基于Copula函數(shù)的邊坡可靠度高效分析方法

方 旭，馮曉波

（1.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430072；2.武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430072）

0 引 言

近年來(lái)，基于可靠度理論的分析和設(shè)計(jì)方法在巖土邊坡工程的安全性評(píng)價(jià)中越來(lái)越受到重視。在英美等一些國(guó)家，巖土設(shè)計(jì)規(guī)范正漸漸向可靠度設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變［1，2］。陳祖煜等［3］認(rèn)為，我國(guó)巖土工程分析與設(shè)計(jì)也應(yīng)往可靠度分析方向發(fā)展。作為一種常見(jiàn)的巖土結(jié)構(gòu)物，邊坡的穩(wěn)定性分析是巖土工程中一個(gè)重要的工作。邊坡巖土性質(zhì)多變，其各部分巖土參數(shù)（比如巖土抗剪強(qiáng)度參數(shù)）存在不確定性。傳統(tǒng)的確定性分析將土體參數(shù)視為唯一確定值［4］，以有限元、極限平衡法等方法計(jì)算得到單一的邊坡安全系數(shù)為依據(jù)進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性的評(píng)估，忽略了測(cè)量誤差以及土體不均勻性等不確定性因素，導(dǎo)致分析結(jié)果不合理。因此，應(yīng)對(duì)巖土邊坡進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性可靠度分析［5，6］。

對(duì)邊坡穩(wěn)定進(jìn)行可靠度分析，往往需要事先獲得巖土體物理力學(xué)參數(shù)的概率分布函數(shù)。同時(shí)，已有研究表明，巖土體物理力學(xué)參數(shù)間具有明顯的相關(guān)關(guān)系，且有著不同的相關(guān)結(jié)構(gòu)。如巖土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)間具有很強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)負(fù)相關(guān)性［7-9］，土體剪切應(yīng)力參數(shù)間也有負(fù)相關(guān)性。為了計(jì)算簡(jiǎn)便，很多情況下涉及相關(guān)變量的可靠度計(jì)算只依靠參數(shù)的邊緣分布進(jìn)行可靠度分析，忽略了參數(shù)間的相關(guān)性。文獻(xiàn)［7］-［9］研究發(fā)現(xiàn)巖土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)間負(fù)相關(guān)性對(duì)邊坡穩(wěn)定性有很大影響，忽略這種負(fù)相關(guān)性將會(huì)低估邊坡可靠度，導(dǎo)致邊坡設(shè)計(jì)方案不經(jīng)濟(jì)。也有研究考慮了相關(guān)性，但是將相關(guān)結(jié)構(gòu)默認(rèn)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)，運(yùn)用Nataf變換解決相關(guān)非正態(tài)變量的獨(dú)立化問(wèn)題，與實(shí)際上參數(shù)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可能并不符合，這樣取得的分析結(jié)果不準(zhǔn)確。

近年來(lái)，表征參數(shù)間相關(guān)性的Copula 函數(shù)在巖土工程可靠度研究領(lǐng)域被廣泛用于構(gòu)建含多種相關(guān)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量間的聯(lián)合概率分布函數(shù)。如唐小松［10］等學(xué)者采用Copula 函數(shù)表征了抗剪強(qiáng)度參數(shù)間的相關(guān)性以及構(gòu)建了基樁荷載位移雙曲線參數(shù)間的聯(lián)合概率模型。在這一情形下，需要發(fā)展基于Copula函數(shù)構(gòu)建了參數(shù)間的聯(lián)合概率分布模型的邊坡可靠度分析方法。目前的研究中，極少有學(xué)者研究含多種相關(guān)結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的邊坡可靠度分析方法。僅唐小松［10］等在應(yīng)用Copula 函數(shù)表征參數(shù)間相關(guān)性后，運(yùn)用直接積分法或者直接蒙特卡洛方法來(lái)計(jì)算邊坡可靠度。直接積分法在遇到高維且具有復(fù)雜表達(dá)式的可靠度問(wèn)題時(shí)，失效概率計(jì)算將不能實(shí)現(xiàn)［10］。直接蒙特卡洛方法效率低，尤其在小失效概率水平時(shí)，計(jì)算非常困難。因此，亟須發(fā)展考慮了變量間的多種相關(guān)結(jié)構(gòu)的邊坡可靠度高效分析方法。

