一種基于QR 分解的觀測矩陣優(yōu)化方法*

周琦賓 ，吳 靜 ，2，余 波

(1.西南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，四川 綿陽 621000；2.西南科技大學(xué) 特殊環(huán)境機器人技術(shù)四川省重點實驗室，四川 綿陽 621000)

0 引言

壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)是一種有別于傳統(tǒng)Shannon-Nyquist 采樣定理的信號欠采樣理論。該理論指出，對于稀疏或可壓縮信號，可以通過線性投影的方式將大部分信號的信息投射在低維空間，然后利用非線性解碼的算法將信號恢復(fù)到原始狀態(tài)。

CS 方法被廣泛應(yīng)用于無線通信、模式識別和雷達成像等領(lǐng)域。觀測矩陣的設(shè)計是CS 方法的關(guān)鍵研究內(nèi)容之一，構(gòu)造性能良好的觀測矩陣對于信號的壓縮觀測以及重構(gòu)都起到了至關(guān)重要的作用[1]?，F(xiàn)有的文獻對觀測矩陣的約束條件展開了一系列的探究，文獻[2]中闡述了限制性等距原則(Restricted Isometry Property，RIP)；文獻[3]提出利用零空間性質(zhì)作為觀測矩陣的約束條件，但由于觀測矩陣是否具備約束條件難以準確判斷，往往需要涉及組合復(fù)雜度的相關(guān)問題，因此該方法的實際應(yīng)用具有一定難度。

文獻[4]中為有效測量觀測矩陣性能，將矩陣和稀疏基間的互相關(guān)性當做衡量標準，相關(guān)性越低，信號適應(yīng)的稀疏度范圍越大，精確重建信號所需觀測值的數(shù)目越少；文獻[5]主要以Gram 矩陣為基礎(chǔ)偽逆求解觀測矩陣，該研究采用了閾值函數(shù)，其中的收縮因子能夠根據(jù)需要進行調(diào)節(jié)，但是這種方法比較耗時，在收縮過程中可能會產(chǎn)生絕對值較大的相關(guān)系數(shù)；文獻[6]中ABOLGHASEMI V 首次提出利用梯度下降法使得Gram 矩陣逼近單位陣，但是該算法收斂速度較慢并且可能陷入局部最優(yōu)；文獻[7]提出使用矩陣特征值分解對觀測矩陣進行優(yōu)化，將特征值分解后的Gram 矩陣的特征值取平均值，然后間接優(yōu)化Gram 矩陣的非對角線元素，該方法在一定程度上能夠降低矩陣的整體互相干性，但是在使用某些恢復(fù)算法(如SP 算法)的情況下，可能無法重建原始信號，在適用范圍上有一定的局限性。

文獻[8]的研究表明，重構(gòu)算法要想準確地實現(xiàn)恢復(fù)信號的目的，必須滿足的條件是使觀測矩陣列向量具備一定的線性獨立性，而且越強的獨立性能夠保證重建信號具有越高的質(zhì)量。

通過梳理相關(guān)研究理論，本研究借助于QR 分解的方式提高觀測矩陣列向量的獨立性，并將QR 分解與自適應(yīng)梯度下降觀測矩陣優(yōu)化算法相結(jié)合，提出了一種Gram 矩陣優(yōu)化算法，并在實驗上對該方法的可行性進行驗證。

1 壓縮感知理論框架

由CS 理論，信號y 能夠稀疏表示為：

其中，α∈RM×1為稀疏信號；Ψ∈RM×L為稀疏基；Φ∈RM×N為投影矩陣；y∈RM×1為觀測信號。同時D=ΦΨ 為觀測矩陣，需要滿足限制性等距原則。由于M＜＜N，可以同時實現(xiàn)信號壓縮和采樣，大大減少了采樣量，從而降低了數(shù)據(jù)的傳輸壓力。

把壓縮感測理論應(yīng)用于實踐操作，需要從觀測到的信號y 重建原始信號，這被稱為信號重建過程，其原始模型為：

然而，對l0范數(shù)問題的求解是NP-hard 的，運算量十分巨大，因此無法在實踐中使用。有研究表明，在一定的條件下，可以使用l1范數(shù)解代替l0范數(shù)解，這兩個解等價[8]，如式(3)所示：

式(3)是一個凸優(yōu)化問題，要想獲得最優(yōu)解，可以采用基追蹤(BP)算法進行求解。

2 優(yōu)化算法

目前，現(xiàn)有的觀測矩陣幾乎都存在一些不足，如隨機觀測矩陣的不確定性與硬件難以實現(xiàn)性；確定性觀測矩陣雖然更易于設(shè)計快速算法，但使用其采樣時重建信號的質(zhì)量卻差強人意。尋求需要更少觀測值且具有較好穩(wěn)定性的觀測矩陣是觀測矩陣的研究重點。

