聲表面波器件變頻快速模擬方法?

宋明鑫 張碧星

(1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場聲信息國家重點實驗室 北京 100190)

(2 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引言

近年來隨著半導(dǎo)體行業(yè)的快速發(fā)展，聲表面波(Surface acoustic wave, SAW)器件在智能傳感、氣體檢測以及移動通訊等領(lǐng)域取得了一系列卓越的進(jìn)步[1?3]，而快速、精確的模擬理論是支撐SAW 器件發(fā)展的關(guān)鍵因素。作為SAW 器件的一種新型數(shù)值模擬方法，級聯(lián)有限元技術(shù)(Hierarchical cascade technique-Finite element method,HCT-FEM)因其計算速度快、模擬精度高以及具備聲場計算能力等優(yōu)勢在行業(yè)內(nèi)引起了廣泛關(guān)注[4?5]。HCT-FEM 最早由Koskela 等[6?8]提出，其核心是利用SAW 器件中叉指換能器(Interdigital transducer, IDT)的周期性，從整體結(jié)構(gòu)中分離出若干相互獨立的基本單元，通過單元邊界矩陣(Boundary matrix)的級聯(lián)實現(xiàn)有限長器件結(jié)構(gòu)的模擬。在實際的SAW器件設(shè)計中，通過優(yōu)化IDT的指條間距，激發(fā)出不同波長的聲表面波，調(diào)整SAW器件的諧振頻率。HCT-FEM 需要針對不同的波長分別建立相應(yīng)的FEM 單元模型，頻繁的建模、分析以及數(shù)據(jù)傳輸過程會消耗大量的計算時間與內(nèi)存資源。針對上述問題，本文提出一種頻率變化時的HCT-FEM快速模擬方法，用于提升SAW器件的模擬效率。首先分析HCT-FEM中基本單元的系統(tǒng)矩陣構(gòu)成以及不同波長對應(yīng)單元系統(tǒng)矩陣間的關(guān)系。接著引入?yún)⒖紗卧Ｐ团c波長變化因子，建立單元系統(tǒng)矩陣與波長間的函數(shù)關(guān)系。利用參考單元的FEM 模型快速計算出不同波長對應(yīng)的單元系統(tǒng)矩陣。進(jìn)一步通過單元邊界矩陣的級聯(lián)實現(xiàn)SAW 器件頻域響應(yīng)的計算與快速變頻效果。

1 單元系統(tǒng)矩陣

SAW 器件中存在大量周期性排布的結(jié)構(gòu)單元，依據(jù)HCT-FEM的基本原理[6]，首先從有限長SAW器件結(jié)構(gòu)中分離出若干基本單元。如圖1所示，當(dāng)IDT 的指條間距、電極指寬、膜厚等參數(shù)保持不變時，單根指條單元(基本單元1)的不斷排布就構(gòu)成了完整的SAW器件結(jié)構(gòu)。圖1中基本單元2表示吸收層單元，以同樣的級聯(lián)方式疊加聲波吸收效果，實現(xiàn)有限長器件左右兩側(cè)的自由邊界狀態(tài)[9]。

根據(jù)有限元的基本原理，對上述基本單元分別建模分析。在壓電介質(zhì)中，考慮模型網(wǎng)格劃分后的任一單元，其節(jié)點上的自由度包括節(jié)點位移ua與節(jié)點電勢?a，單元內(nèi)任意位置(x,y,z)的狀態(tài)通過插值的方式獲得：

式(1)中，a表示單元的節(jié)點序號，n為節(jié)點個數(shù)，Na表示該節(jié)點對應(yīng)的形函數(shù)。

圖1 同步單端SAW 諧振器的基本單元構(gòu)成Fig.1 The basic units of synchronous one-port SAW resonator

對于模型網(wǎng)格中的任一單元，其剛度矩陣與質(zhì)量矩陣為[10]

其中，積分區(qū)域V為網(wǎng)格單元的體積，ρ表示介質(zhì)密度，C為彈性矩陣，由材料的彈性模量與泊松比決定。上標(biāo)T代表矩陣的轉(zhuǎn)置，D為微分算子，在笛卡爾坐標(biāo)下：