常用的蒙特卡洛模擬方法除了直接蒙特卡洛方法（MCS）外還有蒙特卡洛重要抽樣法（ISM）以及子集模擬方法（SS）。蒙特卡洛重要抽樣法是在直接蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)上通過(guò)改變抽樣中心令抽樣樣本更大概率地落入失效域中，從而減少抽樣數(shù)量，提高計(jì)算效率；子集模擬是在直接蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)上通過(guò)引入合理的中間失效域，將小失效概率轉(zhuǎn)換為一系列容易實(shí)現(xiàn)的較大條件失效概率的乘積，逐層篩選，大大減少了抽樣數(shù)目。而子集模擬方法在巖土邊坡工程的應(yīng)用中很少［11］，僅曹子君［12］做了基于子集模擬方法的邊坡可靠度分析，且文獻(xiàn)［12］中沒(méi)有考慮巖土體參數(shù)間的相關(guān)性和相關(guān)結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)［12］中用Nataf解決非正態(tài)相關(guān)變量的變換問(wèn)題，將變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)默認(rèn)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)，并沒(méi)有考慮參數(shù)間不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)結(jié)果的影響。本文在采用Copula 函數(shù)表征參數(shù)間相關(guān)性的基礎(chǔ)上，將重要抽樣法和子集模擬方法用于含多種相關(guān)結(jié)構(gòu)相關(guān)隨機(jī)變量的邊坡可靠分析，提出了高效地實(shí)施含有相關(guān)結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的邊坡可靠度計(jì)算的方法。

1 基于Copula 函數(shù)的邊坡可靠度直接蒙特卡洛方法和高效分析方法

1.1 基于Copula 函數(shù)的邊坡巖土體參數(shù)聯(lián)合概率分布模型

Copula 理論最早由Sklar 于1959年提出。Copula 函數(shù)是將參數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)與其邊緣函數(shù)聯(lián)結(jié)在一起的函數(shù)，不受邊緣分布類型的影響，可以構(gòu)造出具有任意邊緣分布類型和任意相關(guān)結(jié)構(gòu)的聯(lián)合分布函數(shù)。巖土邊坡工程參數(shù)常常是二維參數(shù)，如抗剪強(qiáng)度參數(shù)。所以本文以二維參數(shù)為例運(yùn)用Copula 函數(shù)構(gòu)造巖土體參數(shù)的聯(lián)合概率分布模型。根據(jù)Copula 理論，參數(shù)X1和X2的聯(lián)合概率分布函數(shù)F（x1，x2）及聯(lián)合概率密度函數(shù)f（x1，x2）分別為：

式中：u1=F1（x1）和u2=F2（x2）分別是參數(shù)X1和X2的邊緣分布函數(shù)；f1（x1）和f2（x2）分別是參數(shù)X1和X2的邊緣密度函數(shù)；C（u1，u2；θ）和D（u1，u2；θ）分別是Copula 函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)；θ為Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。

由式（1）和（2），已知參數(shù)X1和X2的邊緣分布和參數(shù)間的相關(guān)性就可以構(gòu)造參數(shù)X1和X2的聯(lián)合概率分布模型。由于巖土體參數(shù)間有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)負(fù)相關(guān)性，而且相關(guān)結(jié)構(gòu)基本是對(duì)稱的，本文依據(jù)這種特性選取了4 種比較適合描述巖土體參數(shù)間相關(guān)關(guān)系的4 種Copula 函數(shù)：Gaussian Copula、Frank Copula、No.16 Copula和Plackett Copula。其中Gaussian Copula 所表征的相關(guān)結(jié)構(gòu)即為常用的二維正態(tài)或者Nataf 變換中隱含的高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)。有關(guān)這4種Copula函數(shù)的概率分布函數(shù)和參數(shù)取值范圍參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］。

