試驗(yàn)設(shè)計(jì)對假設(shè)檢驗(yàn)的影響

劉 倩

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710071)

0 引言

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容之一。本文以參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)為研究對象，探討試驗(yàn)設(shè)計(jì)對假設(shè)檢驗(yàn)的影響。所謂試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)，就是設(shè)計(jì)試驗(yàn)的過程，使得收集的數(shù)據(jù)適合于用統(tǒng)計(jì)方法分析，得出有效的和客觀的結(jié)論。當(dāng)問題涉及受試驗(yàn)誤差影響的數(shù)據(jù)時(shí)，只有統(tǒng)計(jì)方法才是客觀的分析方法。這樣一來，任一試驗(yàn)問題就存在兩個(gè)方面：試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析。

在假設(shè)檢驗(yàn)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)階段，需要重點(diǎn)解決以下兩個(gè)問題：①如何正確地建立原假設(shè)和備擇假設(shè)，對同樣一個(gè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，原假設(shè)和備擇假設(shè)可以互換嗎？特別是對單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)，這個(gè)問題似乎尤為明顯，是否有必要給出原假設(shè)和備擇假設(shè)的建立原則？②以成對數(shù)據(jù)比較與成組數(shù)據(jù)比較問題為例，說明如何正確選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，此時(shí)分析清楚條件是關(guān)鍵。為了更好地解決這兩個(gè)問題，我們根據(jù)兩個(gè)具體的假設(shè)檢驗(yàn)案例分別進(jìn)行討論。

1 假設(shè)檢驗(yàn)的立場問題

案例1[1]一位中學(xué)校長在報(bào)紙上看到一則報(bào)道：這一城市的初中學(xué)生平均每周看8 h電視。她認(rèn)為她所領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)校，學(xué)生看電視時(shí)間明顯小于該數(shù)字。為此，隨機(jī)調(diào)查了該校的100名初中學(xué)生，得知平均每周看電視的時(shí)間6.5 h，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2 h。假定學(xué)生每周看電視的時(shí)間服從正態(tài)分布，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，在0.05的顯著性水平下，能否支持這位校長的看法。

分析由于學(xué)生每周看電視的時(shí)間服從正態(tài)分布，總體方差未知，所以采用t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。本題關(guān)鍵是如何建立原假設(shè)和備擇假設(shè)，究竟是左側(cè)檢驗(yàn)還是右側(cè)檢驗(yàn)?zāi)?？原假設(shè)和備擇假設(shè)能否進(jìn)行互換呢？

解法1建立左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)

H0:μ≥μ0；H1:μ<μ0。

(1)

(2)

顯然，統(tǒng)計(jì)量的觀測值落在拒絕域中，故拒絕H0，即在0.05的顯著性水平下，支持這位校長的看法。

解法2建立右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)

H0:μ≤μ0；H1:μ>μ0。

(3)

(4)

顯然，統(tǒng)計(jì)量的觀測值沒有落在拒絕域中，故不能拒絕原假設(shè)H0。但是要注意“不拒絕”并不表示要“接受”， 但在一些教材上卻描述為接受原假設(shè)。事實(shí)上，這種描述是不準(zhǔn)確的，原因就在于在現(xiàn)有的顯著性水平下，根據(jù)現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)沒有充分理由拒絕原假設(shè)H0，并非肯定H0是對的，此時(shí)，這是一種“被動(dòng)”接受。所以根據(jù)解法2，結(jié)論為根據(jù)現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)，無法作出判斷。即在0.05的顯著性水平下，無法得到支持這位校長的看法的結(jié)論。

這兩種不同的解法究竟哪一個(gè)正確呢？

如果稍不留神，就會(huì)認(rèn)為這兩種做法的結(jié)論一致，認(rèn)為無論是左側(cè)檢驗(yàn)還是右側(cè)檢驗(yàn)，都是支持這位校長的看法。但是方法2的“接受”并不能肯定原假設(shè)一定是對的，這樣的結(jié)論是含糊不清的。而解法1的結(jié)論明確且有效，所以對本例，推薦使用解法1。

由本例引入對假設(shè)檢驗(yàn)立場問題的討論。我們是站在保護(hù)原假設(shè)的立場，為什么是保護(hù)原假設(shè)？根據(jù)Neyman與Pearson的思想，在假設(shè)檢驗(yàn)理論中，首先要控制犯第一類錯(cuò)誤，即“棄真”錯(cuò)誤的概率不能大于給定的顯著性水平，這就表明原假設(shè)是被保護(hù)的。因此“把什么放在原假設(shè)”是個(gè)非常重要的問題。

