指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形直觀掌握算理的策略研究

朱寧

“圖形”不僅在“圖形與幾何”領(lǐng)域有著廣泛運(yùn)用，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域同樣發(fā)揮著重要的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)的運(yùn)算包括“加、減、乘、除”四則運(yùn)算和幾種運(yùn)算律等。要使學(xué)生能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算，就必須理解運(yùn)算的算理，弄清運(yùn)算的規(guī)則。在教學(xué)中尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，運(yùn)用圖形選用直觀、生動、有效的方法，是講明算理、深化認(rèn)識的有效途徑。

下面就結(jié)合課例，說明幾何直觀在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中的運(yùn)用。

小學(xué)低年級教學(xué)認(rèn)數(shù)都是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，特別是學(xué)習(xí)加減法時，往往借助小棒來幫助學(xué)生理解算理。

在一年級學(xué)習(xí)100以內(nèi)的加法時，學(xué)生想到用小棒來擺一擺，擺小棒是學(xué)生最常想到的小數(shù)據(jù)計算方法，在計算較大數(shù)時擺小棒不方便，需要借助豎式。學(xué)生初次接觸豎式，教師根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)，把小棒圖淡化置于豎式底層，學(xué)生一目了然，捆和捆相加，單獨(dú)根數(shù)再相加，相同數(shù)位對齊，結(jié)果很快就出來了。

把算式中的數(shù)和具體的小棒圖結(jié)合起來，讓學(xué)生看圖說出計算方法，把算式形象化，更加有效地理解了100以內(nèi)加法的算理，學(xué)生懂了算理，到二年級就會把這個算理拓展到更大的數(shù)據(jù)計算領(lǐng)域。

在《有趣的乘法計算》中，教師出示一組算式讓學(xué)生觀察：

13×17=221? ? 35×35=1225? ? ?56×54=3024

學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)這是十位相同，個位互補(bǔ)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)（簡稱頭同尾合十）。

這樣特殊的算式有巧算的方法，即積的末兩位是乘數(shù)個位相乘的結(jié)果，積百位和千位的數(shù)是乘數(shù)的十位乘比十位大1的數(shù)。在發(fā)現(xiàn)巧算的秘密后，學(xué)生不禁發(fā)問：為什么可以這樣計算呢？

老師借助圖形，以形助數(shù)，結(jié)合13×17豎式計算的過程，先算3×7，有3行，每行7個小格子，用格子的個數(shù)來表示橫式的得數(shù)。3×10、7×10、10×10都用相應(yīng)個數(shù)的格子來表示。因為都有乘10，所以將表示3×10、7×10、10×10三個方格部分進(jìn)行整合，組合成20個10，即10×20=200，兩個乘數(shù)個位的數(shù)（3，7）分別和十位上的數(shù)相乘，多出10×十位，再加上原來的十位×十位，即有了（十位+10）×十位。而乘數(shù)的個位×個位，結(jié)果為兩位數(shù)或一位數(shù)，正好是積的個位和十位。

方格圖將無形的算理變得有形，學(xué)生溝通了圖和豎式之間的聯(lián)系，有了表象的支撐，用直觀的圖式來理解抽象的算理。學(xué)生能夠既知其然，又知其所以然，也可以獲得對規(guī)律的深層次理解。

乘法分配律是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)，因為它不僅涉及加法計算，還包括乘法運(yùn)算，學(xué)生很難理解規(guī)則的內(nèi)涵。很多老師根據(jù)教材中的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用兩種列式方法解答，一般學(xué)生易觀察出兩個算式的特點(diǎn)，再列幾組這樣的算式，從而歸納出乘法分配律。學(xué)生對于這種發(fā)現(xiàn)共同特征并歸納出的規(guī)律是模糊的，在應(yīng)用中不知道算式中幾個數(shù)之間的關(guān)系，對于乘法和加法兩種運(yùn)算也會產(chǎn)生混淆。但如果借助直觀的圖示，在學(xué)生頭腦中留下表象，那么學(xué)生對規(guī)則的掌握不再是死記硬背，而是深刻理解。

教學(xué)中，教師提出問題：果園種果樹，桃樹種4行，每行4棵;梨樹種4行，每行6棵，一共種了多少棵？解決這樣的應(yīng)用題對于四年級學(xué)生沒有難度，并且很容易就能想出兩種解決方法。但是如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中隱藏的運(yùn)算律呢？引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法表示題意（如圖），利用幾何直觀，是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的好方法。此時，教師的教學(xué)重點(diǎn)是借助圖形，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種列式之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，從而引出乘法分配律。 在此過程中，幾何直觀發(fā)揮了巨大的作用，減小了學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法分配律的難度。

上述教學(xué)方法利用幾何直觀，將圖形與代數(shù)充分結(jié)合。首先引導(dǎo)學(xué)生借形描數(shù)——畫圖表示并且分析問題，從而發(fā)現(xiàn)乘法分配律;再由形取數(shù)，逐步抽象，提取出乘法分配律的直觀模型。抽象的算式與具體的問題相結(jié)合，學(xué)生理解了乘法分配律的內(nèi)涵，如此教學(xué)，使乘法分配律有形可想、有意可尋。

本文從加法計算、乘法計算、運(yùn)算律三個類型論述了圖形在“數(shù)與代數(shù)”中的運(yùn)用。其實(shí)，在分析數(shù)量關(guān)系、倒推策略等方面，幾何直觀也有著廣泛的運(yùn)用。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)戰(zhàn)線的一位新人，筆者的教學(xué)經(jīng)驗還不夠豐富，本文對圖形幫助理解算理教學(xué)的論述只是一次“初探”，認(rèn)識還不夠到位、論述也不夠全面，但在今后的教學(xué)道路上，我一定加強(qiáng)相關(guān)理論的學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中不斷探索，探尋幾何直觀教學(xué)的更大價值。