由上可知，采用Copula 函數(shù)可以表征邊坡巖土體參數(shù)間的任意相關(guān)結(jié)構(gòu)（包括采用Gaussian Copula 構(gòu)建的高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)和采用其他類型Copula 函數(shù)構(gòu)建的非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)），從而建立起巖土體參數(shù)的聯(lián)合概率模型。接下來(lái)進(jìn)行可靠度分析的關(guān)鍵，就是選擇合適的可靠度分析方法。本文重點(diǎn)提出和上述概率模型結(jié)合的蒙特卡洛重要抽樣方法（第1.3 節(jié)）和子集模擬方法（第1.4 節(jié)）。同時(shí)介紹了已有的直接蒙特卡洛方法（第1.2節(jié)），以供和其余兩種方法對(duì)比分析。

1.2 基于Copula函數(shù)的直接蒙特卡洛方法

在進(jìn)行簡(jiǎn)單失效模式的邊坡可靠度計(jì)算時(shí)，直接蒙特卡羅模擬方法能得到精度較高的結(jié)果。直接蒙特卡洛方法的計(jì)算過(guò)程如下面所敘述的3個(gè)步驟：首先，模擬出服從給定Copula函數(shù)構(gòu)造的參數(shù)聯(lián)合分布模型的巖土體參數(shù)的N個(gè)樣本點(diǎn)；然后，將上述模擬的樣本點(diǎn)代入邊坡失效模式中計(jì)算相應(yīng)的功能函數(shù)響應(yīng)值；最后，統(tǒng)計(jì)失效樣本數(shù)目L從而得到失效概率的無(wú)偏估計(jì)值Pf=L/N。為了滿足計(jì)算的失效概率變異系數(shù)小于10%，一般樣本數(shù)量需大于100/Pf，因此當(dāng)失效概率Pf很小時(shí)，需要的抽樣樣本數(shù)量N很大，計(jì)算效率很低。

1.3 基于Copula函數(shù)的蒙特卡洛重要抽樣方法

直接蒙特卡洛方法編程簡(jiǎn)單，概念清晰，容易實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于低失效概率邊坡可靠度分析問(wèn)題，其計(jì)算效率非常低［13］。很多研究人員致力于提高蒙特卡洛方法的抽樣效率，提出了重要抽樣法。其基本思想是提高隨機(jī)樣本出現(xiàn)在貢獻(xiàn)率較大的“重要區(qū)域”的頻率，從而提高抽樣效率。基于這個(gè)原理我們可以將隨機(jī)抽樣密度中心取在設(shè)計(jì)點(diǎn)上，因?yàn)樵O(shè)計(jì)點(diǎn)是失效邊界上對(duì)失效概率貢獻(xiàn)最大的點(diǎn)［12］。而設(shè)計(jì)點(diǎn)可由一次可靠度方法求得。本文借鑒這一方法，將其應(yīng)用于采用Copula 函數(shù)表征了參數(shù)間相關(guān)結(jié)構(gòu)的邊坡可靠分析中。取正態(tài)分布密度函數(shù)px為重要抽樣密度函數(shù)，以設(shè)計(jì)點(diǎn)為抽樣中心，對(duì)參數(shù)X抽樣，得到樣本Xi=（xi1，xi2，…，xin）（i= 1，2，…，N），則Pf的無(wú)偏估計(jì)值為：

式中：I(x)為示性函數(shù)，當(dāng)x＞0 時(shí)，I（x）=1；當(dāng)x≤0 時(shí)，I（x）=0；fX（X）為參數(shù)X的聯(lián)合分布密度函數(shù)，結(jié)合Copula 函數(shù)，可由基于Copula 函數(shù)構(gòu)造的參數(shù)間聯(lián)合密度函數(shù)［即式（2）］代替，將其帶入式（3）中即可求得失效概率。

1.4 基于Copula函數(shù)的子集模擬方法

子集模擬方法最早由Au 和Beck［14］提出，通過(guò)引入中間失效事件，將小失效概率用一系列較大的條件失效概率的乘積表示。子集模擬方法可以一層一層快速逼近功能函數(shù)失效域，快速尋找最終失效域，大大降低隨機(jī)抽樣數(shù)目，從而提高了可靠度分析效率，抽樣過(guò)程不涉及設(shè)計(jì)點(diǎn)的尋找，相比于重要抽樣法，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率，且不會(huì)產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)難，可以更高效率地分析小失效概率巖土邊坡穩(wěn)定性?？紤]到邊坡巖土體參數(shù)間含有相關(guān)性，且相關(guān)結(jié)構(gòu)類型不定，本文提出基于Copula函數(shù)的子集模擬方法來(lái)進(jìn)行邊坡可靠度分析。子集模擬概念及實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

