基于改進(jìn)型梯度法的客車側(cè)翻一步碰撞算法精度改進(jìn)研究＊

王童 陳軼嵩

（長安大學(xué)，西安 710064）

主題詞：客車 側(cè)翻碰撞 一步算法 改進(jìn)型梯度法 局部攝動(dòng)思想

1 前言

側(cè)翻是客車最嚴(yán)重的事故類型之一，往往造成群死群傷的嚴(yán)重后果[1]?？蛙噦?cè)翻碰撞安全性能主要通過有限元仿真軟件模擬和優(yōu)化。目前常用的側(cè)翻碰撞安全性仿真軟件LS-DYNA、PAM-CRASH、DYTRAN 等，都是以非線性動(dòng)態(tài)顯式積分算法為基礎(chǔ)，主要采用中心差分格式，計(jì)算時(shí)間過長，分析結(jié)果受工程師的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平影響較大，嚴(yán)重影響計(jì)算效率，增加了開發(fā)成本[2]。

客車側(cè)翻一步碰撞算法是參考板料沖壓一步成形算法思想[3-5]提出的一種用于客車側(cè)翻碰撞的新算法。針對(duì)板料沖壓一步成形算法，王鵬等人通過應(yīng)用基于塑性變形理論的一步有限元方法模擬金屬成形過程，快速預(yù)測了最終坯料形狀及應(yīng)力應(yīng)變分布情況[6]。借鑒該算法的核心思想，側(cè)翻一步碰撞算法同樣基于非線性全量理論，并利用了側(cè)翻碰撞過程中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，與現(xiàn)有LS-DYNA 等增量法軟件相比，在略微犧牲計(jì)算精度的情況下，大幅提升了計(jì)算效率。算法可在車身設(shè)計(jì)初期對(duì)結(jié)構(gòu)側(cè)翻安全性進(jìn)行快速評(píng)價(jià)，縮短產(chǎn)品開發(fā)周期[7]。

為獲得結(jié)構(gòu)最終變形，算法根據(jù)車身側(cè)翻碰撞過程運(yùn)動(dòng)變形特點(diǎn)和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系對(duì)滿足變形條件的初始解進(jìn)行預(yù)測，再采用牛頓-拉夫森（Newton-Raphson）法迭代求解[8]，得到結(jié)構(gòu)的最終變形。由于傳統(tǒng)的Newton-Raphson 方法在平衡迭代過程中需對(duì)有限元平衡方程進(jìn)行求解，且需考慮節(jié)點(diǎn)約束對(duì)切線剛度矩陣的影響，同時(shí)，在每次平衡迭代時(shí)，均需對(duì)所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行廣義失衡力計(jì)算，極大影響了求解效率與計(jì)算穩(wěn)定性。

本文基于改進(jìn)型梯度法[9-11]，對(duì)側(cè)翻一步碰撞算法的Newton-Raphson 平衡迭代過程進(jìn)行改進(jìn)，并將局部攝動(dòng)思想引入基于改進(jìn)型梯度法的廣義失衡力迭代過程[12]。在每次平衡迭代中，無需計(jì)算切線剛度矩陣，且無需對(duì)所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行廣義失衡力梯度計(jì)算，以期在保證算法模擬精度的同時(shí)，大幅提高計(jì)算效率。

2 客車側(cè)翻一步碰撞算法基本理論

客車側(cè)翻一步碰撞算法的計(jì)算原理為：基于非線性全量理論和比例加載假定，依據(jù)ECE R66 法規(guī)，忽略中間狀態(tài)和構(gòu)形變化，只考慮結(jié)構(gòu)碰撞開始和最大變形2 個(gè)狀態(tài)。根據(jù)車體側(cè)翻碰撞過程運(yùn)動(dòng)變形特點(diǎn)和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到滿足變形條件的初始解，并采用Newton-Raphson法迭代求解，快速獲得結(jié)構(gòu)最終變形。

將碰撞開始狀態(tài)的結(jié)構(gòu)作為原始構(gòu)形{X0}。此時(shí)車體未發(fā)生變形，結(jié)構(gòu)動(dòng)能Ed為：

式中，M為車體質(zhì)量；Δh為車體重心下降高度；J為車體繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為車體角速度。

碰撞開始狀態(tài)結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的速度{v0}由式（2）計(jì)算：

式中，ri為各節(jié)點(diǎn)到側(cè)翻假定轉(zhuǎn)軸的距離；n為節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

在結(jié)構(gòu)最大變形狀態(tài)，車體結(jié)構(gòu)明顯變形。側(cè)翻一步碰撞算法中，結(jié)構(gòu)的最大變形是不確定的，因此需假定一個(gè)最大變形構(gòu)形{x0}。此刻各節(jié)點(diǎn)位移{U0}為：