將上述單元剛度矩陣Ke、質(zhì)量矩陣Me集總成模型的整體剛度矩陣K與整體質(zhì)量矩陣M，構(gòu)建不考慮阻尼的系統(tǒng)方程[7]：

式(4)中，ω= 2πf，表示頻域分析的角頻率，U為模型的整體自由度矢量，F(xiàn)表示激勵源與邊界條件。令A(yù)=(K ?ω2M)，稱為基本單元的系統(tǒng)矩陣。

根據(jù)模型中節(jié)點坐標(biāo)的位置，將U劃分成[UL,UI,UR,?] 四部分。其中，[UL,UI,UR]分別表示單元FEM 模型左邊界、內(nèi)部、右邊界上所包含的節(jié)點位移與電勢自由度；?為電極區(qū)域的節(jié)點電勢。模型的系統(tǒng)矩陣A做相應(yīng)的重排[7]：

其中，Aij是分塊處理后的各子矩陣，τL、τR是左右邊界上的節(jié)點應(yīng)力與電荷值，q為電極電荷。由模型內(nèi)部應(yīng)力與電荷平衡狀態(tài)可知，UI對應(yīng)的線性方程組等式為零。即

將式(6)代入式(5)，消去內(nèi)部自由度UI對應(yīng)的方程式，獲得新的模型邊界方程組，其系數(shù)矩陣稱為邊界矩陣[7]，即B矩陣：

其中，邊界矩陣的各元素由系統(tǒng)矩陣的各分塊子矩陣Aij決定，表達(dá)式為

通過邊界矩陣的級聯(lián)實現(xiàn)SAW 器件的快速模擬[11]。從以上HCT-FEM的基本算法流程可知，不同的聲表面波波長與系統(tǒng)矩陣A之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。在實際器件的模擬中，需要根據(jù)不同的波長，建立相應(yīng)的基本單元FEM 模型。構(gòu)建出單元的系統(tǒng)矩陣后通過分塊矩陣求逆獲得最終的單元邊界矩陣。當(dāng)波長優(yōu)化調(diào)整時，頻繁的單元建模、分析以及數(shù)據(jù)傳輸過程降低了HCT-FEM 的模擬效率。

2 變頻時的快速模擬方法

由上述有限元模擬方法可知， 系統(tǒng)矩陣A= (K ?ω2M)的每一個矩陣元都與波長有關(guān)，因此，當(dāng)波長(頻率)改變時，需要對每一波長分別進(jìn)行模擬和計算，在有限元計算中，模型的單元網(wǎng)格數(shù)很大，因而系統(tǒng)矩陣的維數(shù)也很大，導(dǎo)致聲表面波器件模擬的計算時間很長，在實際中并不方便。為此，本文提出了一種計算不同波長時的聲表面波器件變頻快速模擬方法。

IDT 的指條間距決定了基片中激發(fā)出的聲表面波波長，是SAW器件優(yōu)化設(shè)計中的重要參數(shù)。在選定基片的壓電材料以后，不同指條間距的IDT 實現(xiàn)不同頻率的聲波諧振[12]。依據(jù)HCT-FEM 的基本原理，首先建立如圖2所示SAW 器件的準(zhǔn)三維單電極模型，并進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。其中，λ為波長，其余參數(shù)均為λ的倍數(shù)。圖2中頂端黃色區(qū)域表示金屬電極，藍(lán)色區(qū)域為壓電基片，基片末端設(shè)置完美匹配層(Perfect matched layer,PML)。

圖2 SAW 諧振器單根電極的準(zhǔn)三維模型Fig.2 Quasi three dimensional model of a single electrode of SAW resonator

表1 單根電極單元的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Geometric parameter setting in reference unit

在聲表面波器件結(jié)構(gòu)中，聲表面波的能量分布區(qū)域是與波長λ成正比的，從而，在有限元模型中，模型中每一網(wǎng)格的邊長(長、寬、高)以及集總成總模型的邊長都與波長λ成正比，使得每一網(wǎng)格體積和集總成總體積都與波長的立方成正比。由有限元模擬方法可知，當(dāng)波長變化時，公式(2)中的形函數(shù)與波長無關(guān)，只與模型中網(wǎng)格的相對位置有關(guān)。