設(shè)巖土邊坡失效臨界響應(yīng)值為b，失效域F定義為F=｛g≤b｝。使中間事件滿足嵌套關(guān)系：F1?F2?…?Fm=F，那么目標(biāo)失效概率可以表示為：

選取中間事件Fi=｛g≤bi，i=1，2…m｝，m為中間事件總數(shù)，中間事件條件概率P(Fi|Fi-1)足夠大，即可以保證高效地模擬PF。設(shè)條件失效概率為P0=P（Fi|Fi-1），取P0=0.1，那么由式（4）可得：

可以看出，當(dāng)PF為10-4量級(jí)的時(shí)候，只需要四輪抽樣，每輪抽樣100個(gè)即可達(dá)到目標(biāo)概率，而直接蒙特卡洛方法需要105個(gè)抽樣樣本才能達(dá)到目標(biāo)失效概率，子集模擬極大提高了抽樣模擬效率。與Copula函數(shù)結(jié)合，該方法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

（1）通過(guò)蒙特卡洛隨機(jī)抽樣得到n組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量V=｛（V1i，V2i），i=1，2，…，n｝，通過(guò)反變換，利用Copula 函數(shù)表征的參數(shù)概率聯(lián)合分布模型，將V變換為n組服從給定Copula 函數(shù)相關(guān)結(jié)構(gòu)的樣本X=｛（X1i，X2i），i=1，2，…，n｝，將X帶入功能函數(shù)g，得到一系列功能函數(shù)響應(yīng)值，并將響應(yīng)值按由小到大排序，取第nP0個(gè)功能函數(shù)相應(yīng)值為中間事件域值bi。前nP0組樣本是落入第一個(gè)失效域F1=｛g≤b1｝的樣本點(diǎn)。失效概率為P（Fi|Fi-1）=P0=0.1。

（2）分別利用Metropolis-Hastings 算法以落在失效域Fi-1中的樣本點(diǎn)Vi-1為“種子”，產(chǎn)生1/P0組新樣本Vi。

（3）通過(guò)步驟（2）產(chǎn)生的nP0/P0=n組樣本V，通過(guò)Copula 函數(shù)構(gòu)造的參數(shù)X1和X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)將V變換為n組符合樣本相關(guān)結(jié)構(gòu)和相關(guān)關(guān)系的樣本X=｛（X1i，X2i），i=1，2，…，n｝帶入功能函數(shù)g計(jì)算功能函數(shù)響應(yīng)值，將功能函數(shù)響應(yīng)值按從小到大排序，以第nP0個(gè)功能函數(shù)值為中間事件閾值bi。

（4）重復(fù)（2）、（3）步，直到第m層有超出nP0個(gè)功能函數(shù)值小于零時(shí)，終止重復(fù)。

（5）統(tǒng)計(jì)第m層落入失效域Fm的樣本組數(shù)NF，則可以計(jì)算出失效概率為PF=（NF/n）P0（m-1）。

2 功能函數(shù)為顯式表達(dá)式的邊坡可靠度分析

本節(jié)將所提的考慮了參數(shù)間相關(guān)結(jié)構(gòu)的高效可靠度分析方法（即重要抽樣法和子集模擬方法）用在功能函數(shù)為顯式表達(dá)式的邊坡。

2.1 邊坡分析模型

以文獻(xiàn)［15］中的一個(gè)功能函數(shù)為顯式的算例進(jìn)行分析，基本資料：邊坡巖體的巖質(zhì)成分為紅色黏土層（SC）、紫紅色矽質(zhì)巖（SQ）以及震旦紀(jì)矽質(zhì)的云巖（SLS），如圖1。該邊坡巖體發(fā)育有一組順坡產(chǎn)出緩傾角節(jié)理，平均產(chǎn)狀為N70oE/SE∠30o，貫通層面程度不高，巖體結(jié)構(gòu)為順坡層狀結(jié)構(gòu)。邊坡巖體節(jié)理與黏土巖層面可能構(gòu)成雙滑面剪切破壞模式，前者為被動(dòng)滑面，后者為主動(dòng)滑面。