這里，需要把握兩個(gè)原則：原則1，把經(jīng)過長期考驗(yàn)或者驗(yàn)證認(rèn)為是正確的結(jié)論放在原假設(shè)；原則2，把希望得到的結(jié)論放在備擇假設(shè)，希望通過拒絕原假設(shè)來得到希望要的結(jié)論。

從數(shù)學(xué)的角度分析，原假設(shè)和備擇假設(shè)的地位應(yīng)該是平等的。原假設(shè)和備擇假設(shè)無論怎樣提出都可以，因?yàn)樗鼈兊臋z驗(yàn)結(jié)論都是相容而不會(huì)相互矛盾[2]。但值得注意的是，對于給定的樣本數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)的不同設(shè)定方法會(huì)導(dǎo)致表述的結(jié)論不同，有的表述更明確而且有效，而有的則顯得含糊不清。因此，在實(shí)踐中，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)的幾點(diǎn)建立原則是很有必要的。這樣看來，從實(shí)際的假設(shè)檢驗(yàn)過程中可以看出原假設(shè)和備擇假設(shè)是不平等的。因?yàn)榫芙^原假設(shè)，說明有充分的理由證明原假設(shè)不對，而接受原假設(shè)僅是由于沒有充分的理由拒絕它，從保護(hù)原假設(shè)的立場我們接受了，但是“接受”是“含糊的”，“拒絕”是“明確的”。也就是說，要推翻原假設(shè)需要充分的證據(jù)，如果得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論， 那么這個(gè)結(jié)論是很有說服力的； 反之，僅僅表明樣本數(shù)據(jù)與原假設(shè)沒有矛盾， 但并不意味著原假設(shè)是應(yīng)該被接受的，不拒絕不等于接受，在這種情形下接受原假設(shè)不是很有說服力。

此刻，發(fā)現(xiàn)本案例中的解法1正是依據(jù)原則2建立了原假設(shè)和備擇假設(shè)。筆者建議本題先確定備擇假設(shè)，再確定原假設(shè)，把我們想要得到的結(jié)論放在備擇假設(shè)，把希望拒絕的結(jié)論放在原假設(shè)。

更進(jìn)一步，更新樣本數(shù)據(jù)，比如樣本均值取7.8，或者更新樣本均值使得該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值介于-1.65和+1.65之間，答案會(huì)有怎樣的變化？我們發(fā)現(xiàn)，無論左側(cè)檢驗(yàn)還是右側(cè)檢驗(yàn)，每一個(gè)決策都沒有很好的說服力。既不能拒絕初中學(xué)生平均每周看電視的時(shí)間至少是8 h的說法，也不能拒絕初中學(xué)生平均每周看電視的時(shí)間最多是8 h的說法，即此時(shí)校長的說法既不能接受也不能拒絕。導(dǎo)致出現(xiàn)上述結(jié)果的原因在于，這兩種做法的結(jié)論都是不能拒絕原假設(shè)，接受原假設(shè)，并不代表它是對的，備擇假設(shè)是錯(cuò)的，只是說在現(xiàn)有顯著性水平下，根據(jù)現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)沒有充足的理由拒絕原假設(shè)，因此，“對于同樣一個(gè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，交換原假設(shè)和備擇假設(shè)可以得到完全相反的結(jié)論”的提法本身就是錯(cuò)誤的，至少是不準(zhǔn)確的。這種提法極易給初學(xué)者帶來誤區(qū)[3]。造成這種狀況的原因是題目給定的樣本容量太小，不足以形成統(tǒng)計(jì)學(xué)上的證據(jù)。此時(shí)，如果不改變樣本容量，則可以借助假設(shè)檢驗(yàn)中常用的另一種決策準(zhǔn)則：p值準(zhǔn)則[4]。

2 成對數(shù)據(jù)比較與成組數(shù)據(jù)比較問題

案例2做以下的試驗(yàn)以比較人對紅光或綠光的反應(yīng)時(shí)間(以s(秒)計(jì))，試驗(yàn)在點(diǎn)亮紅光或者綠光的同時(shí)，啟動(dòng)計(jì)時(shí)器，要求受試者見到紅光或綠光點(diǎn)亮?xí)r，就按下按鈕，切斷計(jì)時(shí)器，這就能測得反應(yīng)時(shí)間，測量的結(jié)果如表1。在0.05的顯著性水平下，問能否認(rèn)為人對紅光的反應(yīng)時(shí)間小于對綠光的反應(yīng)時(shí)間。