為明確不同波長對應(yīng)的單元系統(tǒng)矩陣間的關(guān)系，首先考慮單根電極模型網(wǎng)格劃分后的任意一個長方體單元R1，其長、寬、高分別用a、b、c表示，如圖3所示。當(dāng)波長增加α倍(由λ增大到αλ)時，單元R1的長、寬、高在y、x、z三個方向上同比例拉伸α倍，得到單元R2。相比于R1，長方體單元R2的體積V擴大α3倍。根據(jù)公式(2)可知，節(jié)點形函數(shù)Na與介質(zhì)密度ρ保持不變，積分區(qū)域擴大了α3倍，R2的單元質(zhì)量矩陣Me是R1單元質(zhì)量矩陣的α3倍。從而，集總成的整體質(zhì)量矩陣也增為原來的α3倍。

圖3 長方體單元在各方向上同比例的拉伸示意圖Fig.3 Schematic diagram of cuboid unit stretched in the same proportion in all directions

對于式(2)中的剛度矩陣，首先考慮微分算子D的作用。在有限元計算中，微分算子D是由相鄰節(jié)點間的函數(shù)差(這個差值與波長無關(guān))除以單元長度得到的，由于單元長度與波長成正比，使得微分算子D與波長成反比，剛度矩陣中包含了兩次微分算子。從而，在公式(2)中，被積函數(shù)與波長的平方成反比，由于單元網(wǎng)格體積與波長的立方成正比，使得剛度矩陣與波長成正比。

因此，在固定的網(wǎng)格劃分模式下，當(dāng)波長增加α倍時，對于模型中的每一網(wǎng)格單元，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別增加α3和α倍，進(jìn)行裝配后，模型的整體質(zhì)量矩陣M與剛度矩陣K中每個元素分別擴大α3與α倍數(shù)。

根據(jù)以上分析，選取一個參考波長λ0，對應(yīng)的頻域分析角頻率為ω0，這時，模型的整體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣分別為K(λ0)和M(λ0)，其系統(tǒng)矩陣為

在第i次模擬中，波長為λi，其剛度矩陣與質(zhì)量矩陣分別為K(λi)和M(λi)，從而系統(tǒng)矩陣為

由前面的分析，可知

其中α=λi/λ0，因此，

通過式(12)，建立起了不同波長所對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣之間的簡易變換關(guān)系。只需要選取一個參考波長λ0，并得到整體的系統(tǒng)矩陣A(λ0)，然后，利用式(12)，即可得到任意波長λi時的系統(tǒng)矩陣A(λi)。在特定的頻域區(qū)間內(nèi)，細(xì)化分析頻點，獲得完整的SAW器件變頻后的導(dǎo)納響應(yīng)。當(dāng)波長改變時，這種計算方法大大減少了有限元的模擬計算時間，提高了HCT-FEM 用于SAW 器件模擬與變頻優(yōu)化時的計算效率。

3 仿真驗證

結(jié)合上述快速計算方法，利用HCT-FEM 實現(xiàn)同步單端SAW 諧振器的模擬與快速變頻過程。諧振器的襯底材料設(shè)置為42?YX鉭酸鋰，其材料參數(shù)由Kovacs 等[13]提出的方法計算獲得。電極材料為金屬鋁，密度為2700 kg/m3，泊松比為0.35，楊氏模量為70×109Pa。單電極參考單元模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示，其中IDT 根數(shù)為121，左右反射柵為40 根。

表2 單電極參考單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structure parameters of single electrode reference unit

