讓數(shù)學(xué)模型的種子在孩子心中生根發(fā)芽

摘 要：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。模型是對現(xiàn)實(shí)世界中一類相近事物的放大，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)模型思想的建立有助于幫助學(xué)生快速從生活事例中看到數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)學(xué)模型思想對信息與問題進(jìn)行分析與重組，達(dá)到將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，將學(xué)生的思維引向深處，在發(fā)展學(xué)生思維能力的同時(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與應(yīng)用意識。

關(guān)鍵詞：《分段計(jì)費(fèi)解決問題》;思維能力;簡單化

數(shù)學(xué)問題大部分源于生活，但往往正是身邊的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生才感覺最為陌生，解決起來沒有切入點(diǎn)。接下來筆者將以“分段計(jì)費(fèi)問題”為例，從“分析中理解標(biāo)準(zhǔn)、體驗(yàn)中感悟模型、總結(jié)中提煉模型、運(yùn)用中發(fā)展模型”幾方面例談小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的培育。

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版數(shù)學(xué)五年級上冊第16頁。

【教學(xué)過程】

一、 抽絲剝繭，在分析中理解標(biāo)準(zhǔn)

師：這是什么場景？李叔叔遇到什么問題了嗎？圖中有什么關(guān)鍵信息？你是怎么理解收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的？請和同桌說說？生：我的理解是如果不超過3km的話，它就是7元，如2.5km就收費(fèi)7元。

師：1km收費(fèi)多少？1.1km呢？2km呢？2.1km呢？3km呢？生：只要不超過3km，都按7元算。

師：概括得真好。超過3km的部分，每千米1.5元又是什么意思？生：如4km的話，3km的就算7元，超過的1km就要按1.5元來算，7元加1.5元就等于8.5元。

師：誰也來分享自己的看法？生：如果是7千米，就要分出3km算7元，剩下的4km每千米算1.5元。

師：講得很具體。不足1km按1km來計(jì)算，你又是怎么理解的？生：比如他坐了3.5km，3km就是用7元來計(jì)算，剩下的0.5千米按1km的來計(jì)算。

師：也就是要算幾千米？生：4千米。師：你的理解真到位！師：請和你同桌說說6.3km、3.1km、4.9km 該按幾千米計(jì)算？生：我發(fā)現(xiàn)6.3km要按7km 算，3.1km 按4km算，4.9km按5千米算。

師：也就是所有含小數(shù)的里程數(shù)，都要用“進(jìn)一法”進(jìn)一成整千米的里程數(shù)計(jì)算。

【思考】針對收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，師生之間展開了有目的性的對話，一層一層撥開收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)后的“關(guān)鍵信息”。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生充分發(fā)表見解并能自主總結(jié)出“3km以內(nèi)都算7元”“進(jìn)一法”“從7km里分出3km”等解題關(guān)鍵，對后續(xù)正確解決分段計(jì)費(fèi)問題起到了至關(guān)重要的作用。分段計(jì)費(fèi)模型涉及了前段收費(fèi)和后段收費(fèi)問題，其本質(zhì)是對行駛里程的分段，計(jì)算的是出租車前3km內(nèi)里程價(jià)錢和后3km里程價(jià)錢總和。因此在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，為了幫助學(xué)生更好地理解3km以內(nèi)7元，教師通過變式對話學(xué)生1km、2km 和3km的具體價(jià)錢，同時(shí)通過學(xué)生對6.3km、3.1km、4.9km 的計(jì)費(fèi)里程討論，讓學(xué)生充分理解不同里程的實(shí)際計(jì)費(fèi)里程，幫助學(xué)生更有效地理解“進(jìn)一法”的運(yùn)用意義。

二、 數(shù)形結(jié)合，在體驗(yàn)中感悟模型

師：你能用畫圖的方法表示這道題的信息和問題嗎？（生畫圖）生1：從圖中（圖2）可以看出，前3km按7元算，后面一共有6.3-3=3.3km按4km算，一共有4個(gè)1.5元，合起來就是13元。

生2：題目說不足1千米要按1千米計(jì)算，所以把6.3km進(jìn)一成7km（如圖3）。前3km一共7元，剩下4km每千米1.5元，也就是7+（7-3）×1.5=13元，所以李叔叔要付13元。

師：采用“進(jìn)一法”，使計(jì)算過程更加清晰了。請思考計(jì)費(fèi)過程中分了幾段計(jì)費(fèi)，分別表示什么意思？

生：分兩段，第一段是7元起步價(jià)，第二段是超出3km的收費(fèi)。

師：所以總費(fèi)用可表示為？生：起步價(jià)加超出的錢數(shù)等于李叔叔要付的錢數(shù)。

【思考】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以使復(fù)雜、抽象、難懂的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成簡單、具體、易懂的圖形，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，幫助學(xué)生有效理清問題中的數(shù)量關(guān)系，繼而有效地解決問題。學(xué)生在畫一畫的體驗(yàn)活動中能夠直觀具體看清出租車的分段計(jì)費(fèi)原理，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度。在師生交流互動過程中，交流、對比、討論出分兩段計(jì)費(fèi)的收費(fèi)模型，即前3km費(fèi)用+超出里程費(fèi)用=李叔叔要付的總費(fèi)用，實(shí)現(xiàn)從圖突破，建構(gòu)分段計(jì)費(fèi)模型結(jié)構(gòu)的目的。

