線性FBM過程隨機退化設(shè)備剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測

高旭東，胡昌華，杜黨波

(火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)代化工業(yè)設(shè)備朝著集成化、復(fù)雜化、智能化方向發(fā)展，這些設(shè)備在實際工程中，由于受到外界復(fù)雜環(huán)境、人為因素以及各種負載的不同程度影響，會逐漸發(fā)生性能退化并導(dǎo)致系統(tǒng)故障，從而造成人員的傷亡和經(jīng)濟的損失。因此，為了避免發(fā)生重大的設(shè)備故障，降低設(shè)備運行失效的風(fēng)險以及提高設(shè)備的可靠性和安全性[1-2]，剩余壽命（remaining useful life，RUL）預(yù)測技術(shù)成為可靠性領(lǐng)域近年來研究的熱點與難度之一。

目前，文獻[3]將剩余壽命預(yù)測的方法總結(jié)為4類，其中基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的剩余壽命預(yù)測方法在各種工程領(lǐng)域中得到了最廣泛的應(yīng)用[4-9]，該方法只需要對退化量建立合適的動態(tài)模型，而無需考慮系統(tǒng)的復(fù)雜機理。現(xiàn)有研究中，多數(shù)基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的剩余壽命預(yù)測方法通常將退化量簡化成無記憶效應(yīng)的馬爾科夫鏈模型，常用的模型有馬爾科夫鏈[4-5]、維納過程[6-7]、伽馬過程[8-9]等。例如，Wang等[4]提出了一個連續(xù)的隱馬爾科夫模型來描述刀具磨損的退化狀態(tài)，并基于銑削力的退化信號預(yù)測了系統(tǒng)的RUL。Lei等[7]考慮了機械系統(tǒng)中的測量不確定性，簡單地用零均值高斯隨機變量表示，然后根據(jù)維納過程的統(tǒng)計性質(zhì)建立了狀態(tài)空間模型來預(yù)測RUL。Horenbeek等[8]通過固定Gamma退化過程的RUL預(yù)測結(jié)果提出了一種動態(tài)預(yù)測維護策略。

盡管上述的建模方式都可得到較為準確的設(shè)備剩余壽命預(yù)測結(jié)果，但是由于設(shè)備的未來退化可能不僅與當前退化狀態(tài)有關(guān)，而且可能還將受到歷史退化狀態(tài)的影響，因此實際工程設(shè)備中的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)之間可能存在長期依賴性。這種長期依賴性一般有兩種表現(xiàn)形式，即正相關(guān)性與負相關(guān)性。前者的表現(xiàn)形式是未來的退化趨勢遵循之前的退化趨勢，而后者會導(dǎo)致相反的退化趨勢。鑒于此，采用無記憶效應(yīng)的傳統(tǒng)馬爾科夫模型難以準確描述此類動態(tài)系統(tǒng)。

綜上分析，為了刻畫退化監(jiān)測數(shù)據(jù)之間可能存在的長期依賴性，本文首先基于分數(shù)布朗運動建立了一種線性隨機退化模型，并且引入隨機效應(yīng)來反映不同樣本間的退化差異性。在此基礎(chǔ)上，基于弱收斂性理論與分數(shù)布朗運動的性質(zhì)推導(dǎo)得到了剩余壽命分布的近似解析解。然后，基于極大似然算法和貝葉斯理論完成了模型參數(shù)的離線估計與在線更新，進而實現(xiàn)了剩余壽命的在線自適應(yīng)預(yù)測。最后，通過數(shù)值仿真和陀螺儀實測數(shù)據(jù)對本文所提的方法進行了驗證。

1 退化過程建模與剩余壽命預(yù)測

1.1 基于FBM過程的線性退化模型

為了表征退化軌跡的記憶效應(yīng)，本文用布朗運動的擴展模型分數(shù)布朗運動（fractional Brownian motion，F(xiàn)BM）對退化軌跡進行建模。因此，設(shè)備的線性隨機退化過程{X(t);t≥0}可以表示為：

注解1：FBM[10]是一種具有長期依賴性、自相關(guān)性的連續(xù)非馬爾科夫過程，其增量是固定且相關(guān)的，并且引入了長程相關(guān)的結(jié)構(gòu)[11-12]。FBM的相關(guān)函數(shù)是以赫斯特指數(shù)H為特征的，可以測量整個退化軌跡之間的長期依賴性。因為H可以刻畫FBM的記憶效應(yīng)，所以可以用FBM對帶有記憶效應(yīng)的退化軌跡進行建模。文獻[10]對FBM進行了詳細的定義：