為得到更好的重建效果，本文提出了一種基于QR分解與自適應(yīng)梯度下降法相結(jié)合的優(yōu)化方法，以滿足觀測矩陣與稀疏基礎(chǔ)之間的相關(guān)性以及觀測矩陣列向量間的獨立性要求。

2.1 矩陣列向量的獨立性與QR 分解

文獻[9]研究表明：觀測矩陣的優(yōu)化可以通過增加矩陣的最小奇異值來實現(xiàn)，原因在于最小奇異值和列向量具有顯著的線性關(guān)系，要想增強矩陣列向量的獨立性，就要使其最小奇異值較大，此種方法不會改變原矩陣的性質(zhì)。

QR 分解不僅可以增大矩陣的最小奇異值，而且可以保持該矩陣的其他性質(zhì)不變[10]。具體的操作步驟是通過分解矩陣A∈RM×N獲得正交矩陣Q∈RM×N(QTQ=I)和上三角矩陣R 的積，也就是A=QR。對R 進行分析，能夠看出其對角線元素比非對角線元素大得多，利用這一發(fā)現(xiàn)，將R 的非對角元素設(shè)置為零得到（，得到A 的還原矩陣：

1）人力支持。專業(yè)實驗室的運行需要人力資源作為基礎(chǔ)，實驗室管理人員作為其看護者，必須兢兢業(yè)業(yè)，保證實驗室安全。專業(yè)實驗室內(nèi)一般存放大量化學(xué)試劑和物理儀器，尤其是很多化學(xué)試劑具有一定的危險性，即專業(yè)實驗室本身就是較易發(fā)生安全事故的場所。在專業(yè)實驗室開放的情況下，學(xué)生由于經(jīng)驗不足及容易大意，易發(fā)生損壞實驗室儀器及安全問題等事故，一旦發(fā)生，后果嚴重。這就對專業(yè)實驗室管理人員提出更高的要求，不僅要嚴格要求自己，細致管理儀器試劑，也要嚴格要求學(xué)生。同時，指導(dǎo)教師也應(yīng)充分發(fā)揮作用，認真指導(dǎo)學(xué)生操作，避免錯誤發(fā)生。

2.2 基于自適應(yīng)梯度下降法降低相關(guān)性

觀測矩陣設(shè)計的目的是壓縮和采樣信號，并確?？梢詮挠^測值中準確恢復(fù)原始信號。設(shè)觀測矩陣Φ、稀疏基Ψ，對矩陣D=ΦΨ 進行列單位化處理，得到，文獻[4]的研究表明，觀測矩陣的性能可以通過觀測矩陣與稀疏基之間的相關(guān)數(shù)來評估，并給出了觀測矩陣與稀疏基之間的相關(guān)系數(shù)定義：

式中，di與(i=1，2，…，N)分別表示矩陣D 與的列向量。設(shè)，則稱G 為Gram 矩陣。

現(xiàn)有理論表明，相關(guān)系數(shù)μ(D)越小，被觀測信號中包含的信息就越多[5]?；ハ嚓P(guān)數(shù)的最佳情況是零，但無法達到該值。它有一個下限μE，即Welch 界:

由式(5)知，Welch 界的大小與N 和M 的長度有關(guān)。當觀測信號長度M 和原始信號長度N 滿足式(6)的條件時，互相關(guān)系數(shù)能夠達到Welch 界[11]。

等角緊框架(ETF)是一種特殊的Gram 矩陣[12]，其對角線元素的值均是1，非對角線元素為μE。所以要想將觀測矩陣和稀疏矩陣的互相關(guān)性盡可能地接近等角緊框架，要得到對Gram 矩陣進行優(yōu)化后的矩陣Gopt，需要求解式(7)。

用梯度下降法求解Dopt，同時完成D 的更新[13]，計算方法如式(10)所示：

其中，梯度用▽f(D)表示，步長用λ 表示。共軛梯度的帶入能夠有效減少迭代次數(shù)，同時對每次梯度下降的方向進行更新能夠加快收斂的速度，這稱為自適應(yīng)梯度下降算法[14]。

2.3 觀測矩陣優(yōu)化

觀測矩陣優(yōu)化算法的初始化涉及的變量包括：稀疏基Ψ，隨機高斯矩陣Φ，觀測矩陣D=ΦΨ，閾值μG，迭代次數(shù)K1、K2，搜索步長λ，約束系數(shù)β，l=0。

(2)由式(10)計算初始下降方向d0=-▽f(D)，初始化L=0；更新DL+1=DL+λ·dL；更新下一次下降方向dL+1=-▽fL+1+β·dL；更新dL=dL+1，DL=DL+1；

