試論初中幾何類比探究題型的教學(xué)策略

黃宜海

（廣東省深圳市深圳中學(xué)初中部數(shù)學(xué)科組，廣東深圳 518020）

引 言

“類比探究”指的是從某個(gè)或某幾個(gè)對(duì)象本身的內(nèi)容、方法、過程和結(jié)果出發(fā)進(jìn)行相關(guān)類比和聯(lián)想，將熟知的數(shù)學(xué)對(duì)象的特性遷移到另一個(gè)對(duì)象，從而獲得某種特性的方法[1]。幾何類比探究題就是建立在這種類比思想方法之上的題型。初中階段的幾何類比探究題型主要有圖形變化引起的類比、圖形變換引起的類比以及動(dòng)點(diǎn)引起的類比三種。本文研究了初中幾何類比探究題型的教學(xué)策略。

一、幾何類比探究題的特征

初中數(shù)學(xué)類比探究題型具有主觀性、拓展性和創(chuàng)新性等特點(diǎn)，其具體表現(xiàn)為以下幾個(gè)主要特征：題目一般會(huì)有三問或多問；每問給出的條件、圖形、結(jié)論等相識(shí)度較高，關(guān)聯(lián)密切；題目給出的情況一般由特殊到一般，或由簡單到復(fù)雜，逐步深入；題目解答的過程需要綜合運(yùn)用大量幾何知識(shí)、幾何模型、類比思想、邏輯推理、探究和創(chuàng)新精神等[2]。

類似于以下例題的問題即可判斷為幾何類比探究題型。

例1：如圖1，在Rt △ABC中，∠B＝90°，BC＝2BA＝8，點(diǎn)D, E分別為CB和CA的中點(diǎn)，再把DE連接起來，將△CED繞點(diǎn)C按照順時(shí)針方向?qū)ζ溥M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)的角度標(biāo)記為角α（見圖2）。問：

（3）當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD的長。

圖1

圖2

二、初中生解答類比探究題的具體困難

（一）基礎(chǔ)知識(shí)缺乏靈活應(yīng)用，數(shù)學(xué)邏輯間類比受阻

類比探究題型有填空、計(jì)算、證明等多種形式。有些學(xué)生在解答這類題型時(shí)，由于基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，不能結(jié)合已知條件，將幾何模型的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)與內(nèi)在邏輯結(jié)合起來思考，不能厘清其中的關(guān)系而無法解答問題[3]。例如，有的學(xué)生不能區(qū)別菱形與平行四邊形的差異；已知圖形的邊和面積，無法求高等，這些都是因?yàn)槠湮茨苷_理解、掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)概念、定理，邏輯思維能力欠缺。

（二）類比不當(dāng)導(dǎo)致解題策略選擇失誤

在集合圖形的計(jì)算或推理過程中的類比不當(dāng)，或者不能恰到好處地類比，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段常見的困難。類比不當(dāng)產(chǎn)生的問題關(guān)鍵在于學(xué)生依據(jù)題目所提供的條件或圖形，在自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中找不到與之相對(duì)應(yīng)的解題方法，或者建立不起來相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，出現(xiàn)類比障礙。具體來說，一種情況是學(xué)生不能用上一個(gè)問題的方法通過類比的手段來解決下一個(gè)問題；另一種情況是學(xué)生將兩個(gè)問題結(jié)合起來分析，找不出其中的類比依據(jù)，形成類比不當(dāng)，導(dǎo)致解題策略的選擇失誤，解不出題或解題錯(cuò)誤。

（三）探究不當(dāng)導(dǎo)致操作困難

類比探究題一般是綜合性的壓軸題，考查的知識(shí)面比較廣。在幾何圖形的計(jì)算或推理過程中，學(xué)生需要使用數(shù)學(xué)語言、推理和證明等探究性的知識(shí)、方法和手段[4]。初中生如果缺失這些主動(dòng)研究數(shù)學(xué)的探究精神，未掌握一定的方法，無法建立科學(xué)合理的類比探究過程、操作不當(dāng)，就會(huì)在運(yùn)作階段遇到困難。此外，還有一些心理方面的因素也極容易造成學(xué)生操作不當(dāng)，從而產(chǎn)生困難和錯(cuò)誤。