其中 KH(t-s)定義為：

Γ(·)為伽馬函數(shù)，具體形式為：

1.2 剩余壽命預(yù)測

基于隨機過程首達時間（first hitting time,FHT）的定義，當{X(t);t≥0}首次到達預(yù)先設(shè)定失效閾值w時，則認為設(shè)備失效。因此，基于觀測數(shù)據(jù)X0:k={x0,x1,···,xk}，將系統(tǒng)在t時刻的剩余壽命Lk定義為：

由于FBM的非馬爾科夫性質(zhì)，很難得到FBM基于FHT分布的解析解。為了得到RUL的近似PDF，普通的方法是將FBM轉(zhuǎn)換成BM。Zhang等[13]利用文獻[14]中的復(fù)雜弱收斂定理將FBM近似為標準BM，然后推導(dǎo)了RUL的解析概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）。但是，由于進行了大量的數(shù)值積分，這種方法的計算量很大。定理1考慮了關(guān)于FBM的更簡單的弱收斂方案，提出了基于FBM退化模型的RUL分布。

因此，只需要解決以下形式的退化過程的RUL分布：

基于弱收斂理論，可以將模型（1）轉(zhuǎn)換成式（16），Wang等[16]指出，時間重新縮放的BM保持零均值高斯過程，具有平穩(wěn)的獨立增量，然后在適當?shù)募僭O(shè)下給出了相應(yīng)RUL分布的近似表達式。具體來說，考慮以下退化模型：

假設(shè)失效閾值為 w，在tk時刻RUL的PDF表示式如式（8）所示，其中：

2 模型參數(shù)估計

2.1 離線參數(shù)估計

根據(jù)模型(1)可得：

根據(jù)FBM的性質(zhì)，Xi服從多元正態(tài)分布，即Xi～N(μ,Σ)。其中，

根據(jù)FBM的性質(zhì)可得參數(shù)θ的對數(shù)似然函數(shù)為：

對式(34)分別求關(guān)于μλ和σλ的一階偏導(dǎo)并令一階偏導(dǎo)數(shù)為零，可以得到如下表達式：

將式(36)、(37)帶入式(34)可得：

可以看出似然函數(shù)式(38)具有高維的特征，直接將其極大似然化很難得到其余參數(shù)的極大估計值，本文利用Matlab中的多維搜索算法求取σ、 H 的極大似然估計值，然后代入式(36)、(37)得到μλ，σλ極大似然估計值。

2.1節(jié)基于同批設(shè)備的歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)得到的參數(shù)估計值反映的是同批設(shè)備的共同特征，接下來利用實時監(jiān)測數(shù)據(jù)對參數(shù)進行更新。

2.2 貝葉斯參數(shù)更新

考慮到同一批次設(shè)備在運行過程中有環(huán)境差異、外界干擾以及任務(wù)的不同等差異性，所以同一批次設(shè)備中不同個體的退化軌跡是不完全相同的，具有一定的偏差，因此僅僅利用同批設(shè)備的歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)對單個設(shè)備進行RUL的預(yù)測會導(dǎo)致比較大的偏差。為了得到單個設(shè)備比較準確的RUL，需要利用單個設(shè)備實時退化的監(jiān)測數(shù)據(jù)去更新反映設(shè)備個體差異性的參數(shù)。模型中σ、H反映同批設(shè)備的共同退化特征，因此不需要用實時監(jiān)測數(shù)據(jù)對這些參數(shù)進行更新。但是設(shè)備的退化率，即漂移系數(shù)λ是因設(shè)備的不同而變化的，因而對同批設(shè)備中的單個設(shè)備進行RUL預(yù)測時，主要對漂移系數(shù)λ進行實時更新，進而對單個設(shè)備的RUL進行在線預(yù)測。

對于同一批次設(shè)備中未失效的個體k，要實現(xiàn)其RUL的在線預(yù)測，就需要利用其實時監(jiān)測的退化數(shù)據(jù)實時更新退化模型中的漂移系數(shù)λk。假設(shè)該設(shè)備在截止時間t*一共得到nk個實時監(jiān)測的退化數(shù)據(jù)，記作：

其中，{ti,i=1,2,···,nk}為對應(yīng)的退化監(jiān)測時間，并且滿足ti＜t*。

通過式(40)～(44)完成了基于單個設(shè)備的實時監(jiān)測退化數(shù)據(jù)對模型參數(shù)的在線更新。接下來利用仿真試驗和實例研究對本文所提的方法進行驗證。

