非線性隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性

陳世明,黎力超

(華東交通大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,江西 南昌 330013)

1 引言

近年來,多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制在多飛行器集結(jié)[1]、智能電 網(wǎng)[2]、多機(jī)器 人協(xié)同編隊[3]、傳感器 網(wǎng)絡(luò)[4]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.一致性是協(xié)同控制的基礎(chǔ),通常指的是多智能體系統(tǒng)中所有智能體的狀態(tài)最終漸近收斂于一個相同的值.

在實際工程應(yīng)用中,尤其在要求較高精度和較快收斂速度的控制問題上,通常需要在有限時間內(nèi)達(dá)到收斂.文獻(xiàn) [5–6]研究了非理想環(huán)境下多智能體系統(tǒng)有限時間一致性.但是,若系統(tǒng)初始狀態(tài)未知時,無法計算收斂時間的上界值.為排除系統(tǒng)初始狀態(tài)對收斂時間的影響,文獻(xiàn) [7–11]解決了帶有非線性動力學(xué)和不確定擾動的多智能體系統(tǒng)固定時間一致性問題,使得系統(tǒng)全局穩(wěn)定收斂時間與初始狀態(tài)無關(guān).文獻(xiàn) [10]基于文獻(xiàn) [9]做出改進(jìn),在不使用速度信息的前提下,使用狀態(tài)觀測器利用輸出信息估計狀態(tài)信息,解決固定時間領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題.文獻(xiàn) [11]考慮了更為一般的非線性模型,實現(xiàn)了固定時間一致性,為了減少能量損耗,引入事件觸發(fā)控制和間歇通信機(jī)制,但系統(tǒng)無法按照期望構(gòu)型收斂.

結(jié)合工程實踐,系統(tǒng)不可避免受通信能力的制約或外界不確定隨機(jī)因素的干擾[12].故由隨機(jī)擾動、隨機(jī)切換拓?fù)涞纫蛩貥?gòu)成的隨機(jī)多智能體系統(tǒng)受到了廣泛關(guān)注[12–23].文獻(xiàn) [13–18]研究了線性隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的平均一致性問題.文獻(xiàn) [13–14]研究了固定拓?fù)湎码S機(jī)多智能體一致性問題,分別給出了無向拓?fù)浜陀邢?拓?fù)鋵崿F(xiàn)均方一致的充要條件.文獻(xiàn) [15–18]研究了切換拓?fù)湎码S機(jī)多智能體一致性問題,系統(tǒng)中乘性噪聲的強(qiáng)度與智能體之間的狀態(tài)差成正比.文獻(xiàn) [17]指出隨機(jī)多智能體系統(tǒng)只有在適當(dāng)?shù)脑肼晱?qiáng)度下,才能達(dá)到一致.文獻(xiàn) [18]設(shè)計了一種新的帶有乘性噪聲的一致性協(xié)議,在該控制協(xié)議下,收斂速度取決于Laplacian矩陣第二小特征值.文獻(xiàn) [19]研究了一類具有不確定非線性環(huán)節(jié)的隨機(jī)多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題.文獻(xiàn) [20]在文獻(xiàn) [18]的基礎(chǔ)上,研究了高階隨機(jī)多智能體系統(tǒng)p–階矩穩(wěn)定問題,通過遞推法設(shè)計了新型的非線性分布式虛擬控制器,使得每個智能體設(shè)計的控制器只依賴于其自身狀態(tài)變量和相鄰多智能體的輸出,適用于更廣泛的多智能體系統(tǒng).

結(jié)合固定時間一致性的優(yōu)勢,文獻(xiàn) [21]研究了隨機(jī)多智能體系統(tǒng)固定時間一致性,提出了固定時間概率穩(wěn)定的具體定義,并導(dǎo)出了多智能體系統(tǒng)收斂時間的上界值.文獻(xiàn) [22]基于文獻(xiàn) [21]討論了Lyapunov函數(shù)有界和無界兩種情況,給出了相應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)固定時間一致性判據(jù)定理.文獻(xiàn) [23]在文獻(xiàn) [22]基礎(chǔ)上分別研究了固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)湎码S機(jī)系統(tǒng)的固定時間一致性,首先分析了控制協(xié)議中參數(shù)選擇對收斂速度的影響.隨后討論了不同的噪聲強(qiáng)度對收斂時間的影響,得出結(jié)論,適合的噪聲強(qiáng)度可以加速多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)固定時間一致.

本文在文獻(xiàn) [22]和文獻(xiàn) [23]的基礎(chǔ)上,分別討論了固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)湎路蔷€性隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的固定時 間一致 性的問 題,基 于代 數(shù)圖論、隨 機(jī)Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了系統(tǒng)滿足固定時間穩(wěn)定的充分條件和與初始狀態(tài)值無關(guān)的收斂時間的上界值.基于文獻(xiàn) [22]本文將通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推廣至切換拓?fù)?控制協(xié)議更具實用性.相較于文獻(xiàn) [23]切換拓?fù)渥訄D的并集必須是完全圖,本文只需滿足連通條件;同時考慮了系統(tǒng)中有非線性環(huán)節(jié),模型更具一般性,更貼近于實際工程應(yīng)用.

