動(dòng)力矩 控制的前輪轉(zhuǎn)向角圖3 正弦延遲轉(zhuǎn)向工況仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of sine dwell steering

表3 正弦延遲轉(zhuǎn)向工況車(chē)輪制動(dòng)力矩均值和方差Tab.3 The mean and covariance of brake torquein sine dwell steering

5 結(jié)論

(1)將汽車(chē)底盤(pán)集成控制模型建模誤差考慮成系統(tǒng)的加性不確定性，并且將汽車(chē)整車(chē)質(zhì)量、汽車(chē)縱向速度等信息測(cè)量誤差考慮成系統(tǒng)的乘性不確定性，建立了包含車(chē)身側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)自由度的汽車(chē)底盤(pán)集成控制模型。

(2)基于耗散性理論和投影修正法設(shè)計(jì)了汽車(chē)主動(dòng)前輪轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)和直接橫擺力矩控制子系統(tǒng)集成非線性L2增益控制律，抑制系統(tǒng)加性不確定性和乘性不確定性對(duì)系統(tǒng)性能輸出的影響，并采用逐步二次規(guī)劃法來(lái)實(shí)現(xiàn)了所設(shè)計(jì)控制律輸出的校正橫擺力矩約束優(yōu)化分配。

(3)結(jié)合車(chē)輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的汽車(chē)底盤(pán)集成非線性魯棒控制器的可行性和有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明：本文設(shè)計(jì)的汽車(chē)底盤(pán)集成非線性魯棒控制器對(duì)系統(tǒng)加性不確定性和乘性不確定性具有強(qiáng)魯棒性，既可以提高汽車(chē)操縱穩(wěn)定性，又可以減小其對(duì)汽車(chē)乘坐舒適性的影響。

后續(xù)將搭建硬件在環(huán)試驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的汽車(chē)底盤(pán)集成非線性魯棒控制器的可行性和有效性。