基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多項(xiàng)式混沌方法的翼型魯棒性優(yōu)化

高遠(yuǎn)，閆妍，周磊，李典，郝海兵

（航空工業(yè)西安航空計(jì)算技術(shù)研究所 第七研究室，西安710065）

0 引言

在大展弦比飛行器氣動外形的設(shè)計(jì)過程中，翼型的氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)至關(guān)重要。何萌等［1］對超臨界翼型RAE2822進(jìn)行了優(yōu)化，并研究了其中的多極值問題；陳笑天等［2］研究了針對旋翼翼型的高速綜合氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；李春鵬等［3］針對自適應(yīng)后緣翼型發(fā)展了氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。上述基于氣動數(shù)值模擬的翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)是在確定條件下進(jìn)行的，當(dāng)條件受到擾動發(fā)生變化時，最優(yōu)翼型的性能可能會有所惡化。為了緩解非設(shè)計(jì)點(diǎn)性能可能會惡化的問題，引入了翼型魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，在設(shè)計(jì)狀態(tài)下對翼型的氣動性能進(jìn)行優(yōu)化，同時兼顧設(shè)計(jì)點(diǎn)一定變化范圍內(nèi)氣動性能的穩(wěn)定性［4］。

與確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)相比，魯棒性優(yōu)化的一個顯著特點(diǎn)是在優(yōu)化過程中不斷地進(jìn)行不確定度量化，即計(jì)算系統(tǒng)關(guān)于隨機(jī)變量的不確定性響應(yīng)。最常用的不確定度量化方法為蒙特卡洛法，該方法是一種最簡單的評估方法，可以很方便地計(jì)算響應(yīng)量的概率分布，而且預(yù)測精度較高。但是對于該方法而言，若要使響應(yīng)量的期望概率水平達(dá)到10-N的 要 求，樣 本 點(diǎn) 的 數(shù) 量 至 少 應(yīng) 為10N+2［5］。即便應(yīng)用拉丁超立方抽樣技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，提高了分析效率，但是蒙特卡洛方法仍然具有計(jì)算樣本量較大的問題。因而在翼型魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，需要進(jìn)行大量的CFD計(jì)算，計(jì)算代價很大［6］。

針對這一問題，國內(nèi)外開展了廣泛研究。國外，K.Zhao等［7］基于多目標(biāo)進(jìn)化算法對自然層流超臨界翼型開展了魯棒性優(yōu)化；H.Shah等［8］發(fā)展了一種考慮混合不確定性的、多精度的翼型魯棒性設(shè)計(jì)方法；A.S.Padron等［9］應(yīng)用多可信度方法進(jìn)行了翼型的氣動魯棒性優(yōu)化；D.I.Papadimitriou等［10］使用一階可靠性方法結(jié)合基于伴隨的優(yōu)化方法對翼型進(jìn)行了考慮升力可靠性的魯棒設(shè)計(jì)；D.Lucor等［11］提出了一種應(yīng)用隨機(jī)代理模型的翼型隨機(jī)優(yōu)化框架。國內(nèi)，李焦贊等［12-13］開展了基于幾何不確定性的翼型多目標(biāo)魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，在魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)中引入了多目標(biāo)遺傳算法，并考慮了馬赫數(shù)波動的魯棒優(yōu)化問題；白俊強(qiáng)等［14］使用CST參數(shù)化方法對超臨界翼型的馬赫數(shù)波動魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)問題開展了研究；Zhao H等［15-17］建立了基于非嵌入式多項(xiàng)式混沌方法以及稀疏多項(xiàng)式混沌方法的高效翼型魯棒性多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

上述針對翼型的魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，多采用CFD計(jì)算或代理模型方法進(jìn)行氣動力預(yù)測。為了降低計(jì)算代價、保證預(yù)測精度，本文采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行氣動力的預(yù)測。搭建基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動力預(yù)測模型；采用多項(xiàng)式混沌方法進(jìn)行不確定度量化，構(gòu)建翼型魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)；以RAE2822翼型為基準(zhǔn)翼型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對翼型魯棒性設(shè)計(jì)方法的可行性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的氣動力建模

卷 積神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Net?work，簡稱CNN）模型作為一種基于數(shù)據(jù)的建模方法［18］，不考慮復(fù)雜的物理機(jī)理，將氣動力建模問題看做“黑箱”問題，直接建立氣動力與飛行狀態(tài)之間的關(guān)系式。在基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的氣動力模型建模研究方面，目前多采用淺層機(jī)器學(xué)習(xí)模型，如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［19］、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［20］、支持向量機(jī)模型［21］等。相較于這些淺層模型，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在訓(xùn)練過程中采用了局部連接和權(quán)值共享的方式，減少了權(quán)值的數(shù)量，使網(wǎng)絡(luò)易于優(yōu)化；同時降低了模型的復(fù)雜度，減少了過擬合的風(fēng)險［22］。