2 預(yù)備知識及問題描述

2.1 代數(shù)圖論

智能體信息交流可用圖G=(V,E,A)表示,V={v1,v2,···,vN}表示N個智能體的非空點集,E ?V × V表示智能體集合的邊集.在無向圖中,定義A=[aij]N×N為加權(quán)鄰接矩陣,對角線元素aii=0,若(vi,vj)=(vj,vi)∈E,則aij>0,反之a(chǎn)ij=0.定義度矩陣D=diag{d1,d2,···,dN},其中圖G的Laplacian矩陣可表示為L=[lij]N×N=D?A,0是L的一個特征值,其余特征值均有正實部,有λmin=λ1≤λ2≤···≤λN=λmax.存在非零向量x ∈RN滿足:,λ2被稱為代數(shù)連通度.

引理1[22]考慮n維隨機(jī)微分方程滿足如下形式:

這里:x ∈Rn是狀態(tài)向量,W(t)表示m維的獨立布朗運動,g:Rn→Rn和h:Rn→Rn×m是連續(xù)函數(shù)且滿足g(0)=h(0)=0,對于任意函數(shù)V:Rn×R+→R+,定義相關(guān)算子LV如下:

如果存在一個連續(xù)徑向無界函數(shù)V:Rn→R+,對于?x ∈Rn算子LV(x)滿足如下形式:

則系統(tǒng)可達(dá)依概率固定時間一致,其中常數(shù)ρ1>0,ρ2>0,0

顯然,E(Γ)滿足0

引理2[8]假設(shè)ω1,ω2,···,ωN≥0,01,則有

引理3[23]對于任意無向圖G(A),存在一個實數(shù)集Π={y1,y2,···,yN} ∈R滿足

其中?(xj,xi)=??(xi,xj),i,j ∈N,i=j.

2.2 問題描述

N個智能體組成的非線性多智能體系統(tǒng),智能體動力學(xué)模型可表示為

其中:f:R+×R→R為非線性函數(shù),滿足如下條件:

k為任意常數(shù),xi(t)∈R表示智能體i的狀態(tài),定義向量x(t)=[x1(t)x2(t)···xN(t)]T∈RN,ui(t)∈R是系統(tǒng)的控制輸入,系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)=[x1(0)···xN(0)]T∈RN.

定義1[5]引入表示智能體的狀態(tài)平均值,若給定智能體任意狀態(tài)初值xi(0),i=1,2,···,N,有則稱閉環(huán)系統(tǒng)滿足以概率1漸近時間平均一致性.

定義2[22]對于控制輸入ui(t),i=1,2,···,N,若給定智能體任意狀態(tài)初值xi(0),i=1,2,···,N都可得一個與初始狀態(tài)無關(guān)的常數(shù)T,而且E(Γ) ≤T,有

則稱閉環(huán)系統(tǒng)滿足依概率固定時間平均一致性,T被稱為最大全局穩(wěn)定收斂時間.

3 固定拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)的固定時間一致性

考慮多智能體系統(tǒng)(5)在固定拓?fù)湎鹿潭〞r間一致性問題,智能體控制協(xié)議如下:

其中:

0<α <1,k1,k2,k3是正實數(shù),s[k]=sgns|s|k,其中s ∈R,sgn()是符號函數(shù).這里選取的W(t)是在概率空間(Ω,F,{Ft}t>0,P)上的一維布朗運動.σij是智能體i,j之間的噪聲強(qiáng)度,當(dāng)且僅當(dāng)aij>0時,σij>0,反之,σij=0.在同一信道中智能體i,j之間的噪聲強(qiáng)度通常被認(rèn)為是相同的,噪聲強(qiáng)度矩陣Θ=[σij]N×N,滿足Θ=ΘT.aij受隨機(jī)擾動影響可改寫為:aij→ aij(t)=aij+

定義智能體i在t時刻的狀態(tài)誤差

e(t)=[e1(t)e2(t)···eN(t)]T是群分歧向量,根據(jù)式(1)(5)(8)可得型隨機(jī)方程

由式(9)可以轉(zhuǎn)化為誤差動力系統(tǒng)

其中:

圖G(A)和G(Θ)的Laplacian矩陣分別為LA,LΘ,把非線性項線性化,式(11)可改寫為向量形式:

其中:

是常數(shù).