依據(jù)表2中的結(jié)構(gòu)參數(shù)，首先建立波長為4 μm的參考單元FEM 模型，提取模型的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣，并構(gòu)建出其系統(tǒng)矩陣A0。當(dāng)波長調(diào)整為4.01 μm 時，波長的變化因子α為1.0025。利用式(12)直接獲得新的系統(tǒng)矩陣A1，該過程只包含簡單的矩陣乘法，計算速度很快。接著利用單元級聯(lián)算法，在950～1080 MHz之間，分別計算兩種波長的SAW 諧振器頻域響應(yīng)。圖4顯示了該有限長SAW諧振器的導(dǎo)納計算結(jié)果。圖中紅色線為HCT-FEM基于參考單元計算得到的諧振器導(dǎo)納幅值與實部；黑色線是利用快速變頻方法將波長為4.01 μm時的計算結(jié)果。從圖4中可知，參考模型的諧振頻率與反諧振頻率為987.7 MHz 與1027.2 MHz。當(dāng)波長調(diào)整為4.01 μm時，導(dǎo)納曲線的位置整體左移，諧振頻點與反諧振頻點出現(xiàn)在985.1 MHz 與1024.6 MHz，頻移的大小為2.6 MHz。兩者諧振點處幅值的微小差異來自于電極阻抗的變化。

圖4 SAW 諧振器的導(dǎo)納計算結(jié)果Fig.4 Calculation result of SAW resonator admittance

為進(jìn)一步驗證該快速變頻模擬方法的可靠性，利用有限元方法直接建立波長為4.01 μm時的基本單元，構(gòu)建其系統(tǒng)矩陣后，將單元邊界矩陣的級聯(lián)結(jié)果與快速變頻結(jié)果對比，如圖5所示。從圖5中可以看出，兩者吻合較好。

圖5 波長為4.01 μm 時的直接建模與快速變頻結(jié)果對比Fig.5 Comparison between the direct modeling and fast frequency change at IDT wavelength of 4.01 μm

在上述變頻模擬中，單根電極單元的FEM 模型自由度總數(shù)為3174，基本單元系統(tǒng)矩陣A的維度是3174×3174，消去模型內(nèi)部與前后側(cè)面上的自由度后，基本單元B矩陣的維度是512×512。快速變頻方法優(yōu)化前后的時間對比如表3所示。其中，優(yōu)化前的傳統(tǒng)方法完成單元模型一次FEM 分析的時間大致為10 s，單次數(shù)據(jù)傳輸?shù)臅r間為14.2 s。而在快速變頻方法中，用一次矩陣數(shù)乘代替了建模、分析、數(shù)據(jù)傳輸過程，單次矩陣乘數(shù)的時間為0.02 s，模擬效率得到顯著提升。所用的計算機主板配置為B360M，CPU 處理器為6 核i5-9400F，主頻率2.9 GHz。運行內(nèi)存為16.0 GB，內(nèi)存工作的主頻率為2666 MHz。

表3 快速變頻方法優(yōu)化前后的時間對比Table 3 Comparison of time before and after optimization by fast frequency conversion method

在SAW 器件參數(shù)設(shè)計中，往往存在著幾百次的優(yōu)化過程，即需要對幾百個波長值分別進(jìn)行模擬。利用本文快速計算方法，只需建立一個參考模型，該模型對應(yīng)著一個波長值，然后，利用式(12)可獲得任意波長的單元系統(tǒng)矩陣，該過程只涉及矩陣的簡易乘法，避免了需要對每一波長值進(jìn)行建模和相關(guān)處理過程，從而節(jié)省了大量的時間，模擬效率大大提升。

4 結(jié)論

本文研究了一種基于級聯(lián)有限元的聲表面波器件變頻快速模擬方法。在SAW 器件的級聯(lián)模擬算法中需要根據(jù)不同的波長分別建立FEM 單元模型，本文引入?yún)⒖疾ㄩL，建立了單元系統(tǒng)矩陣與波長變化的簡易函數(shù)關(guān)系。利用參考單元的FEM 模型實現(xiàn)了任意波長對應(yīng)單元系統(tǒng)矩陣的快速計算，提升了HCT-FEM 的快速變頻模擬效率，在SAW 的優(yōu)化設(shè)計中具有較強的實用價值。仿真結(jié)果驗證了該方法模擬的可靠性。在SAW 器件的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化中，存在波長增加，同時控制膜厚不變的情況，后續(xù)研究會圍繞這種情況開展進(jìn)一步研究。