基于極點(diǎn)配置的PMSM電流環(huán)PI控制器設(shè)計(jì)

許文波 焦瑋瑋 潘 龍

北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京 100076

0 引言

在運(yùn)載火箭/彈道導(dǎo)彈各分系統(tǒng)中，伺服機(jī)構(gòu)是運(yùn)載火箭/彈道導(dǎo)彈的關(guān)鍵組成部分。永磁同步電機(jī)(PMSM)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、重量輕、損耗小等優(yōu)點(diǎn)，機(jī)電伺服機(jī)構(gòu)組成簡(jiǎn)單，具有可靠性高、維護(hù)保養(yǎng)要求低，測(cè)試、使用方便等特點(diǎn)，因此在航天型號(hào)研制中得到了廣泛應(yīng)用[1-3]?；赑MSM的伺服控制系統(tǒng)是一個(gè)包含位置、轉(zhuǎn)速、電流環(huán)的多閉環(huán)系統(tǒng)。其中，作為最內(nèi)環(huán)的電流環(huán)決定著電流的跟蹤性能，響應(yīng)的快速性，直接影響PMSM的輸出電磁轉(zhuǎn)矩，進(jìn)而影響機(jī)電伺服機(jī)構(gòu)的性能。

在PMSM電流環(huán)控制方式上，近年來(lái)許多先進(jìn)的電流控制方法不斷被提出，如非線性預(yù)測(cè)控制、反推控制、模糊PI控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂频萚4-8]。工程中PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)多采用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、性能良好、對(duì)控制對(duì)象參數(shù)變化不敏感的PI控制器。因此，對(duì)于PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)比例積分(PI)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)和整定方法的研究極具工程價(jià)值。

PI控制器的參數(shù)整定方法通常分為2類(lèi)：1)基于實(shí)驗(yàn)的方法，如Ziegler-Nichols整定法；2)通過(guò)對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行建模，然后通過(guò)測(cè)量或辨識(shí)模型參數(shù)計(jì)算得到控制器參數(shù)。1984年Astrom和Hagglund首次提出了基于幅值裕度和相角裕度的PID參數(shù)自整定方法[9]。文獻(xiàn)[10]旨在通過(guò)幅值裕度和相位裕度獲得最佳閉環(huán)特性的PID參數(shù)。文獻(xiàn)[11]基于PMSM調(diào)速系統(tǒng)的頻域模型，推導(dǎo)出了電流環(huán)PI控制器參數(shù)Kp和Ki的解析計(jì)算式，通過(guò)這些解析式，實(shí)現(xiàn)設(shè)定的期望開(kāi)環(huán)截止頻率和相位裕度，但并未考慮系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布及對(duì)系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[12]研究了基于主導(dǎo)極點(diǎn)和相位裕度的PID整定算法，通過(guò)在控制器的零點(diǎn)配置主導(dǎo)極點(diǎn)的方式得到PID整定式，但未考慮系統(tǒng)零點(diǎn)的影響。文獻(xiàn)[13]未考慮系統(tǒng)零點(diǎn)對(duì)階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量的影響。文獻(xiàn)[14]提出了通過(guò)對(duì)PI控制參數(shù)取值的約束進(jìn)行零極點(diǎn)抵消的方法，但控制參數(shù)的取值受到了限制。

本文通過(guò)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析，推導(dǎo)了零極點(diǎn)抵消的條件，確定系統(tǒng)極點(diǎn)的形式，再根據(jù)期望的系統(tǒng)帶寬及超調(diào)確定期望極點(diǎn)并進(jìn)行PI參數(shù)設(shè)計(jì)。通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了本文提出方法的正確性，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用參考價(jià)值。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮SISO系統(tǒng)，對(duì)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

(1)

其中，A為n×n常陣，B為n維列向量，C為n維行向量；u為對(duì)系統(tǒng)施加的控制，若u取為系統(tǒng)狀態(tài)x的線性函數(shù)和一個(gè)輸入向量v，可表示為

u=-Kx+v

(2)

式中，K=[K1,K2,…,Kn]為n維行向量。

代入式(1)，得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(3)

通過(guò)(1)、(3)兩式比較，所謂極點(diǎn)配置，就是通過(guò)選擇反饋矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)特性。而控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通常是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的品質(zhì)要求，規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)應(yīng)有的分布情況。