定理1考慮系統(tǒng)(5)在控制協(xié)議(8)作用下滿足如下充分條件:

系統(tǒng)(5)在任何初始條件下均可達(dá)依概率固定時間一致.λmax(LΘ)是矩陣LΘ最大特征值,最大收斂時間滿足:

證考慮如下Lyapunov函數(shù):

微分算子{L}作用在V(t)上,結(jié)合式(11)得

由引理2和引理3,有

結(jié)合式(17)–(18)

同理,根據(jù)引理2對ψ ′(t)第2項變形得

根據(jù)引理2,有

因此

綜上所述,得到LV的上界

顯然,若滿足式(13),則

基于引理1,系統(tǒng)(5)在控制協(xié)議(8)的作用下滿足依概率固定時間平均一致性的全局穩(wěn)定收斂時間的期望E(T1)符合不等式(14).證畢.

4 切換拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)的固定時間一致性

本節(jié)考慮切換拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)(5)的固定時間一致性,令Λ={G1,G2,···,Gn}是有限個無向連通圖的集合,Gr=G(Vr,Er,Ar),切換信號δ(t):[0,+∞)→ IΛ={1,2,···,n},n ∈R+.智能體控制協(xié)議如下:

定理2假設(shè)Gr是無向連通圖,考慮具有切換拓?fù)銰r的系統(tǒng)(5),滿足以下充分條件:

其中:

證因為Gr在任何切換信號δ(t)都是無向連通圖,類似于定理1的證明誤差動力系統(tǒng)可寫成如下形式:

其中

Lyapunov函數(shù) (13) 與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無關(guān),故在切換拓?fù)湎峦瑯舆m用,LV的上界是

當(dāng)滿足式(23)時,有不等式

根據(jù)引理1即可導(dǎo)出式(24),故滿足定理2時,系統(tǒng)(5)可在切換拓?fù)湎聦崿F(xiàn)依概率固定時間一致性.

證畢.

5 仿真分析

考慮8個多智能體組成的系統(tǒng),智能體連接關(guān)系如圖1所示.

圖1 總拓?fù)鋱DFig.1 Total topology

圖1的Laplacian矩陣LA

設(shè)定x(0)=[?3.5? 2.5? 1.5? 1 1 2 3 4].根據(jù)定理1,設(shè)定系統(tǒng)控制參數(shù)選擇α=0.8,η=?0.3,k1=0.4,k2=0.7,σ=1,f(t,xi(t))=?0.3×xi(t),智能體狀態(tài)軌跡如圖2所示.

圖2 固定拓?fù)湎轮悄荏w狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectories of agents under fixed topology

根據(jù)式(14)可以計算出系統(tǒng)在固定拓?fù)湎鹿潭ㄊ諗繒r間的上界E(T1) ≤T1=3.1 s>1.1 s,在控制協(xié)議(8)作用下,系統(tǒng)依概率達(dá)到固定時間一致.

圖3給出的是智能體輸入曲線,可以看出智能體在達(dá)到固定時間一致后保持輸入穩(wěn)定.圖4給出的是隨機(jī)噪聲變化圖.

考慮8個智能體的切換拓?fù)?他們在一個切換周期下的拓?fù)浼夕溉鐖D5 所示.圖Gr的代數(shù)連通度λ2(Gr)=0.20155.

圖3 固定拓?fù)湎轮悄荏w控制輸入Fig.3 Control input of agents under fixed topology

圖4 隨機(jī)噪聲變化圖Fig.4 Stochastic noise variation diagram

圖5 切換拓?fù)鋱DFig.5 Switching topologies

根據(jù)定理2,設(shè)置參數(shù)如下:選擇

設(shè)定駐留時間τ為0.01 s,0.1 s和0.5 s,選取系統(tǒng)初始狀 態(tài)x(0)=[?4? 3? 2? 1 1 2 3 4].根據(jù)式(24)可以計算出系統(tǒng)在切換拓?fù)湎鹿潭ㄊ諗繒r間的上 界E(T2) ≤T2=3.28 s.τ為0.01 s,0.1 s和0.5 s時,智能體狀態(tài)軌跡分別如圖6上、中、下3個部分所示,系統(tǒng)實際收斂時間均小于最大值,故系統(tǒng)達(dá)到依概率固定時間一致.圖7是智能體輸入曲線,可以看出智能體在達(dá)到固定時間一致后保持輸入穩(wěn)定.

圖6 切換拓?fù)湎轮悄荏w狀態(tài)軌跡Fig.6 State trajectories of agents under switching topologies

圖7 切換拓?fù)湎轮悄荏w控制輸入Fig.7 Control input of agents under switching topologies

6 結(jié)論

本文研究了在固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)湎?帶有自身非線性動力學(xué)的隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性問題.首先針對固定拓?fù)涮岢隽艘环N控制協(xié)議,結(jié)合隨機(jī)Lyapunov穩(wěn)定性理論和代數(shù)圖論給出了實現(xiàn)固定時間一致性的充分條件并導(dǎo)出收斂時間的上界值,進(jìn)而把結(jié)論推廣至切換拓?fù)?本文切換拓?fù)渥訄D的并集只需是連通圖,研究對象是帶有非線性項的多智能體系統(tǒng),模型更具一般性.下一步對基于事件觸發(fā)非線性隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性展開研究.