在翼型魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，不僅需要在特定設(shè)計(jì)點(diǎn)處（馬赫數(shù)和攻角視為定值）預(yù)測翼型的升力系數(shù)，還需要在針對馬赫數(shù)和攻角的不確定度量化時，預(yù)測翼型在馬赫數(shù)和攻角在一定變化范圍內(nèi)的阻力系數(shù)。本文針對上述升力系數(shù)和阻力系數(shù)的不同預(yù)測需求分別建立兩個不同的CNN預(yù)測模型。升力系數(shù)的CNN預(yù)測模型的輸入?yún)?shù)僅包括描述翼型的16個CST參數(shù)，而阻力系數(shù)的CNN預(yù)測模型的輸入?yún)?shù)還需要包括馬赫數(shù)和攻角。兩個CNN模型中均包含兩次卷積操作和一次池化操作。兩個CNN模型的具體參數(shù)和結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 本文設(shè)計(jì)的CNN結(jié)構(gòu)圖Fig.1 CNN structure diagram designed in this paper

基于CNN的氣動力建模的樣本生成過程為：在樣本空間內(nèi)應(yīng)用拉丁超立方采樣法（Latin Hy?percube Sampling，簡稱LHS）生成一定數(shù)量的翼型；應(yīng)用求解器對生成的翼型進(jìn)行氣動力分析，湍流模型選用RANS模型，計(jì)算其升力、阻力系數(shù)，生成訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的樣本庫。

搭建的兩個CNN模型的設(shè)計(jì)狀態(tài)為：馬赫數(shù)Ma=0.734，攻角α=2.79°，基準(zhǔn)翼型為RAE2822翼型。在樣本空間構(gòu)造方面：以上述馬赫數(shù)、攻角及基準(zhǔn)翼型的16個CST參數(shù)為中心，各取一個小的變化區(qū)間，形成一個整體的樣本空間，其中翼型CST參數(shù)的變化區(qū)間為基準(zhǔn)翼型各個參數(shù)的±0.05，馬赫數(shù)的變化區(qū)間為［0.72，0.75］，攻角的變化區(qū)間為［2.7，2.9］。

兩個CNN模型由于輸入?yún)?shù)和模型結(jié)構(gòu)方面有所區(qū)別，因此訓(xùn)練樣本量、訓(xùn)練迭代次數(shù)等參數(shù)并不相同。本文選用的預(yù)測評價指標(biāo)為均方根誤差（Root Mean Square Error，簡稱RMSE）和平均相對誤差（Mean Relative Error，簡稱MRE），如式（1）所示。兩個CNN模型的訓(xùn)練參數(shù)和訓(xùn)練結(jié)果如表1所示。

式中：n為樣本的個數(shù)；yi為第i個樣本的CFD計(jì)算結(jié)果；pi為其對應(yīng)的CNN模型預(yù)測值。

兩個CNN模型的訓(xùn)練結(jié)果如圖2所示。從表1和圖2可以看出：CNN模型在氣動力建模方面的精確度可以滿足翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化的計(jì)算要求。

表1 兩個CNN模型的訓(xùn)練參數(shù)和訓(xùn)練結(jié)果Table 1 Training parameters and training results of two CNN models

圖2 CNN的氣動力系數(shù)預(yù)測結(jié)果Fig.2 CNN’s aerodynamic coefficient prediction results

2 基于多項(xiàng)式混沌方法的不確定度量化

在不確定度量化方面，常用的蒙特卡洛（Mon?te Carlo，簡稱MC）方法因其構(gòu)造簡單而被廣泛應(yīng)用，為了滿足計(jì)算精度要求，MC方法通常需要大量的樣本點(diǎn)，導(dǎo)致計(jì)算量大，收斂速度慢［23］。

對比MC方法，多項(xiàng)式混沌（Polynomial Cha?os，簡稱PC）方法在不確定度量化方面具有更高的計(jì)算效率［24］。在該方法中，整個數(shù)值模擬的過程被認(rèn)為是隨機(jī)的，首先針對輸入樣本選擇正交基函數(shù)，然后將輸出在基函數(shù)空間中展開，最后得到輸出在基函數(shù)譜空間中的完全展開，進(jìn)而獲得各種統(tǒng)計(jì)特性，例如均值、均方根值和輸入變量的全局敏感度指標(biāo)等。

