非自治時(shí)滯脈沖Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的p-階矩指數(shù)穩(wěn)定性

李 蕾

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 安徽 淮北 235000)

Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(CGNNs)自提出以來很快在理論研究和工程應(yīng)用中引起了廣泛關(guān)注.穩(wěn)定性是其關(guān)鍵特性之一，已受到不同領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[1-5].例如，Cao[6]得出了時(shí)變時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性判據(jù).Shen[7]和Zhu[8]討論了模型的指數(shù)穩(wěn)定性. Sun[9]和Cao[10]研究了非線性時(shí)滯系統(tǒng)以及混合脈沖隨機(jī)微分系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性.由于在神經(jīng)處理過程中存在時(shí)間延遲，因此在建模時(shí)有必要引入時(shí)滯.Liao[11]和Zhang[12]的研究表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會(huì)因?yàn)橐恍┩獠枯斎攵淖儬顟B(tài),這也說明了時(shí)滯對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性狀態(tài)的重要干擾作用.在實(shí)際中，突然變化是瞬時(shí)發(fā)生，不能用純粹的連續(xù)或離散模型來描述,需要引入一種新型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，作為對此類現(xiàn)象的適當(dāng)描述.Xu[13]和Li[14]研究脈沖模型的全局指數(shù)穩(wěn)定性以及脈沖非自治系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性,為以后的論斷奠定了理論基礎(chǔ).

1 預(yù)備知識(shí)

基于馬氏切換的脈沖時(shí)滯CGNNs

r(t)為在M={1,2,…,m}取值的右連續(xù)的馬氏鏈.系統(tǒng)各模型之間的轉(zhuǎn)換概率為

為了證明結(jié)論成立，作出以下假設(shè)

xdi(x,r)≥di(r)x2.

|fi(s1)-fi(s2)|≤Fi|s1-s2| .

則系統(tǒng)(1)是p-階矩指數(shù)穩(wěn)定的，其中p≥2為正常數(shù).

首先介紹引理.

(1)

(2)

若初始條件滿足

(3)

(4)

首先證明對于任意的正常數(shù)ε以及i=1,2,…,n，有

(5)

其中，K*=Kexp(ετ).

若式(5)不成立那么根據(jù)Ui(t)的右連續(xù)性，存在常數(shù)t*≥t0以及常數(shù)m，使

Um(t*)=yε(t*)，D+Um(t*)≥D+yε(t*) ，

(6)

(7)

成立.

另一方面，根據(jù)Um(t)的定義可得

從而有

(x(t*),r(t*))+

繼而可得

與(6)矛盾，所以式(5)成立，對于一切t≥t0令ε→0，從而可以得到

即

證畢.

2 主要結(jié)論

定理1若以下假設(shè)都成立：

其中，

所以有

由H?lder不等式，可以得到

進(jìn)一步可得

用數(shù)學(xué)歸納法證明對于所有的t≥t0，有

所以

由引理1可得

假設(shè)對一切m=1,2,…,k，有不等式

qik(x1((tk-τi1(tk))-),x2((tk-τi2(tk))-),…,xn((tk-τin(tk))-))]p≤

xj((tk-τ(tk))-)|p=

由數(shù)學(xué)歸納法，得

根據(jù)引理1可得

證畢.

注1：當(dāng)r(t)為常數(shù)時(shí)，隨機(jī)微分延遲系統(tǒng)退化為確定性系統(tǒng)，引理1中不等式退化為傳統(tǒng)的Halanay不等式因此，傳統(tǒng)Halanay不等式是引理1的特例，所以引理1所研究的范圍更廣泛.

注2：本文所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是非自治，當(dāng)退化為自治系統(tǒng)時(shí)，其判斷依據(jù)為

3 數(shù)值例子

令p=2，n=2，考慮以下模型

馬氏鏈及各項(xiàng)參數(shù)分別為

f(x)=0.25x xR,h1(x1(t))=1+0.5sin(x1(t)),h2(x2(t))=1+0.5sin(x2(t))[0.5,1.5]，τ(t)=sin≤1=τ,tk-tk-1=0.3k .

1) 若pik(x1,x2)=xi,qik(x1,x2)=2，對于任意的i=1,2,…,n，k=1,2,…,通過計(jì)算可以得到

令λ(t)=0.1，可以得到

顯然，結(jié)果滿足引理1的條件，因此由引理1可知該CGNNs是p-階矩指數(shù)穩(wěn)定.

2) 若

p1k(x1,x2)=0.25 exp(0.02k)x1-0.1 exp(0.02k)x2,

p2k(x1,x2)=-0.25 exp(0.02k)x1+0.18 exp(0.02k)x2,

q1k(x1,x2)=0.25 exp(0.02k)x1,q2k(x1,x2)=-0.25 exp(0.02k)x2,

對于任意的i=1,2,…,n,k=1,2,…，則由假設(shè)可計(jì)算出

令λ(t)=0.1，可以得到

所以對于任意的k=1,2,…，有

δk=exp(0.04k)≥max{1,exp(0.04k)(0.623+0.25 exp(0.2))},

由引理1得證模型的p-階矩指數(shù)穩(wěn)定性.

4 小 結(jié)