解法1本題中的數(shù)據(jù)是成對的，即對同一個(gè)測試者測出一對數(shù)據(jù)，因此，它們不是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量的觀測值。也就是說，表中第一行不能看成一個(gè)樣本的樣本值，同樣，表中第二行也不能看成是一個(gè)樣本的樣本值。

H0:μD≥0； H1:μD<0。 (5)

(6)

故拒絕H0，認(rèn)為μD<0，即有95%的把握認(rèn)為人對紅光的反應(yīng)時(shí)間小于對綠光的反應(yīng)時(shí)間，也就是人對紅光的反應(yīng)要比綠光快。

解法2如果用成組比較來處理，即誤將表格中第一行數(shù)據(jù)看成隨機(jī)變量X的樣本值，而將第二行數(shù)據(jù)看成另一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量Y的樣本值，并基于這兩個(gè)樣本檢驗(yàn)如下假設(shè)

H0:μX≥μY；H1:μX<μY。

(7)

(8)

故不能拒絕原假設(shè)H0，結(jié)論為根據(jù)現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)，無法作出判斷。即在0.05的顯著性水平下，無法得到人對紅光的反應(yīng)時(shí)間小于對綠光的反應(yīng)時(shí)間的結(jié)論。

這兩種不同的解法究竟哪一個(gè)正確呢？ 以下引入成對數(shù)據(jù)比較與成組數(shù)據(jù)比較問題。

有時(shí)為了比較兩種產(chǎn)品、兩種儀器、兩種方法等的差異，我們常在相同條件下做對比試驗(yàn)，得到一批成對的觀察值，然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷，這種方法常稱作成對比較法。這些成對的數(shù)據(jù)是一對對獲得的，對于每一對數(shù)據(jù)而言，它們是同一研究對象對不同產(chǎn)品、儀器或者方法測得的結(jié)果，因此，它們不是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量的觀測值，我們不能采用成組數(shù)據(jù)(兩個(gè)獨(dú)立樣本比較)的方法對其進(jìn)行檢驗(yàn)。這是成對數(shù)據(jù)所采用的檢驗(yàn)方法與成組數(shù)據(jù)(兩樣本比較)最本質(zhì)的區(qū)別。

無論是成對數(shù)據(jù)比較，還是成組數(shù)據(jù)的差異比較問題，在總體方差未知的場合下，都可以通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膖檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。所以如果誤將成對比較理解為成組比較，那就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。

顯然，在本案例中，同一對中兩個(gè)數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由兩種不同儀器的差異所引起的，這樣，局限于各對中兩個(gè)數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素，而只考慮單獨(dú)由不同儀器所產(chǎn)生的影響，從而能比較不同儀器的測量結(jié)果是否有顯著的差異。因此，本案例將成對比較問題轉(zhuǎn)化為單個(gè)樣本問題進(jìn)行檢驗(yàn)，解法1是正確的。教師在授課過程中，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)成對數(shù)據(jù)和成組數(shù)據(jù)在獲取方法和條件上的差異，并采用相應(yīng)的方法。

3 結(jié)論

本文以參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)為研究對象，探討了試驗(yàn)設(shè)計(jì)對假設(shè)檢驗(yàn)的影響。重點(diǎn)分析了假設(shè)檢驗(yàn)問題在試驗(yàn)設(shè)計(jì)階段存在的兩個(gè)重要方面并引發(fā)了一些思考。由案例1引入對假設(shè)檢驗(yàn)立場問題的討論并給出2條實(shí)用的建立原則。我們是站在保護(hù)原假設(shè)的立場，依據(jù)是Neyman與Pearson的思想，即首先要控制犯第一類錯(cuò)誤即“棄真”錯(cuò)誤的概率不能大于給定的顯著性水平。因此在實(shí)踐中，要掌握原假設(shè)和備擇假設(shè)的兩個(gè)建立原則，給出明確且有效的結(jié)論；由案例2本文引入對成對數(shù)據(jù)和成組數(shù)據(jù)比較問題，分析清楚題目條件，正確選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，才可能作出正確的判斷。