三、 發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在總結(jié)中提煉模型

（生獨(dú)立填寫書本第16頁表格。）

師：請同學(xué)們觀察表格中的數(shù)據(jù)，行駛里程和出租車費(fèi)之間有什么關(guān)系？生：3km以內(nèi)只要7元，以后每增加1千米增加1.5元這樣子的規(guī)律。

師：是什么引起了出租車費(fèi)用上漲呢？生：是路程引起了出租車費(fèi)用的增加。

師：請看下面的表格，通過觀察4km、5km、6km的計(jì)費(fèi)算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)都要把前面3km的7元加上。生2：我發(fā)現(xiàn)費(fèi)用總價(jià)等于7元加上超過3千米的里程費(fèi)用。

師：說得真好，用3km的起步價(jià)7元加上超過3km部分的里程就等于總費(fèi)用，你能接著往下說7km、8km的車費(fèi)嗎？出租車費(fèi)會隨著行駛里程的增加而增加，根據(jù)價(jià)格表，看到的行駛里程都是整千米數(shù)。師：你能找到6.3km是多少錢嗎？生：和7km收費(fèi)一樣，是13元。

師：如果出租車價(jià)錢是16元，行駛里程可能是多少呢？生1：可能是9千米。生2：也可能是8.6公里。

師：也就是說，出租車費(fèi)16元，行駛里程可能在8km 至9km之間，包括9km。

【思考】通過讓學(xué)生計(jì)算出10km以內(nèi)的出租車車費(fèi)，讓學(xué)生自主感受分段計(jì)費(fèi)的模型，通過教師呈現(xiàn)的里程計(jì)費(fèi)算式，學(xué)生能清楚看到計(jì)費(fèi)的模型原來就是前段收費(fèi)加上后段收費(fèi)，這樣的總結(jié)形式能讓學(xué)生更好地理解與記憶分段計(jì)費(fèi)模型。此外，交流得到出租車費(fèi)會隨著行駛里程的增加而增加，這與前文所說的分段計(jì)費(fèi)其實(shí)是里程的分段收費(fèi)相呼應(yīng)。在總結(jié)環(huán)節(jié)，教師通過展現(xiàn)分段計(jì)費(fèi)的算式結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生識記分段計(jì)費(fèi)的基礎(chǔ)模型，有助于夯實(shí)學(xué)生對于分段計(jì)費(fèi)模型結(jié)構(gòu)的認(rèn)知。

四、 舉一反三，在運(yùn)用中發(fā)展模型

練習(xí)一：某市自來水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)的每噸2.5 元;超過12噸的部分，每噸3.8元。

（1）小云家上個(gè)月的用水量為11噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？（2）小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

（學(xué)生匯報(bào)解答過程。）

師：觀察例題與練習(xí)題，這兩題的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)與解答過程有什么異同？生：出租車是3km以內(nèi)7元，而水費(fèi)是12噸以內(nèi)每噸2.5元，是不一樣的。兩題都是分段計(jì)算的。

師：既然都是分段計(jì)費(fèi)的問題，我們就要找準(zhǔn)分段的分界點(diǎn)。這題的水費(fèi)12噸以內(nèi)每噸2.5元，所以是需要計(jì)算的。

練習(xí)二：（如圖5）

師：你怎么理解合影價(jià)格表的？生：我的理解就是27.5元包括5張照片，超過5張每張2.5元。

師：也就是前5張27.5元，超過部分每張2.5元。怎樣列式呢？生：27.5+30×2.5=102.5（元）

【反思】通過生活中常見的水費(fèi)收費(fèi)和照相收費(fèi)問題，讓學(xué)生在變式中找相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，在運(yùn)用中明晰并不是所有分段計(jì)費(fèi)問題的模型都是統(tǒng)一不變的，在實(shí)踐中發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)分段模型的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高解決問題的能力。

在畫一畫的環(huán)節(jié)當(dāng)中，個(gè)別學(xué)生出現(xiàn)了如圖6的做法，表現(xiàn)出了學(xué)生思維的靈活性，但在新課當(dāng)中這種“補(bǔ)差價(jià)”的方法只有部分學(xué)生能夠理解，因此，為了不干擾學(xué)生分段計(jì)費(fèi)基本模型的建立，筆者對教材進(jìn)行重組與設(shè)計(jì)，將第二種方法作為課堂的生成資源，在第二節(jié)練習(xí)課進(jìn)行交流。因此我們在尊重教材的基礎(chǔ)上也要根據(jù)學(xué)情合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動。

數(shù)學(xué)源于生活，卻不止于生活，讓孩子把身邊的數(shù)學(xué)學(xué)活是一件不容易的事情，把數(shù)學(xué)模型的種子播撒在孩子的心間更是一件值得萬千教師努力的事，在課堂教學(xué)中，教師若能時(shí)刻關(guān)注學(xué)生，立足教材，時(shí)刻不忘數(shù)學(xué)模型思想的培育與指導(dǎo)，我們的學(xué)生將會成為更適合社會發(fā)展的全面發(fā)展的人。

作者簡介：

林曉妮，廣東省東莞市，東莞市東城花園小學(xué)。