形如(a2n+1)的孤立數(shù)

華 程

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

0 引言及主要結(jié)論

對于正整數(shù)n, 設(shè)σ(n)是n的所有不同的正因數(shù)之和。 如果兩個(gè)正整數(shù)a和b滿足

σ(a)=σ(b)=a+b，

(1)

則稱(a,b)是一對親和數(shù)。一個(gè)相反的問題是：如果對于給定的a，不存在任何正整數(shù)b適合(1)式，則稱a是一個(gè)孤立數(shù)(anti-sociable number)。筆者猜測：任何奇數(shù)都是孤立數(shù)。

本文給出了如下結(jié)論。

定理1對任意正整數(shù)n，當(dāng)13≤a≤31，2a時(shí)，E(a,n)都是孤立數(shù)。

1 關(guān)鍵性引理

引理1素?cái)?shù)都是孤立數(shù)。

證明設(shè)p是素?cái)?shù)。 如果p不是孤立數(shù),則有正整數(shù)b可使

σ(p)=σ(b)=p+b。

由于σ(p)=p+1,可知b=1。 而σ(1)=1≠p+1,矛盾，故p是孤立數(shù)。

引理2對任意正整數(shù)m，有σ(m)φ(m)≤m2。

引理3[5]設(shè)x,y是互素的正整數(shù)，若素?cái)?shù)p滿足p∣(x2n+y2n)，則p=2或p≡1(mod 2n+1)。

eγ=1.781 072 417 990 198。

2 定理1的證明

由于E(5,n)是孤立數(shù)，故E(25,n)都是孤立數(shù)。

假定E(a,n)(13≤a≤31，2a，a≠25)不是孤立數(shù)，則存在正整數(shù)m滿足(1)，即有

σ(E(a,n))=σ(m)=E(a,n)+m。

(2)

先證明n=1,2,3,4時(shí)，E(a,n)都是孤立數(shù)。

1)a=13時(shí)，由E(13,2)=14 281，E(13,3)=407 865 361為素?cái)?shù)及引理1知，E(13,2)，E(13,3)是孤立數(shù)； 由E(13,1)=5·17知，σ(E(13,1))=108，m=23，σ(m)=24，σ(E(13,1))≠σ(m)，故E(13,1)是孤立數(shù)；由E(13,4)=2 657·441 281·283 763 713知，σ(E(13,4))=332 834 279 543 502 984，m=11·307·373·100 010 203，σ(m)=138 244 505 030 016，σ(E(13,4))≠σ(m)，故E(13,4)是孤立數(shù)。

2)a=15時(shí)，由E(15,1)=113為素?cái)?shù)及引理1知，E(15,1)是孤立數(shù)； 由E(15,2)=17·1 489知，σ(E(15,2))=26 820，m=11·137，σ(m)=1 656，σ(E(15,2))≠σ(m)，故E(15,2)是孤立數(shù)；由E(15,3)=7 121·179 953知，σ(E(15,3))=1 281 632 388，m=52·7·1 069，σ(m)=265 360，σ(E(15,3))≠σ(m)，故E(15,3)是孤立數(shù)；由E(15,4)=257·12 779 004 583 099 009知，σ(E(15,4))=3 296 983 182 439 544 580，m=2 927·38 737·112 706 333，σ(m)=12 783 700 605 888 576，σ(E(15,4))≠σ(m)，故E(15,4)是孤立數(shù)。

3)a=17時(shí)，由E(17,2)=41 761為素?cái)?shù)及引理1知，E(17,2)是孤立數(shù)； 由E(17,1)=5·29知，σ(E(17,1))=180，m=5·7，σ(m)=48，σ(E(17,1))≠σ(m)，故E(17,1)是孤立數(shù)；由E(17,3)=18 913·184 417知，σ(E(17,3))=3 488 082 052，m=3·67 777，σ(m)=271 112，σ(E(17,3))≠σ(m)，故E(17,3)是孤立數(shù)；由E(17,4)=257·1 801 601·52 548 582 913知，σ(E(17,4))=24 425 281 075 357 282 824，m=7 307·148 303·87 376 123，σ(m)=94 698 735 293 530 368，σ(E(17,4))≠σ(m)，故E(17,4)是孤立數(shù)。

4)a=19時(shí)，由E(19,1)=181為素?cái)?shù)及引理1知，E(19,1)是孤立數(shù)； 由E(19,2)=17·3 833知，σ(E(19,2))=69 012，m=3 851，σ(m)=3 852，σ(E(19,2))≠σ(m)，故E(19,2)是孤立數(shù)；由E(19,3)=15 073·563 377知，σ(E(19,3))=8 492 359 972，m=3·192 817，σ(m)=771 272，σ(E(19,3))≠σ(m)，故E(19,3)是孤立數(shù)；由E(19,4)=97·1 486 811 410 142 377 153知，σ(E(19,4))=145 707 518 193 952 961 092，m=3·25 583·19 372 388 045 999，σ(m)=1 982 492 703 075 456 000，σ(E(19,4))≠σ(m)，故E(19,4)是孤立數(shù)。