圖1 邊坡巖體穩(wěn)定分析簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of slope rock mass analysis

采用剛體極限平衡法計(jì)算邊坡安全系數(shù)FS，據(jù)此可得邊坡穩(wěn)定可靠度分析功能函數(shù)為：

其中：

式中：G1和G2為塊體重量；c1和c2為滑動(dòng)面上的黏聚力；f1和f2為滑動(dòng)面上的摩擦系數(shù)；l1和l2為塊體基面長(zhǎng)度。

將f1、f2、c1、c2、α1、α2視為隨機(jī)變量，其中f1、f2、c1、c2根據(jù)室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，α1和α2根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，服從正態(tài)分布，統(tǒng)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1。確定性參數(shù)取值為：塊體重量G1=46 669 kN，G1=34 274 kN；塊體基面長(zhǎng)度l1=67.2 m，l2=96.8 m；巖體重度γ=27 kN/m3。運(yùn)用本文用所提的方法：基于Copula 函數(shù)的蒙特卡洛重要抽樣法、基于Copula 函數(shù)的子集模擬方法計(jì)算該顯式巖質(zhì)邊坡的失效概率。為了驗(yàn)證所提方法計(jì)算得到的失效概率的準(zhǔn)確性，也采用直接蒙特卡洛方法計(jì)算了該邊坡的失效概率，供對(duì)比分析。用4 種Copula 函數(shù)（Gauss?ian、Frank、No.16 和Plackett）表征相關(guān)性，目的是為了對(duì)比分析參數(shù)間相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)可靠度計(jì)算結(jié)果的影響。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，設(shè)f1和c1及f2和c2兩對(duì)參數(shù)的相關(guān)系數(shù)相同，α1和α2相互獨(dú)立。設(shè)定參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)為-0.5。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表1 邊坡滑動(dòng)面強(qiáng)度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征Tab.1 Statistical characteristics of strength parameters of sliding surface of slope

2.2 邊坡可靠度高效性分析

表2中，以N=1×106次直接蒙特卡洛方法計(jì)算的可靠度指標(biāo)為準(zhǔn)確值，同時(shí)比較了4 種Copula 函數(shù)相關(guān)結(jié)構(gòu)下的3 種可靠度方法。從表2可以看出，同種相關(guān)結(jié)構(gòu)，蒙特卡洛重要抽樣方法誤差小于20%，子集模擬方法誤差小于6%，說(shuō)明了本文所提方法的有效性和準(zhǔn)確性；在模擬效率上，基于Copula 函數(shù)的重要抽樣法只要1×104次就能得到準(zhǔn)確的結(jié)果，效率是直接蒙特卡洛的100倍，是高效的邊坡可靠度分析方法；基于Copula函數(shù)的子集模擬只用了200 次就可以得到相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果，這說(shuō)明在計(jì)算精確度較好時(shí)，子集模擬效率相比直接蒙特卡洛法和蒙特卡洛重要抽樣法有很大提高。

表2 不同可靠度計(jì)算方法的邊坡可靠度結(jié)果Tab.2 Results using different slope reliability methods