3 實驗研究

3.1 數(shù)值仿真

圖1 仿真退化軌跡

圖1是時間為0～9的仿真退化軌跡，同時每條軌跡中有90個采樣點。為了驗證本文所提供的方法對單個設(shè)備的RUL能夠有效預(yù)測，本文假設(shè)失效閾值 w=8.3，取截尾時間t*=7.6 h。因此從圖1可以看出，到截尾時間的時候，這批設(shè)備中有6個設(shè)備失效，對應(yīng)的壽命數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 仿真失效數(shù)據(jù)

利用未失效設(shè)備的仿真退化數(shù)據(jù)和本文所提的離線參數(shù)估計方法，得到參數(shù)的先驗估計值如表2所示。

表2 參數(shù)的先驗估計值

得到以上模型參數(shù)的先驗估計值后，將先驗估計值帶入退化模型 X (t)=λt+σBH(t)中，得到設(shè)備的退化軌跡，并將其退化數(shù)據(jù)當作待預(yù)測設(shè)備的實時監(jiān)測數(shù)據(jù)，如圖2所示。

依據(jù)預(yù)先設(shè)定的失效閾值，從圖2中可以看出，設(shè)備在 t*=7.98 h時失效。為了檢驗本文所提模型和參數(shù)估計方法的有效性，用圖2中 t*=7 h之前的70個采樣點數(shù)據(jù)作為待預(yù)測設(shè)備的實時退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，基于上述監(jiān)測數(shù)據(jù)，并利用本文參數(shù)估計方法對參數(shù)進行更新并進行設(shè)備RUL在線預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表3所示。

圖2 待預(yù)測設(shè)備的實時監(jiān)測數(shù)據(jù)

從表3中可以看出，在設(shè)備退化的初始階段，由于可利用的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)較少，使得RUL預(yù)測的精度不太高。隨著設(shè)備的不斷退化，獲得了更多的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，就可以用較多的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)對本文所提退化模型的相關(guān)參數(shù)進行更新，更新過后的模型參數(shù)更加接近待預(yù)測設(shè)備的退化特征，使得RUL的預(yù)測精度不斷提高。實驗表明本文所提方法能夠依據(jù)單個設(shè)備的實時退化監(jiān)測數(shù)據(jù)對退化模型參數(shù)進行實時更新，并且能夠在線預(yù)測單個設(shè)備的RUL，其預(yù)測結(jié)果可靠可信。

表3 漂移參數(shù)更新及RUL預(yù)測值

接下來將本方法得到的PDF與蒙特卡羅方法來獲得數(shù)值PDF結(jié)果進行比較。進一步證明了本文所提方法的有效性，具體對比如圖3所示。

圖3表示不同時刻設(shè)備剩余壽命分布的預(yù)測結(jié)果。從圖3可以看出，所有帶有估計參數(shù)的預(yù)測RUL都可以很好地匹配數(shù)值RUL，這證明了該方法的有效性。由圖還可知，距離設(shè)備失效時刻越近，剩余壽命分布越就集中，預(yù)測均值與設(shè)備真實剩余壽命的差距也越小，意味著預(yù)測的不確定性降低，精度提高。具體的，利用本文所提方法得到的待測設(shè)備的RUL的PDF如圖4所示。

圖3 本文的RUL的PDF與數(shù)值PDF的對比

圖4中黑色方框表示待測設(shè)備實際的RUL，紅色三角形表示本文方法預(yù)測的RUL。圖4更能直觀形象地反映本文所提的方法能夠可靠有效準確地預(yù)測單個設(shè)備的RUL，并且隨著獲取的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)越來越多，RUL預(yù)測的精度也越來越高。

圖4 剩余壽命的分布

3.2 實例驗證

為了進一步驗證本文方法的有效性，將其應(yīng)用到具體的實際工程設(shè)備中，進行RUL分析。

陀螺儀是慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心部件，其精度決定著導(dǎo)航的精度。然而，在實際運行過程中由于內(nèi)部的磨損以及外部沖擊等一系列因數(shù)的影響，陀螺儀的性能會隨著時間的變化逐漸發(fā)生退化，當它的性能指標超過失效閾值時，陀螺儀就會發(fā)生失效，進而影響導(dǎo)航的精度。針對慣性平臺的陀螺儀，主要分析其各項漂移系數(shù)隨時間的退化規(guī)律。在陀螺儀的所有漂移系數(shù)中，對導(dǎo)航精度影響最大的是敏感軸方向的漂移退化，鑒于此，本節(jié)基于軸向漂移系數(shù)的歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)來驗證本文方法。同時，與傳統(tǒng)模型方法對比，進一步驗證本文方法的有效性，傳統(tǒng)方法基于Winner過程的線性模型記作模型2，其并沒有考慮記憶效應(yīng)對RUL的影響，本文所提的模型記作模型1，彌補了模型2的不足。接下來利用收集到的陀螺儀歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)驗證本文方法，一共收集到10組陀螺儀的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，其中發(fā)生失效的有5組，對應(yīng)的失效表見表4。未發(fā)生失效的有5組，其退化軌跡如圖5所示。依據(jù)該型號陀螺儀的性能指標，其漂移的最大值為 0.37?/h，因此其失效閾值 w=0.37?/h。