5)a=21時(shí)，由E(21,2)=97 241為素?cái)?shù)及引理1知，E(21,2)是孤立數(shù)； 由E(21,1)=13·17知，σ(E(21,1))=252，m=31，σ(m)=32，σ(E(21,1))≠σ(m)，故E(21,1)是孤立數(shù)；由E(21,3)=62 897·300 673知，σ(E(21,3))=18 911 793 252，m=13·27 967，σ(m)=391 552，σ(E(21,3))≠σ(m)，故E(21,3)是孤立數(shù)；由E(21,4)=1 217·2 689·31 873·6 857 635 489知，σ(E(21,4))=716 160 780 055 575 229 200，m=112·73·2 230 219·44 490 157，σ(m)=976 551 192 999 987 920，σ(E(21,4))≠σ(m)，故E(21,4)是孤立數(shù)。

6)a=23時(shí)，由E(23,2)=139 921為素?cái)?shù)及引理1知，E(23,2)是孤立數(shù)； 由E(23,1)=5·53知，σ(E(23,1))=324，m=59，σ(m)=60，σ(E(23,1))≠σ(m)，故E(23,1)是孤立數(shù)；由E(23,3)=17·3 697·623 009知，σ(E(23,3))=41 470 037 640，m=13·178 041 923，σ(m)=2 492 586 936,σ(E(23,3))≠σ(m),故E(23,3)是孤立數(shù)；由E(23,4)=193·15 887 591 750 468 908 417知，σ(E(23,4))=3 082 192 799 590 968 233 092，m=32·1 625 153·1 086 228 787 243，σ(m)=22 948 757 760 561 562 488，σ(E(23,4))≠σ(m)，故E(23,4)是孤立數(shù)。

7)a=27時(shí)，由E(27,1)=5·73知，σ(E(27,1))=444，m=79，σ(m)=80，σ(E(27,1))≠σ(m)，故E(27,1)是孤立數(shù)；由E(27,2)=41·6 481知，σ(E(27,2))=272 244，m=11·593，σ(m)=7 128，σ(E(27,2))≠σ(m)，故E(27,2)是孤立數(shù)；由E(27,3)=17·97·193·577·769知，σ(E(27,3))=152 306 652 960，m=17·97·6 726 431，σ(m)=11 865 426 048，σ(E(27,3))≠σ(m)，故E(27,3)是孤立數(shù)；由E(27,4)=76 801·21 523 361·24 127 552 321知，σ(E(27,4))=39 883 742 699 152 216 808 328，m=52 189·9 986 026 096 723，σ(m)=521 170 701 988 025 560，σ(E(27,4))≠σ(m)，故E(27,4)是孤立數(shù)。

8)a=29時(shí)，由E(29,1)=421，E(29,2)=353 641，E(29,4)=125 123 236 840 173 674 393 761為素?cái)?shù)及引理1知，E(29,1)，E(29,2)，E(29,4)是孤立數(shù)；由E(29,3)=17·26 209·561 377知，σ(E(29,3))=264 846 912 840，m=7 583·1 941 673，σ(m)=14 725 655 616，σ(E(29,3))≠σ(m)，故E(29,3)是孤立數(shù)。

9)a=31時(shí)，由E(31,1)=13·37知，σ(E(31,1))=532，m=3·17，σ(m)=72，σ(E(31,1))≠σ(m)，故E(31,1)是孤立數(shù)；由E(31,2)=409·1 129知，σ(E(31,2))=463 300，m=34·19，σ(m)=800，σ(E(31,2))≠σ(m)，故E(31,2)是孤立數(shù)；由E(31,3)=17·25 085 030 513知，σ(E(31,3))=451 530 549 252，m=11·59·38 651 819，σ(m)=27 829 310 400，σ(E(31,3))≠σ(m)，故E(31,3)是孤立數(shù)；由E(31,4)=1 889·1 347 329·6 139 297·23 277 313知，σ(E(31,4))=363 904 447 727 903 776 016 400，m=192 886 854 311 144 102 159，σ(m)=192 886 854 311 144 102 160，σ(E(31,4))≠σ(m)，故E(31,4)是孤立數(shù)。

綜上，當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，E(a,n)都是孤立數(shù)。

E(a,n)≥p1p2…ps>(2n+1+1)s。

(3)

由于n≥5，故由(3)式及引理4可得

(4)

再由(2)式及引理2、引理5，可得

(5)

又pi≡1(mod 2n+1)，pi≥2n+1i+1,i=1,2,…,s，代入(5)式，根據(jù)引理6，并結(jié)合(4)式，有

(6)

由于254>e40，所以log logm>log 40>3.6，根據(jù)引理2、引理7，得

(7)

由(6)式、(7)式可得

2n+2<3(1+nlog 2)(1.79log logm+0.7)。

(8)

(9)

結(jié)合(8)(9)兩式得

2n+2<3(1+nlog 2)(1.79log(5·2n-3)+1.79log log 2+0.7)。

(10)

當(dāng)n≥5時(shí)，(10)式不能成立(事實(shí)上，n=5時(shí)，左邊為128，右邊為121.92；n>5時(shí)，指數(shù)比對數(shù)增加更快)。因此，E(a,n)在13≤a≤31，2|/a時(shí)都是孤立數(shù)。定理得證。