忽略碰撞過程中能量的微量增加，認(rèn)為車體動(dòng)能Ed在碰撞中主要轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)形變能W：

式中，ε為單元應(yīng)變；σ為單元Cauchy 應(yīng)力；Ve為單元體積；V為積分體積；N為單元數(shù)量。

判斷此刻的結(jié)構(gòu)形變能W與車體動(dòng)能Ed是否相等。若不相等，則對(duì)節(jié)點(diǎn)位移{U0}進(jìn)行修正，按照式（4）重新計(jì)算結(jié)構(gòu)形變能；若相等，則將節(jié)點(diǎn)位移{U0}作為Newton-Raphson迭代初始解。

由于車體結(jié)構(gòu)在空間內(nèi)變形過程無外力作用，滿足能量轉(zhuǎn)換關(guān)系的初始解{U}，節(jié)點(diǎn)廣義失衡力{R(U)}已處于不平衡狀態(tài)：

式中，{Fext(Ui)}為節(jié)點(diǎn)外力；{Fint(Ui)}為節(jié)點(diǎn)內(nèi)力。

應(yīng)用Newton-Raphson 法，解決節(jié)點(diǎn)廣義失衡力的不平衡問題。對(duì)初始解{U}按式（6）迭代求解，使式（5）達(dá)到平衡，得到結(jié)構(gòu)的最終變形：

3 改進(jìn)型梯度法在側(cè)翻一步碰撞算法中的應(yīng)用

由于Newton-Raphson 法每次迭代均需求解有限元平衡方程，增加了算法的計(jì)算時(shí)間。為提高平衡迭代效率，本文應(yīng)用改進(jìn)型梯度法對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)初始解各節(jié)點(diǎn)廣義失衡力進(jìn)行平衡迭代。

首先計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的廣義失衡力及其梯度，通過對(duì)節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)作微小擾動(dòng)，尋找各廣義失衡力梯度下降方向，迭代計(jì)算至廣義失衡力范數(shù)達(dá)到極小值，即結(jié)構(gòu)內(nèi)力平衡。接著，將局部攝動(dòng)思想引入廣義失衡力迭代過程，每次有針對(duì)性地對(duì)部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擾動(dòng)與平衡迭代，使廣義失衡力范數(shù)快速收斂至極小值，獲得最終變形。

3.1 節(jié)點(diǎn)廣義失衡力計(jì)算

結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)在空間坐標(biāo)系內(nèi)均有6個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)6 個(gè)廣義力：沿3 個(gè)坐標(biāo)軸方向的節(jié)點(diǎn)力Fx、Fy、Fz，及繞3個(gè)坐標(biāo)軸方向的節(jié)點(diǎn)力矩Fxx、Fyy、Fzz。

首先求解塑性變形條件下單元局部坐標(biāo)系內(nèi)的廣義節(jié)點(diǎn)失衡力{rie}：

3.2 改進(jìn)型梯度法的引入

3.3 局部攝動(dòng)思想的引入

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平衡迭代過程中，對(duì)局部節(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)作微量修改時(shí)，僅會(huì)引起與其相關(guān)的若干節(jié)點(diǎn)的廣義失衡力變化，其他無關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)不發(fā)生變化。而應(yīng)用改進(jìn)型梯度法進(jìn)行廣義失衡力平衡迭代時(shí)，在每個(gè)迭代步均需計(jì)算結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)的廣義失衡力及其梯度，加大了算法的計(jì)算工作量。在保持計(jì)算精度的前提下，為了進(jìn)一步提高計(jì)算效率，本文將局部攝動(dòng)思想引入基于改進(jìn)型梯度法的節(jié)點(diǎn)廣義失衡力的平衡迭代過程。

仍以節(jié)點(diǎn)j0為例，在空間坐標(biāo)系下，對(duì)其廣義坐標(biāo)作微量修正(Δuj0x,Δuj0y,Δuj0z,Δuj0xx,Δuj0yy,Δuj0zz,)，擾動(dòng)后的節(jié)點(diǎn)位置如圖1 所示。因節(jié)點(diǎn)j0為A、B、C、D 4 個(gè)單元的公共節(jié)點(diǎn)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)j0的廣義坐標(biāo)發(fā)生變化時(shí)，該節(jié)點(diǎn)及相關(guān)4個(gè)單元各節(jié)點(diǎn)j1～j8的廣義失衡力也發(fā)生變化，而其他無關(guān)節(jié)點(diǎn)的廣義失衡力沒有變化。節(jié)點(diǎn)j0的廣義坐標(biāo)經(jīng)過微量修正后，結(jié)構(gòu)廣義失衡力向量{R}發(fā)生變化：