本文采用非嵌入式多項(xiàng)式混沌（Non-intrusive Polynomial Chaos，簡稱NIPC）方法［25-26］進(jìn)行不確定度量化。通過確定性的氣動力模型，例如CFD計(jì)算或前文設(shè)計(jì)的CNN模型，得到采樣點(diǎn){ξ1，ξ2，…，ξN}對應(yīng)的響應(yīng)值{y1，y2，…，yN}。往往采樣點(diǎn)的數(shù)量不小于PC展開中的自由度個數(shù)，因此方程組Ψα=Y是一個矛盾方程組［27］，其中Ψ作為測量矩陣，Ψij=ψj(ξi)。采用最小二乘法對上述矛盾方程組進(jìn)行求解。

采樣點(diǎn)的數(shù)目N跟PC展開中的自由度個數(shù)有關(guān)，即：

式中：n為輸入隨機(jī)變量的個數(shù)；p為混沌多項(xiàng)式的階數(shù)；np為過采樣率，根據(jù)H.Serhat等［28］的研究，np=2時PC展開的效果較好，因此本文選擇np=2。

對輸出進(jìn)行PC展開之后，輸出的均值μ、方差σ2等統(tǒng)計(jì)信息可直接根據(jù)基函數(shù)的正交特性得到，即按式（3）進(jìn)行計(jì)算，然后將其應(yīng)用于魯棒性優(yōu)化系統(tǒng)中。

采用NIPC方法研究馬赫數(shù)、攻角的不確定度對RAE2822翼型阻力系數(shù)的影響，假設(shè)馬赫數(shù)、攻角分別滿足在區(qū)間［0.72，0.75］、［2.7，2.9］上的均勻分布，且雷諾數(shù)Re=6.5×106。本算例采用的氣動力預(yù)測模型為上文提到的CNN-2模型，該模型的精度滿足使用要求。

采用蒙特卡洛方法來對比驗(yàn)證NIPC方法的計(jì)算精度是否達(dá)到要求，使用樣本數(shù)量為105個，此時響應(yīng)量的期望概率水平達(dá)到10-3，可以達(dá)到對比驗(yàn)證的要求。RAE2822翼型的阻力系數(shù)均值和方差隨著樣本點(diǎn)數(shù)目變化的收斂情況對比如表2所示。

表2 NIPC方法與MC方法的對比Table 2 Comparison of NIPC method and MC method

從表2可以看出：NIPC方法的階數(shù)達(dá)到3階時即可滿足使用要求；NIPC方法在樣本數(shù)量大幅減少至25左右時仍能達(dá)到較高的不確定度量化精度，具有高效性和有效性。因此針對RAE2822翼型魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，采用樣本數(shù)目為25的3階NIPC方法來完成不確定度量化中阻力系數(shù)的均值和方差計(jì)算。

3 魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)

3.1 魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)的搭建

本文構(gòu)建以RAE2822翼型為初始翼型的魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用CNN模型作為氣動力預(yù)測模型，使用NIPC方法進(jìn)行不確定性量化，優(yōu)化算法選擇NSGA-Ⅱ［29］進(jìn)行迭代優(yōu)化。魯棒性氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

圖3 翼型魯棒性氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.3 Aerofoil robust aerodynamic optimization design process

具體步驟如下：

（1）采用拉丁超立方采樣法生成遺傳算法所需種群，并對其進(jìn)行編碼和初始化；

（2）調(diào)用生成的CNN-1模型對每一個個體進(jìn)行升力系數(shù)預(yù)測；

（3）應(yīng)用NIPC方法進(jìn)行不確定度量化，確定響應(yīng)（阻力系數(shù)）的均值和方差，其中調(diào)用CNN-2模型進(jìn)行阻力系數(shù)預(yù)測；

（4）根據(jù)遺傳算法中設(shè)定的約束條件及目標(biāo)函數(shù)計(jì)算其適應(yīng)度，并判斷是否滿足設(shè)計(jì)要求；

（5）不滿足時則進(jìn)行交叉、變異、選擇過程，并返回步驟（2），直至達(dá)到最大迭代次數(shù)，迭代結(jié)束。

3.2 算例驗(yàn)證

以RAE2822翼型為初始翼型進(jìn)行翼型的設(shè)計(jì)優(yōu)化，設(shè)計(jì)要求如下：

（1）設(shè)計(jì)狀態(tài)：馬赫數(shù)Ma=0.734，攻角α=2.790，雷諾數(shù)Re=6.5×106，其中馬赫數(shù)和攻角分別滿足在區(qū)間［0.72，0.75］、［2.7，2.9］上的均勻分布；