2.3 不同相關(guān)結(jié)構(gòu)結(jié)果對(duì)比分析

對(duì)比不同相關(guān)結(jié)構(gòu)的結(jié)果的差異時(shí)，相關(guān)系數(shù)從-0.1 到-0.9 變化，采用最高效的子集模擬方法計(jì)算的結(jié)果作比較，如圖2?？梢钥闯觯舅憷胁捎貌煌珻opula 函數(shù)計(jì)算的失效概率存在差異，這是由于考慮了隨機(jī)變量間不同相關(guān)結(jié)構(gòu)的結(jié)果。No.16 Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率高于其他3 種Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率，其他3種Copula函數(shù)的計(jì)算結(jié)果十分接近。若以No.16 Copula 函數(shù)計(jì)算的結(jié)果為準(zhǔn)確值，Gaussian Copula、Plackett Copula 和Frank Copula 函數(shù)計(jì)算出來(lái)的失效概率偏低，采取這3種Copula函數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行可靠度設(shè)計(jì)會(huì)使設(shè)計(jì)不經(jīng)濟(jì)；若以Gaussian Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率為準(zhǔn)確值，運(yùn)用No.16 Copula 函數(shù)計(jì)算出的失效概率結(jié)果偏高，采取No.16 Copula 函數(shù)方法進(jìn)行可靠度設(shè)計(jì)會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)不安全。因此，運(yùn)用Nataf 變換（即認(rèn)為邊坡巖土體參數(shù)間隱含高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)）的做法可能使得計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，而基于Copula 函數(shù)，可以考慮邊坡巖土體參數(shù)間任意相關(guān)結(jié)構(gòu)，得出更符合實(shí)際的邊坡失效概率。同時(shí)，我們可以看出，該巖土邊坡的失效概率隨著相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值增大而減小，說(shuō)明巖土參數(shù)間的負(fù)相關(guān)性對(duì)巖土邊坡的穩(wěn)定性有積極影響，忽略這種相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致巖土邊坡可靠度設(shè)計(jì)不經(jīng)濟(jì)。

圖2 考慮不同相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)邊坡可靠度的比較（子集模擬計(jì)算結(jié)果）Fig.2 Results of subset simulation considering different related structures（SS results）

3 功能函數(shù)為顯式表達(dá)式的邊坡可靠度分析

上一節(jié)中邊坡的功能函數(shù)為顯式函數(shù)關(guān)系。下面以四川省大崗山水電站左岸邊坡工程為例［10］說(shuō)明本文所提方法在功能函數(shù)為隱式函數(shù)的邊坡可靠度分析中的有效性。

3.1 邊坡分析模型

大崗山水電站位于四川省西部大渡河中游石棉縣境內(nèi)［10］，壩址處控制流域面積達(dá)6.27 萬(wàn)km2，占全流域的81%，多年平均流量1 010 m3/s，是大渡河干流近期開(kāi)發(fā)的大型水電工程之一，電站裝機(jī)容量2 600 MW，最大壩高210 m，電站正常蓄水位1 130 m，總庫(kù)容7.42 億m3.該電站地理位置上處于川滇南北向構(gòu)造帶北段，為北東向、南北向與北西向等多組構(gòu)造的交匯結(jié)合部位。壩區(qū)位于由磨西斷裂、大渡河斷裂和金坪斷裂所切割的黃草山斷塊西側(cè)邊緣，大地構(gòu)造部位屬揚(yáng)子淮臺(tái)地西部二級(jí)構(gòu)造單元康滇地軸范疇。壩區(qū)河谷深切，呈Ω 形嵌入河曲形態(tài)，其新構(gòu)造運(yùn)動(dòng)總體表現(xiàn)為以整體間歇性強(qiáng)烈抬升為主，有作用方向表現(xiàn)為NWW-SEE 向擠壓的區(qū)域構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)。已有測(cè)試結(jié)果顯示，大崗山壩區(qū)應(yīng)力場(chǎng)是自重力和構(gòu)造應(yīng)力疊加的應(yīng)力場(chǎng)，且構(gòu)造應(yīng)力是壩址左岸應(yīng)力場(chǎng)的主要組成部分。該邊坡邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題突出，其中、陡傾角的順坡向節(jié)理裂隙較為發(fā)育，具有卸荷風(fēng)化強(qiáng)烈、高地應(yīng)力以及高地震烈度的特點(diǎn)。在不加固情況下，一點(diǎn)小的外來(lái)荷載，就很可能產(chǎn)生規(guī)模巨大的滑坡和山體變形。大崗山水電站壩址50年超越概率10%基巖水平向加速度為0.251 g，相應(yīng)的地震基本烈度為VIII 度。通過(guò)分析壩區(qū)VII～VII 剖面左岸天然邊坡（見(jiàn)圖3，圖中符號(hào)V2、V1、IV、III1、II 為巖體質(zhì)量分級(jí)），發(fā)現(xiàn)巖脈β28和斷層f68切割邊坡巖體組合成潛在滑動(dòng)體。將巖脈β28的抗剪強(qiáng)度f(wàn)1和c1，斷層f68的抗剪斷強(qiáng)度f(wàn)2和c2視為對(duì)數(shù)邊坡巖體重度為γ=25 kN/m3，左岸邊坡滑動(dòng)面強(qiáng)度參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值見(jiàn)表3。