式中，{ΔRj0}為節(jié)點(diǎn)j0引起的廣義失衡力改變向量。

由節(jié)點(diǎn)j0引起的廣義失衡力改變向量{ΔRj0}為：

圖1 節(jié)點(diǎn)j0的局部攝動(dòng)

為計(jì)算節(jié)點(diǎn)j0廣義坐標(biāo)改變后的各自由度廣義失衡力梯度，本文以X軸方向的位移修改為例，梯度為：

相應(yīng)的廣義失衡力梯度因子可由式（12）計(jì)算，進(jìn)行式（13）的平衡迭代過程。

由上述分析可以看到，應(yīng)用局部攝動(dòng)思想進(jìn)行廣義失衡力平衡迭代時(shí)，每次迭代實(shí)際參與計(jì)算的節(jié)點(diǎn)數(shù)量與結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)相比，幾乎可忽略不計(jì)，算法的計(jì)算量進(jìn)一步得到大幅縮減。將局部攝動(dòng)思想引入基于改進(jìn)型梯度法的節(jié)點(diǎn)廣義失衡力平衡迭代過程，在保證算法計(jì)算精度的同時(shí)，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。

4 應(yīng)用實(shí)例

本文以某款長12 m的公路客車的典型車身段作為分析對(duì)象，應(yīng)用本文提出的側(cè)翻一步碰撞改進(jìn)算法進(jìn)行模擬，并與原始算法仿真結(jié)果及側(cè)翻試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以檢驗(yàn)所提方法的實(shí)際應(yīng)用效果。

圖2所示為典型車身段的有限元模型，共包括離散四邊形單元234 286 個(gè)，節(jié)點(diǎn)232 583 個(gè)。材料性能參數(shù)采用Holloman冪次硬化法則，強(qiáng)化系數(shù)k=710 MPa，應(yīng)變硬化指數(shù)t=0.2，初始應(yīng)變?chǔ)?=0，厚向異性系數(shù)r=1.3。

圖2 典型車身段有限元模型

圖3 所示為基于改進(jìn)型梯度法的側(cè)翻一步碰撞算法（以下簡稱“改進(jìn)算法”）模擬的結(jié)構(gòu)最終變形云圖，圖4為原始算法模擬的結(jié)構(gòu)最終變形云圖，圖5為側(cè)翻試驗(yàn)結(jié)果。

圖3 改進(jìn)算法模擬結(jié)構(gòu)變形

圖4 原始算法模擬結(jié)構(gòu)變形

圖5 側(cè)翻試驗(yàn)結(jié)構(gòu)變形

選取典型車身段的封閉環(huán)1和2兩側(cè)立柱內(nèi)側(cè)的若干測點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，如圖2所示，則上述3種方式中各立柱的變形量如表1所示。

表1 各封閉環(huán)兩側(cè)立柱變形量統(tǒng)計(jì) mm

通過分析對(duì)比發(fā)現(xiàn)，3種結(jié)果中各測點(diǎn)的數(shù)據(jù)走勢基本一致。將改進(jìn)算法及原始算法各測點(diǎn)的計(jì)算數(shù)據(jù)和側(cè)翻試驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，分別進(jìn)行誤差計(jì)算，并分別對(duì)22 個(gè)測點(diǎn)獲得的誤差數(shù)據(jù)求平均值，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)算法的模擬結(jié)果與原始算法仿真結(jié)果的平均誤差相接近，且均小于15%，精度在結(jié)構(gòu)碰撞大變形有限元計(jì)算誤差可接受的范圍內(nèi)。但改進(jìn)算法和原始算法的計(jì)算時(shí)間分別為6 min 和20 min，在基本保證算法計(jì)算精度的同時(shí)，大幅提升了計(jì)算效率，驗(yàn)證了本文所提出的方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性。

5 結(jié)束語

本文基于改進(jìn)型梯度法，對(duì)客車側(cè)翻一步碰撞算法進(jìn)行了改進(jìn)，并將局部攝動(dòng)思想引入基于改進(jìn)型梯度法的節(jié)點(diǎn)廣義失衡力平衡迭代過程，在保證算法模擬精度的同時(shí)，進(jìn)一步提高了算法的計(jì)算效率。

由于在空間坐標(biāo)系內(nèi)，各節(jié)點(diǎn)廣義失衡力均有6個(gè)分量，即3個(gè)失衡力及3個(gè)失衡力矩，在應(yīng)用改進(jìn)型梯度法進(jìn)行節(jié)點(diǎn)失衡力平衡迭代時(shí)，對(duì)失衡力及失衡力矩同時(shí)進(jìn)行了考慮，而力與力矩因量綱不同，可能會(huì)對(duì)計(jì)算效率及結(jié)果產(chǎn)生一定影響，需在后續(xù)研究中作進(jìn)一步探索，繼續(xù)對(duì)算法進(jìn)行完善。