一個擴散微分方程模型的動力學性質(zhì)分析

汪鵬飛， 虞帥晶

(義烏工商職業(yè)技術(shù)學院 機電信息學院，浙江 義烏 322000)

0 引言

為了更好地找到生態(tài)系統(tǒng)種群關(guān)系演化的內(nèi)在規(guī)律，很多研究者展開了對微分方程動力學性質(zhì)機理的研究[1-5]。本文從一個帶有交叉擴散的微分方程模型出發(fā)，重點研究模型平衡點附近的動力學性質(zhì)，分析模型相關(guān)性質(zhì)中蘊含的生態(tài)學意義。

1 預備知識

在生態(tài)系統(tǒng)研究中捕食者與被捕食者的自然增長經(jīng)常采用Logistic模型，捕食關(guān)系常選擇Holling-Ⅱ功能反應項[6]?？紤]被捕食者中帶有疾病的部分也會對捕食者產(chǎn)生影響，建立微分方程模型

(1)

一般設定P=P(t)和Z=Z(t)分別表示被捕食者與捕食者在時刻t的密度。r1,K1一般被用來表示被捕食者的內(nèi)在增長率及對應的環(huán)境承載力；r2,K2則分別代表捕食者的內(nèi)在增長率及對應的環(huán)境承載力；β1一般對應捕食者的捕食率，β2對應了捕食者消耗的生物質(zhì)能的轉(zhuǎn)化比率，β3代表被捕食者有毒物質(zhì)的釋放比率；m是被捕食者的半飽和常數(shù)。一般情況下捕食者種群不會滅絕，設定β2>β3。

考慮到種群中一般還會受擴散的影響，將模型進一步優(yōu)化為偏微分方程模型

(2)

P(s,t)和Z(s,t)在s∈Ω(Ω?R2，為一個帶有光滑邊界?Ω的有界空間區(qū)域),t>0上滿足

初始值為

P(0,s)=P0(s)>0,Z(0,s)=Z0(s)>0,s∈Ω。

以下對模型(2)詳細分析，研究模型具有的動力學性質(zhì)。

顯然，模型始終存在E0=(0,0),E1=(K1,0)和E2=(0,K2)3個邊界平衡點。

2)若K1>m,r1r2(K1+m)3/(4K1β1(r2(K1+m)+(β2-β3)(K1-m)))

3)當相應的參數(shù)不等式

①K1>m,K2

②K1

其中一條成立時，系統(tǒng)中至少存在一個正平衡點E4=(P4,Z4),其中P4>(K1-m)/2。

下面討論模型(1)的局部性質(zhì)。

計算(1)的雅克比矩陣為

由雅克比矩陣容易發(fā)現(xiàn)平衡點E0=(0,0)是不穩(wěn)定平衡點，E1=(K1,0)是一個鞍點。當r1>β1K2/m時，平衡點E2=(0,K2)不穩(wěn)定，而當r1<β1K2/m時局部是漸進穩(wěn)定的。

接下來給出內(nèi)平衡點的局部穩(wěn)定性。設E*=(P*,Z*)為系統(tǒng)的內(nèi)平衡點，可得到方程

(3)

因此關(guān)于E*=(P*,Z*)的雅克比矩陣表示為

(4)

其中

(5)

如果P*>(K1-m)/2，則J11<0，進一步可以得到tr(JE*)<0且det(JE*)>0，這種情況下正平衡點E*=(P*,Z*)始終是局部漸進穩(wěn)定的；反之，如果P*<(K1-m)/2，則有J11>0。

2 主要結(jié)果

引理1當模型(1)恰好存在兩個正平衡點E1=(P1,Z1)和E2=(P2,Z2)時, 則當K2≤m時，E1=(P1,Z1)是一個鞍點，而E2=(P2,Z2)始終是局部漸進穩(wěn)定的。

證明定義

進一步可以得到不等式

從而

因此, 如果m≥K2，可得Det(E1)<0。此時E1=(P1,Z1)是一個鞍點。

引理2如果模型(1)存在一個正平衡點E3=(P3,Z3)并且P3<(K1-m)/2，則當條件

K2≥m，r1/(r2+β2-β3)