三、初中數(shù)學(xué)類比探究題的教學(xué)策略

（一）把握好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和解題技能

對(duì)于數(shù)學(xué)類比探究題型來說，每一個(gè)解答步驟都比較關(guān)鍵，學(xué)生需要依據(jù)解題邏輯逐步完成。而這些小步驟是由具體的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)組成的。因此，在教學(xué)中，教師不僅要強(qiáng)調(diào)定義、定理、概念等基礎(chǔ)知識(shí)的重要性，幫助學(xué)生理解透徹，還要在傳授幾何知識(shí)的過程中就其特性歸納、分類常見的題型，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合的思維能力。

以上文中例題1（見圖1）的解答為例，試題的考點(diǎn)為三角形、旋轉(zhuǎn)相似和比例線段。這就需要學(xué)生掌握上述幾個(gè)幾何圖形的基本知識(shí)、性質(zhì)和變化特點(diǎn)。該題的綜合性極強(qiáng)，充分展現(xiàn)了如何運(yùn)用類比探究方法解決問題的特點(diǎn)。問題（1）解決后，問題（2）即可隨之順利解出。而問題（3）是利用類比探究法解決問題，并得到一般性的解題結(jié)論，值得總結(jié)和作為將來的解題參考。這一類類比探究題型解題的一般方法可以歸結(jié)為以下幾個(gè)步驟：首先，讀題，結(jié)合題干和分支特殊條件，解決第一個(gè)問題；其次，利用第一個(gè)問題的解題方法類比解決下一問題；最后，結(jié)合分析、類比、結(jié)構(gòu)、圖形等性質(zhì)，找出后面各小題的異同，依據(jù)不變的特性，探索后面較為復(fù)雜題目的解題方法。

（二）提升數(shù)學(xué)題目的閱讀和理解力

培養(yǎng)細(xì)心讀題和認(rèn)真思考的習(xí)慣，是正確解答數(shù)學(xué)題的基礎(chǔ)。學(xué)生如果沒有讀懂題目，僅憑經(jīng)驗(yàn)答題；或者沒弄明白試題中的條件和出題意圖，就很難快速找到解題方法，正確解出相應(yīng)題目[5]。要想認(rèn)真閱讀數(shù)學(xué)題目，學(xué)生就要將題目中的條件、圖像、輔助線、結(jié)論（問題）等了解清楚，然后回憶相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和模型，探尋類比方法，理解試題的意圖，找到解題的突破口。這些閱讀和理解能力，需要學(xué)生平時(shí)的日積月累，通過熟記和引申，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同時(shí)，答題過程要符合數(shù)學(xué)邏輯與思維，不能任由自己的意愿亂寫。學(xué)生要盡量做好難題、錯(cuò)題的筆記，并有意識(shí)地與原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比，把自己的思路清晰、整潔地書寫出來，從而使答題過程完整且整潔。

（三）培養(yǎng)類比的數(shù)學(xué)思想方法，分享解題技巧

培養(yǎng)類比的數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)和技能有效結(jié)合，并轉(zhuǎn)化成各種能力，也有利于學(xué)生加強(qiáng)記憶，便于今后的學(xué)習(xí)[6]。當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教材中還有一部分概念、公式和定理沒有給出具體的推理。因此，教師要在實(shí)際教學(xué)中讓學(xué)生參與知識(shí)的推理、探索和結(jié)果的呈現(xiàn)，并在這一過程中推動(dòng)師生、生生之間的交流與溝通，分享解題技巧，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考的能力。同時(shí)，教師還要結(jié)合實(shí)際生活中的問題，分析類比探究方法在其中的應(yīng)用范圍，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提升。

結(jié) 語

幾何類比探究題是初中數(shù)學(xué)中極為常見且重要的一類題。教師要引導(dǎo)初中生掌握一定的解題技巧和方法，學(xué)會(huì)從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象的領(lǐng)悟中逐漸積累經(jīng)驗(yàn)，在面對(duì)陌生問題時(shí)能夠有目的、合理化地進(jìn)行“類比”和大膽“猜想”，深入分析和處理好這類探究性問題，并在特定的知識(shí)背景和情境下嘗試創(chuàng)新，逐漸形成針對(duì)實(shí)際情況處理并解決問題的科學(xué)的思路和方法。