由現(xiàn)代控制理論可知，線性定常系統(tǒng)(1)可通過(guò)狀態(tài)變量反饋來(lái)任意配置其全部極點(diǎn)的充要條件是該系統(tǒng)為完全能控的。因此，對(duì)于一個(gè)完全能控的線性系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題，實(shí)際上轉(zhuǎn)化為求解狀態(tài)反饋增益矩陣K。

引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)(3)的特征方程可以寫(xiě)成

|sI-A+BK|=sn+α1sn-1+…+αn=0

(4)

設(shè)給定的閉環(huán)系統(tǒng)的n個(gè)所期望的極點(diǎn)是(λ1,λ2，…，λn)，則有

(5)

分別令αi=βi(i=1，2，…，n)則可求解狀態(tài)反饋增益矩陣K。

2 PMSM電流環(huán)數(shù)學(xué)模型

2.1. PMSM的數(shù)學(xué)模型

在分析永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，常做如下假設(shè)：

1)忽略磁路飽和，不計(jì)鐵心中的渦流和磁滯損耗；

2)三相繞組對(duì)稱(chēng)，在空間上互差120°電角度；

3)轉(zhuǎn)子上沒(méi)有阻尼繞組，永磁體也沒(méi)有阻尼作用；

4)氣隙磁場(chǎng)呈正弦分布，忽略高次諧波的影響。

在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，Ld=Lq=L，采用id=0控制，PMSM的電壓方程、轉(zhuǎn)矩方程以及機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程可分別表示如下：

(6)

(7)

(8)

式中，ud，uq為d、q軸電壓；iq為q軸電流；ψf為永磁體磁鏈；R，L為定子繞組電阻和電感；Ke為電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；ω為電機(jī)的機(jī)械角速度，Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；b為粘滯摩擦系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2.2 PMSM電流環(huán)PI控制

作為數(shù)字控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的電流環(huán)，主要實(shí)現(xiàn)d、q軸電流的快速跟隨及電流限幅，其采樣頻率遠(yuǎn)高于速度環(huán)采樣頻率，具有較高的控制環(huán)路帶寬，在本文中設(shè)逆變器的電壓增益為Kinv，忽略濾波器及逆變器動(dòng)態(tài)特性對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速特性的影響，電流和速度控制器均采用經(jīng)典PI結(jié)構(gòu)，即

(9)

綜合式(6)～(9)，可以得到PMSM電流環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 PMSM電流環(huán)PI控制框圖

2.3 PMSM電流環(huán)PI控制系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

圖2 忽略反電動(dòng)勢(shì)PMSM電流環(huán)PI控制框圖

iq=x1

(10)

寫(xiě)成矩陣形式

(11)

3 基于極點(diǎn)配置的PI控制參數(shù)設(shè)計(jì)

3.1 電流環(huán)能控性分析

由式(10)～(11)可知，通過(guò)狀態(tài)變量的選取，PMSM電流環(huán)PI控制系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換為全狀態(tài)反饋控制問(wèn)題。系統(tǒng)(10)可通過(guò)狀態(tài)變量反饋來(lái)任意配置其全部極點(diǎn)的充要條件是該系統(tǒng)為完全能控的，即

rank[B?AB]=2

(12)

對(duì)于本文考慮的SISO系統(tǒng)，式(12)等價(jià)于

det([B?AB])≠0

(13)

3.2 電流環(huán)的零極點(diǎn)分析

(14)

其中,I為單位矩陣，將矩陣代入并經(jīng)化簡(jiǎn)，其零、極點(diǎn)特征方程分別為

kcps+kci=0

(15)

Ls2+(R+Kinvkcp)s+Kinvkci=0

(16)

對(duì)比式(9)和(15)，該零點(diǎn)正是由PI控制器引入的電流環(huán)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，進(jìn)而成為閉環(huán)零點(diǎn)，該零點(diǎn)為一負(fù)實(shí)零點(diǎn)，如下

(17)

電流環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)為

(18)

由式(18)可知，PI控制器的比例增益kcp決定了電流環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離，即決定了電流環(huán)的快速性；積分增益kci決定了電流環(huán)極點(diǎn)的虛部和閉環(huán)零點(diǎn)，極點(diǎn)虛部影響系統(tǒng)的超調(diào)和振蕩；電流環(huán)閉環(huán)零點(diǎn)的存在會(huì)縮短電流環(huán)的調(diào)節(jié)時(shí)間和增大其超調(diào)。