成立，或者

K2≥m，(r1×K1-r1m-r2K1-K1(β2-β3))2-8r1r2K1m<0

成立時，E3=(P3,Z3)是局部漸進穩(wěn)定的。

證明同上，定義

在定義1中正平衡點E3=(P3,Z3)對應的條件下，得到

因此

進一步當m≥K2,Det(E3)>0成立時，有

成立。

此時

當不等式

或

(r1K1-r1m-r2K1-K1β2+K1β3)2-8r1r2K1m<0

成立時，得到tr(E3)<0。

定理1如果模型(1)恰好存在一個正平衡點E4=(P4,Z4)并且滿足P4>(K1-m)/2，則模型是局部漸進穩(wěn)定的。進一步，當0

證明定義一個李雅普諾夫函數(shù)

顯然V1(P,Z)始終是正定的，當且僅當(P(t),Z(t))=(P4,Z4)時，V1(P,Z)=0。

由模型(1)中dP/dt和dZ/dt的表達式，得到

(6)

代入條件

(6) 式可以被簡化為

由于Z4>K2, 因此

定理2如果模型存在兩個正平衡點E1=(P1,Z1)和E2=(P2,Z2)，則在(2)中平衡點E2=(P2,Z2)是一致漸進穩(wěn)定的。

證明在正平衡點E2=(P2,Z2)處對模型(2)進行線性化可得

對任意的i(i=0,1,2,…),Xi在算子Γ下是不變的，λi是這個算子在Xi上的特征值,當且僅當它是矩陣，

(7)

(tr(Hi))2-4det(Hi)≤0,

則

因為tr(Hi)<0且det(Hi)>0，如果

(tr(Hi))2-4det(Hi)>0，

則

其中C的取值不依賴于i。

證明由文獻[6], 定義Lyapunov函數(shù)

V2=?ΩV1(P,Z)dΩ,

對V2關(guān)于時間t求微分可得

由格林公式可得

其中

且

如果條件

接下來，將在如上分析的基礎上進一步研究系統(tǒng)的分支情況。由引理3可知當K2≥m且r1/(r2+β2)

下面分析在交叉擴散的影響下，系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化情況。

定理4如果正平衡點E3=(P3,Z3)在模型(1)中是局部漸進穩(wěn)定的，則當

時，模型(2)是穩(wěn)定的，當

時，發(fā)生圖靈失穩(wěn)，其中，

是模型(1)在平衡點E3=(P3,Z3)處的雅克比矩陣。

證明模型(2)在平衡點E3=(P3,Z3)處的線性化形式為

(8)

其中，P=P3+p,Z=Z3+z, (p,z)是(P,Z)在正平衡點E3=(P3,Z3)處的微小擾動。

將方程(8)的解展開為傅里葉級數(shù)

(9)

其中，k是解的波數(shù)，可得

(10)

因此，得到特征方程

λ2-trk(λk)+Δk=0

其中，

trk=a11+a22-k2(D11+D22)，

Δk=det(JEe1)-k2(a11D22+a22D11-D12a21-D21a12)+k4(D11D22-D12D21)。

當條件trk>0或者Δk<0中的一個成立時，模型(2)將發(fā)生圖靈失穩(wěn)。根據(jù)已知條件分析可知，trk<0已經(jīng)成立，因此當且僅當條件Δk<0成立時，模型(2)才會發(fā)生失穩(wěn)。因此

det(JEe1)-k2(a11D22+a22D11-D12a21-D21a12)+k4(D11D22-D12D21)<0。

定義

F(k2)=k4(D11D22-D12D21)-k2(a11D22+a22D11-D12a21-D21a12)+det(JEe1),

因而此時對應的F(k2)的最小值為

(11)

此即為失穩(wěn)發(fā)生的條件。

3 結(jié)論

分析顯示系統(tǒng)正平衡點處不僅存在局部穩(wěn)定性，而且在某些特定條件范圍內(nèi)還是全局穩(wěn)定的。在考慮擴散影響后，模型的穩(wěn)定性發(fā)生了顯著的變化。從分析結(jié)果可以看出，交叉擴散在某些特定范圍內(nèi)仍然可以保證模型的全局性質(zhì)。但對于局部穩(wěn)定的平衡點E3=(P3,Z3),在自擴散和交叉擴散共同作用下的穩(wěn)定性發(fā)生了顯著變化，會導致圖靈失穩(wěn)的發(fā)生。