(3)L=L+1，若L=K2，則執(zhí)行步驟(4)，否則繼續(xù)更新DL+1=DL+λ·dL；

(4)l=l+1，如果l=K1，則計算：Ψ-1，否則執(zhí)行步驟(1)；

(7)輸出觀測矩陣Φ。

3 實驗與分析

分別采用QR 分解算法、文獻[5]中Abolghasemi 優(yōu)化算法與本文提出的優(yōu)化算法進行進行對比試驗，以驗證本研究中所設(shè)計的算法的性能。測試環(huán)境：MATLAB R2016a，英特爾i5-4210U，內(nèi)存為4 GB。

3.1 一維信號采樣與重建

首先，使用隨機排列(Randperm)的方法生成25 組長度n=200 的一維稀疏信號，其中，初始投影矩陣為高斯隨機矩陣，稀疏字典為DCT 變換矩陣，重構(gòu)算法為OMP算法。

圖1 不同觀測值下各算法重建信號的性能比較

圖1 給出了在相同稀疏度下(K=4)，原始高斯矩陣、QR 分解算法、Abolghasemi 優(yōu)化算法和本文提出的優(yōu)化算法對稀疏信號重建質(zhì)量的影響。圖1(a)顯示了不同優(yōu)化算法對稀疏信號重建的峰值信噪比(PSNR)，能夠看出基于不同算法的稀疏信號重建的峰值信噪比隨著觀測值的增加而增加。在觀測值M 個數(shù)較高情況下，未優(yōu)化的原始高斯矩陣峰值信噪比最低，本文優(yōu)化算法重建稀疏信號的峰值信噪比相對QR 分解與Abolghasemi 優(yōu)化算法分別提高了1.9 dB 和1.4 dB。根據(jù)圖1(b)和圖1(c)中展示的情況可以看出：將稀疏度和信號長度控制在固定水平，基于不同算法的稀疏信號重建的誤差以及錯誤個數(shù)會隨著觀測值的增加而降低，本文所采用的優(yōu)化算法是4 種算法中誤差及錯誤個數(shù)最低的一種。

針對不同觀測矩陣優(yōu)化算法對信號稀疏度的適應(yīng)性進行研究，分別確定觀測值M=30、稀疏度M∈[2，8]，在此基礎(chǔ)上得出的基于4 種算法重建信號的質(zhì)量隨稀疏度變化曲線如圖2 所示。

圖2 不同稀疏度下各算法重建信號的性能比較

由圖2 可以看出，當信號長度和觀測值個數(shù)M 固定時，隨著稀疏度的增加，相對峰值信噪比、重建誤差以及重建錯誤個數(shù)都在變差，表明稀疏度越差，重建難度越大，重建精度越低。從圖2(a)可知，在稀疏度K=5 情況下，相較于QR 分解算法、Abolghasemi 優(yōu)化算法，本文采用的觀測矩陣優(yōu)化算法重建信號的峰值信噪比平均提高了1.5 dB。

3.2 二維圖像采樣與重建

在本節(jié)中，對二維圖像的壓縮感知采樣和重建效果進行測試。采用分辨率為256×256 的標準灰度圖像CameraMan 用作測試對象。首先把灰度圖像歸一化后，將其轉(zhuǎn)換為65 536×1 的列向量，觀測率為50%，即投影矩陣為32 768×32 768。與上一小節(jié)類似，分別采用未優(yōu)化、QR 分解優(yōu)化、Abolghasemi 算法優(yōu)化和本文算法優(yōu)化后的高斯矩陣進行采樣，然后使用OMP 算法進行重建。實驗結(jié)果如圖3、表1 所示。

圖3 不同算法優(yōu)化觀測矩陣后的重建圖像

表1 優(yōu)化前后重建參數(shù)比較

由圖3 可以看出，在觀測值的50%下，原始高斯矩陣、QR 分解優(yōu)化算法、Abolghasemi 優(yōu)化算法和本文優(yōu)化算法都可以完整重建原圖。然而，經(jīng)過本文算法重建的圖像部分噪點更少，整體細節(jié)方面更清晰，重建效果更好。表1 給出了重建圖像的峰值信噪比與相對誤差的比較，其中，相對誤差re=||X-X′||F/||X||F，X 為原圖像，X′為重建圖像，||·||F為Frobenius 范數(shù)。從表1 的數(shù)值上可以看出，經(jīng)過本文算法優(yōu)化后的觀測矩陣重建的圖像峰值信噪比較高，相對誤差最低。

4 結(jié)論

通過對已有的壓縮感知觀測矩陣算法進行優(yōu)化，本文提出一種結(jié)合QR 分解與自適應(yīng)梯度下降的觀測矩陣優(yōu)化算法，獲得了性能較優(yōu)的觀測矩陣。該矩陣具有較高的列獨立性，并且與稀疏基之間具有較低的互相關(guān)性。實驗結(jié)果表明了該算法的有效性，并在重建質(zhì)量方面有較大的優(yōu)勢。后期的研究工作將著力于進一步降低算法的復(fù)雜度，提高重建信號的效率。