表4 陀螺儀失效數(shù)據(jù)

圖5 5組陀螺儀歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)

基于獲取的5組陀螺儀歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，首先利用第2節(jié)的參數(shù)離線估計方法對模型參數(shù)進行離線估計，得到的參數(shù)離線估計值見表5。

表5 參數(shù)的離線估計值

利用同批次陀螺儀獲得參數(shù)的離線估計值后，要想實現(xiàn)單個陀螺儀的RUL在線預(yù)測，還需利用單個陀螺儀的實時退化監(jiān)測數(shù)據(jù)更新參數(shù)。接下來，將從圖6中任選一條退化軌跡進行驗證，本文選擇圖5中綠色的退化軌跡，基于該組的退化數(shù)據(jù)利用第2節(jié)的貝葉斯估計方法對模型1中的參數(shù)進行更新，參數(shù)的軌跡更新如圖6所示。依據(jù)模型1和模型2，得測陀螺儀的結(jié)果對比如圖7所示。

圖6 漂移系數(shù)λ 的后驗更新

圖7 模型1與模型2的結(jié)果對比圖

從圖6可以看出，在陀螺儀退化的初始階段，獲得的退化數(shù)據(jù)比較少，導(dǎo)致模型參數(shù)的波動性比較大，并且參數(shù)的估計值與真實值的誤差也比較大。隨著獲取的退化數(shù)據(jù)增加，參數(shù)的估計值逐漸趨于平穩(wěn)，表明參數(shù)的估計值越來越接近參數(shù)的真實值，同時也表明估計的精度隨著獲取退化數(shù)據(jù)的增加越來越高。在t=20～100 h中的軌跡波動較大，是因為在該區(qū)間陀螺儀的監(jiān)測退化數(shù)據(jù)波動比較大，因此進一步表明本文所使用的參數(shù)估計方法能夠根據(jù)退化設(shè)備的實時監(jiān)測數(shù)據(jù)進行參數(shù)的在線更新，從而實現(xiàn)退化設(shè)備的RUL在線預(yù)測。

由圖7可以明顯地看出，所有監(jiān)測時刻的PDF都位于實際RUL的正上方，這表示預(yù)測結(jié)果是比較準確的。還可以看出模型1與模型2在預(yù)測退化方面的性能比較相似，但是本文所提的模型1較傳統(tǒng)的模型2還是具有一定的優(yōu)勢，在各個監(jiān)測時刻，模型1得到的PDF比模型2得到的PDF更窄、更尖銳，這表明模型1的預(yù)測結(jié)果比模型2更有效，更精確，不確定度更小。

4 結(jié)束語

本文主要研究了在記憶效應(yīng)影響下的線性隨機退化設(shè)備RUL預(yù)測問題。本文首先利用FBM對線性隨機退化過程建模，得到了RUL的近似PDF；然后利用離線估計與貝葉斯估計方法對參數(shù)進行估計與更新；最后通過數(shù)值仿真例子和陀螺儀實例結(jié)果比較，驗證了本文方法的合理性、有效性、準確性。主要結(jié)論如下：1）基于FBM的線性退化模型，能夠更為準確、合理地描述線性隨機退化設(shè)備的記憶效應(yīng)。通過實例驗證，與傳統(tǒng)的線性建模方法比較，其RUL預(yù)測結(jié)果更加精確、不確定性更??；2）所采用的參數(shù)估計方法充分利用了設(shè)備的歷史退化信息與實時監(jiān)測信息，從而更加準確地實現(xiàn)了設(shè)備RUL的在線預(yù)測。如何對受記憶效應(yīng)影響的非線性隨機退化設(shè)備建模以及如何實現(xiàn)其參數(shù)的自適應(yīng)估計與RUL的在線預(yù)測需要進一步研究。綜上，對受到記憶效應(yīng)影響的線性隨機退化設(shè)備而言，本文提出的基于FBM的線性退化模型對其建模更為合理與準確，并且RUL預(yù)測結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，具有一定的工程實用價值。