圖3 壩址區(qū)VII～VII剖面左岸天然邊坡Fig.3 Left natural slope of dam site section VII～VII

表3 左岸邊坡滑動(dòng)面強(qiáng)度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征Tab.3 Statistical characteristics of the strength parameters of the sliding surface of the left bank slope

計(jì)算該邊坡穩(wěn)定性時(shí)考慮3種工況：天然工況（不考慮降雨和地震因素）、降雨工況（地下水位高度取為滑體高度的10%）、VIII度地震工況（計(jì)算中水平向地震加速度為0.251 g）。邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)采用剛體極限平衡法中的剩余推力法計(jì)算，需要反復(fù)迭代才能求得，極限狀態(tài)方程g=FS-1=0，即沒(méi)有顯式表達(dá)式。運(yùn)用本文所提的基于Copula 函數(shù)的蒙特卡洛重要抽樣法和基于Copula 函數(shù)的子集模擬方法計(jì)算該隱式巖質(zhì)邊坡的失效概率。為了驗(yàn)證所提方法計(jì)算得到的失效概率的準(zhǔn)確性，也采用直接蒙特卡洛方法計(jì)算了該邊坡的失效概率，供對(duì)比分析。此外，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)f1和c1及f2和c2兩對(duì)參數(shù)的相關(guān)系數(shù)相同，在對(duì)比不同可靠度計(jì)算方法時(shí)設(shè)定相關(guān)系數(shù)為-0.5 不變，計(jì)算結(jié)果如表4、表5和表6。

3.2 邊坡可靠度高效性分析

由表4、表5和表6所示的任意一種工況的計(jì)算結(jié)果可以看出，以直接蒙特卡洛方法計(jì)算的失效概率為準(zhǔn)確值，同一種Copula 函數(shù)相關(guān)結(jié)構(gòu)條件下，蒙特卡洛重要抽樣方法和子集模擬方法都能得到相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果，絕大部分情況失效概率計(jì)算結(jié)果誤差小于20%，精度最差的為降雨工況時(shí)蒙特卡洛重要抽樣法計(jì)算的結(jié)果，誤差為38.46%，說(shuō)明了本文所提方法處理含隱式功能函數(shù)表達(dá)式的邊坡可靠度問(wèn)題的有效性；在模擬效率上，蒙特卡洛重要抽樣方法相比于直接蒙特卡洛方法，抽樣次數(shù)是其1%，效率很高；而子集模擬方法的抽樣模擬次數(shù)僅需800～2 000 次，相比于蒙特卡洛重要抽樣方法的計(jì)算效率又進(jìn)一步提高。此外，還可以看出，大崗山水電站壩址處左岸邊坡在天然工況下失效概率在考慮幾種相關(guān)結(jié)構(gòu)的情況下最大為4.8×10-4左右，失效風(fēng)險(xiǎn)非常小，在天然狀態(tài)下具有足夠的安全度；而在地震工況下失效概率達(dá)到了0.27，該左岸邊坡非常不安全，有必要對(duì)該左岸邊坡增加錨固措施，防止失效破壞，危及人民生命和財(cái)產(chǎn)安全。

表4 不同方法計(jì)算的可靠度結(jié)果（天然工況）Table.4 Results of different slope reliability methods（Natural condition）

表5 不同方法計(jì)算的可靠度結(jié)果（降雨工況）Table.5 Results of different slope reliability methods（Rainfall condition）

表6 不同方法計(jì)算的可靠度結(jié)果（地震工況）Tab.6 Results of different slope reliability methods（Earthquake condition）