電機(jī)控制中，為了獲得良好的快速性，電流環(huán)極點(diǎn)與虛軸應(yīng)有一定距離，kcp不宜太小，也允許電流環(huán)存在一定的超調(diào)。但需避免電流環(huán)超調(diào)引起的大電流沖擊電力電子器件，系統(tǒng)的阻尼比仍然不能太小，kci不能太大。

先討論電流環(huán)控制系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：

假設(shè)存在一組控制參數(shù)kcp,kci，使得電流環(huán)控制系統(tǒng)存在一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則

(R+Kinvkcp)2<4LKinvkci

(19)

(20)

再假設(shè)該系統(tǒng)的一對(duì)極點(diǎn)為pc1,2=-a±jb，其中a正實(shí)數(shù)，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，代入特征方程式(15)可得其零點(diǎn)如下

(21)

對(duì)具體電機(jī)而言，R和L確定，故為獲得快速的調(diào)節(jié)過(guò)程，電流環(huán)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)距離虛軸不能太近，通常存在a>R/L。由于閉環(huán)零點(diǎn)的存在，為了有效抑制電流環(huán)超調(diào)，系統(tǒng)阻尼比不能太小，當(dāng)系統(tǒng)阻尼比大于0.707時(shí)有a>b，此時(shí)有

(22)

式(22)表明，閉環(huán)零、極點(diǎn)與虛軸距離之比小于2，因此閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響不能忽略；同時(shí)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)又無(wú)法與閉環(huán)零點(diǎn)抵消。

由自動(dòng)控制原理可知，此時(shí)電流環(huán)將存在較大超調(diào)振蕩。

再討論電流環(huán)控制系統(tǒng)具有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)的情況：

設(shè)該系統(tǒng)的一對(duì)極點(diǎn)為pc1=-a和pc2=-b，其中a、b均為正實(shí)數(shù)，且a>b，則下式成立

(23)

比較系統(tǒng)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系有

(24)

由式(24)可知

1)當(dāng)b>R/L時(shí)，閉環(huán)零點(diǎn)位于兩極點(diǎn)右側(cè)；

2)當(dāng)b=R/L時(shí)，閉環(huán)零點(diǎn)與一極點(diǎn)重合；

3)當(dāng)b

在理想情況下，不考慮SVPWM電源逆變器控制周期、開(kāi)關(guān)延遲、死區(qū)時(shí)間、濾波網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字控制延時(shí)等，根據(jù)零、極點(diǎn)的相對(duì)位置，當(dāng)b≤R/L時(shí)，電流環(huán)無(wú)超調(diào)。但實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，系統(tǒng)存在開(kāi)關(guān)延遲等非理想因素，可適當(dāng)將b值取得小一些，但b值太小可能會(huì)導(dǎo)致電流環(huán)跟蹤存在靜差，或跟蹤速度過(guò)慢。

進(jìn)一步分析式(24)有

(25)

若b≈R/L或a?b，為了保證系統(tǒng)的快速性有a?R/L，則下式成立

zc-pc2≈0

(26)

式(26)表明，通過(guò)對(duì)電流環(huán)極點(diǎn)配置，基本可以抵消閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)電流環(huán)性能的影響，電流環(huán)的性能取決于極點(diǎn)pc1=-a，在研究速度環(huán)時(shí)，若把電流環(huán)等效為一階慣性環(huán)節(jié)，其閉環(huán)帶寬ωcb=a(rad/s)。

3.3 電流環(huán)的極點(diǎn)配置及PI參數(shù)設(shè)計(jì)

逆變器工作時(shí)易產(chǎn)生復(fù)雜的開(kāi)關(guān)諧波，為了避免引入干擾，希望開(kāi)關(guān)諧波處于系統(tǒng)的高頻段，即開(kāi)關(guān)頻率應(yīng)大于10ωcb，即

(27)

式中Tinv為逆變器控制周期。

(28)

則

(29)

實(shí)際系統(tǒng)中存在多種非理想環(huán)節(jié)，在進(jìn)行電流環(huán)極點(diǎn)配置時(shí)對(duì)a的取值可保守一些，以保證電流環(huán)的穩(wěn)定裕量。

綜上，電流環(huán)極點(diǎn)配置的原則和步驟為

1)根據(jù)期望的速度環(huán)閉環(huán)帶寬及逆變器的控制周期確定其遠(yuǎn)極點(diǎn)，保留一定的穩(wěn)定裕量，保證電流環(huán)不產(chǎn)生振蕩；