（2）優(yōu)化后翼型的厚度不低于原始翼型厚度的0.98倍；

（3）要求在升力不降低的條件下，降低翼型在設(shè)計(jì)點(diǎn)的阻力系數(shù)，同時保證翼型在不確定變量馬赫數(shù)和攻角的一定變化范圍內(nèi)，阻力性能的波動盡量小。

將x/c在0.20，0.30，0.40，0.45，0.50，0.55，0.60，0.70，0.80處的厚度不小于原始厚度的0.98倍作為厚度約束，同時還要保證翼型的最大厚度不小于原始翼型的0.98倍。

選擇16個CST參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，其初值和取值范圍如表3所示。翼型魯棒性設(shè)計(jì)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

表3 設(shè)計(jì)變量初值及取值范圍Table 3 Initial value and range of design variables

式中：δ為翼型厚度；CL為翼型升力系數(shù)；μ和σ2為翼型阻力系數(shù)在馬赫數(shù)和攻角的變化區(qū)間內(nèi)的均值和方差；CD為翼型阻力系數(shù)。

NSGA-Ⅱ算法的種群規(guī)模為100，最大進(jìn)化代數(shù)為100。

為了進(jìn)行結(jié)果比對，本文還進(jìn)行相同設(shè)計(jì)要求下的確定性翼型優(yōu)化，其數(shù)學(xué)模型為

該優(yōu)化過程中使用的氣動力預(yù)測模型也為CNN模型，優(yōu)化算法選用經(jīng)典遺傳算法（Simple GA，簡稱SGA），其相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模100，交叉概率0.9，變異概率0.1，進(jìn)化代數(shù)100。優(yōu)化結(jié)果如表4所示，優(yōu)化后的翼型如圖4～圖5所示。

表4 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對比Table 4 Comparison of optimized design results

圖4 翼型形狀對比Fig.4 Airfoil shape comparison

圖5 翼型壓力分布對比Fig.5 Airfoil pressure distribution comparison

從圖4～圖5可以看出：魯棒性優(yōu)化后的翼型最大厚度后移，激波強(qiáng)度減弱，在升力系數(shù)不下降的情況下有效降低了阻力系數(shù)，提高了升阻比。

原始翼型和確定性優(yōu)化得到的翼型阻力發(fā)散曲線如圖6所示。

圖6 翼型阻力發(fā)散曲線對比Fig.6 Comparison of airfoil drag divergence curves

從圖6可以看出：魯棒性優(yōu)化后的翼型在馬赫數(shù)和攻角的不確定范圍內(nèi)氣動特性得到了改善，隨著馬赫數(shù)和攻角的增加，阻力系數(shù)變化較為平緩，氣動性能較為穩(wěn)定，達(dá)到了魯棒性優(yōu)化的目的。

通過該算例的驗(yàn)證分析，體現(xiàn)出本文設(shè)計(jì)的氣動優(yōu)化方法能夠?qū)σ硇瓦M(jìn)行有效的魯棒性優(yōu)化，同時該方法相較于其他方法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在優(yōu)化整體效率的提升。與常規(guī)的應(yīng)用CFD計(jì)算作為氣動力預(yù)測模型的優(yōu)化流程相比，本文設(shè)計(jì)的CNN模型雖然在訓(xùn)練樣本的準(zhǔn)備過程中仍需進(jìn)行CFD計(jì)算，但計(jì)算量有所減少。只要設(shè)計(jì)狀態(tài)不變，一旦優(yōu)化算法及相關(guān)優(yōu)化參數(shù)（如優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造方式）發(fā)生變化，以前訓(xùn)練好的氣動力預(yù)測模型仍能繼續(xù)使用而無需再訓(xùn)練，這就提高了整體優(yōu)化效率。

4 結(jié)論

（1）在氣動力預(yù)測方面，本文設(shè)計(jì)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型滿足翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)要求，預(yù)測精度高，可以提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的整體效率。

（2）在不確定度量化方面，采用的非嵌入式的多項(xiàng)式混沌方法具有明顯優(yōu)勢，在樣本數(shù)量大幅降低的情況下仍能保持計(jì)算的準(zhǔn)確性，提高了魯棒性氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

（3）本文驗(yàn)證了該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在RAE2822翼型優(yōu)化過程中的可行性，其主要策略可望應(yīng)用于其他翼型的優(yōu)化設(shè)計(jì)。