3.3 不同相關(guān)結(jié)構(gòu)結(jié)果對(duì)比分析

同時(shí)為了對(duì)比不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)可靠度分析結(jié)果的影響，在天然工況下，設(shè)定抗剪斷強(qiáng)度參數(shù)f1和c1及f2和c2的相關(guān)系數(shù)從-0.1～-0.9 變化，選取最高效的子集模擬方法的結(jié)果，結(jié)果如圖4。由圖4可以看出，隨著相關(guān)系數(shù)變小，即參數(shù)間的負(fù)相關(guān)性增加，失效概率下降，說(shuō)明巖土體參數(shù)間的負(fù)相關(guān)性對(duì)巖土體穩(wěn)定性有積極作用。此外，不同Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率有著顯著差異。No.16 Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率相比其他3種Copula 函數(shù)的計(jì)算結(jié)果較高，Gaussian Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率偏低。若以Plackett Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率為準(zhǔn)確值，運(yùn)用No.16 Copula 函數(shù)的計(jì)算結(jié)果對(duì)該進(jìn)行邊坡可靠度設(shè)計(jì)，會(huì)造成設(shè)計(jì)方案偏保守，而如果運(yùn)用Gaussian Copula 函數(shù)的計(jì)算結(jié)果作該邊坡可靠度設(shè)計(jì)，會(huì)造成設(shè)計(jì)方案不安全的結(jié)果。因此，運(yùn)用Nataf 變換（即默認(rèn)為Gaussian Copula 表征的相關(guān)性）認(rèn)為邊坡巖土體參數(shù)間隱含高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)的做法會(huì)使得計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，而基于Copula 函數(shù)，可以考慮邊坡巖土體參數(shù)間任意相關(guān)結(jié)構(gòu)，能得出更合理的失效概率。此外，由于NO.16 Copula 函數(shù)計(jì)算的失效概率偏高，應(yīng)用該函數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行邊坡可靠度設(shè)計(jì)會(huì)偏于保守，設(shè)計(jì)更安全，所以對(duì)于該類工程邊坡，在進(jìn)行邊坡可靠度分析時(shí)建議應(yīng)用NO.16 Copula函數(shù)。

圖4 考慮不同相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)邊坡可靠度的比較（天然工況，子集模擬計(jì)算結(jié)果）Fig.4 Results of subset simulation considering different related structures（Natural condition；SS results）

4 結(jié) 論

（1）引入Copula 函數(shù)表征巖土體參數(shù)間的相關(guān)性并進(jìn)行邊坡可靠度分析十分必要。Copula 函數(shù)可以表征參數(shù)間包括高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)在內(nèi)的任意相關(guān)結(jié)構(gòu)。不同的相關(guān)結(jié)構(gòu)類型情況下，邊坡失效概率差別較大。在巖土體參數(shù)間具體相關(guān)結(jié)構(gòu)未知時(shí)，需要謹(jǐn)慎選取Copula 函數(shù)類型。有試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，建議根據(jù)數(shù)據(jù)選擇最適合的Copula 函數(shù)類型。盲目地選取任意Copu?la 函數(shù)都會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果不合理。尤其需要指出的是，如果為了簡(jiǎn)便而運(yùn)用Gaussian Copula 函數(shù)的計(jì)算結(jié)果做邊坡可靠度設(shè)計(jì)，會(huì)造成設(shè)計(jì)方案不安全或不經(jīng)濟(jì)。

（2）所提的含相關(guān)結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的邊坡可靠度高效分析方法可以克服直接蒙特卡洛方法效率低的缺陷，且計(jì)算精度有保障。尤其是子集模擬算法在基于Copula 函數(shù)表征了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)的邊坡可靠度分析中效率極高，只需模擬少量樣本即可獲得失效概率值。同時(shí)，該方法能有效處理含隱式功能函數(shù)邊坡可靠度分析問(wèn)題，進(jìn)一步拓展了高效蒙特卡洛方法在邊坡可靠度分析中的應(yīng)用。

（3）大崗山水電站壩址處左岸邊坡在自然工況和降雨工況下失效概率很小，一般情況下有足夠的安全度；但在地震工況下的失效概率很大，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行錨固支護(hù)措施提高其穩(wěn)定性?！?/p>