2)選擇和調(diào)整其近極點(diǎn)，使電流環(huán)的跟蹤速度、跟蹤靜差和超調(diào)量滿(mǎn)足要求；

3)根據(jù)期望極點(diǎn)，按式(23)計(jì)算kcp和kci。

4 仿真結(jié)果

利用Matlab中的SIMULINK模塊進(jìn)行仿真，仿真使用如圖2所示的PMSM電流環(huán)PI控制系統(tǒng)。

電機(jī)參數(shù)按某型PMSM實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行選取，具體如下：

L=0.002H，R=0.292Ω，J=1.2×10-4kg·m2，bm=0.000 015Nm·s，Kt=0.225Nm/A，Ke=0.149V·rad/s；取逆變器放大系數(shù)Kinv=158.4V。

其電氣時(shí)間常數(shù)為

Te=L/R=0.0067=1/149(ms)

(30)

首先按一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)配置進(jìn)行仿真驗(yàn)證，為了驗(yàn)證系統(tǒng)具有較大的超調(diào)量，在極點(diǎn)配置時(shí)取極點(diǎn)的阻尼比ζ=0.95，由表1可以看出，在共軛復(fù)極點(diǎn)配置策略下，系統(tǒng)存在一個(gè)較大極點(diǎn)，kci取值較大，盡管所配置極點(diǎn)阻尼比很大，但由于系統(tǒng)零點(diǎn)無(wú)法與極點(diǎn)進(jìn)行抵消，因此系統(tǒng)存在較大的超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。圖3為共軛復(fù)極點(diǎn)配置策略下的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。

表1 共軛復(fù)極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)參數(shù)

圖3 共軛復(fù)極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

表2和圖4分別為固定遠(yuǎn)極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)參數(shù)和階躍響應(yīng)曲線，將系統(tǒng)遠(yuǎn)極點(diǎn)取固定值pc1=-a=-2000；與表1結(jié)果相比，得到的kci參數(shù)均較小，隨著近極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，kci取值逐步增大，系統(tǒng)零點(diǎn)也遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)響應(yīng)加快；在此策略下系統(tǒng)的近極點(diǎn)pc2和零點(diǎn)zc基本重合，當(dāng)近極點(diǎn)pc2=-R/L=-149時(shí)，與系統(tǒng)零點(diǎn)重合，系統(tǒng)達(dá)到臨界超調(diào)狀態(tài)；當(dāng)極點(diǎn)與虛軸太近時(shí)，積分效果不明顯，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)。

表2 固定遠(yuǎn)極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)參數(shù)

圖4 固定遠(yuǎn)極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

表3 和圖5為固定近極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)參數(shù)和階躍響應(yīng)曲線，隨著極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，kcp，kci都逐漸增大，系統(tǒng)響應(yīng)加快，因近極點(diǎn)pc2=-R/L=-149，系統(tǒng)均未出現(xiàn)超調(diào)，但當(dāng)電流環(huán)達(dá)到一定帶寬后，再繼續(xù)增大對(duì)系統(tǒng)快速性影響不大，反而會(huì)因電源逆變器控制周期、死區(qū)等非理想環(huán)節(jié)，降低電流環(huán)的穩(wěn)定裕量。

表3 固定近極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)參數(shù)

圖5 固定近極點(diǎn)配置策略下系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖6 為用一階慣性環(huán)節(jié)代替非理想環(huán)節(jié)的電流環(huán)階躍響應(yīng)曲線，由于非理想環(huán)節(jié)的存在導(dǎo)致pc1=-2500時(shí)，電流環(huán)出現(xiàn)超調(diào)，通過(guò)調(diào)整任一極點(diǎn)均可避免系統(tǒng)超調(diào)，但相比之下，調(diào)整pc2能夠有效消除系統(tǒng)的超調(diào)，且對(duì)系統(tǒng)的快速性影響不大。

圖6 考慮非理想環(huán)節(jié)的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

綜上，仿真結(jié)果表明：當(dāng)電流環(huán)配置一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí)，將產(chǎn)生較大超調(diào)；驗(yàn)證了本文提出的通過(guò)零極點(diǎn)抵消的極點(diǎn)配置方法能夠有效抑制或消除系統(tǒng)的超調(diào)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)PMSM電流環(huán)PI控制，提出了一種極點(diǎn)配置方法，通過(guò)分析推導(dǎo)了系統(tǒng)零極點(diǎn)抵消的條件，并根據(jù)期望極點(diǎn)確定PI控制參數(shù)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出整定算法可行有效。該方法簡(jiǎn)潔明了、算法物理意義明確，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用和推廣價(jià)值。