搭支架 尋淵源 促理解
——工程問(wèn)題錯(cuò)例分析及教學(xué)改進(jìn)實(shí)踐思考

盧夢(mèng)鑫

(諸暨市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) 浙江紹興 311800)

工程問(wèn)題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，特別是當(dāng)“具體量”和“分率”相遇時(shí)，學(xué)生表現(xiàn)得更加束手無(wú)策。以人教版教材六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)課堂作業(yè)本》第35頁(yè)的第9題為例：一段路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，需要10天；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，平均每天可修240m?，F(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合修，6天正好修完。這段路長(zhǎng)多少米？以下筆者的實(shí)踐和思考[1]。

一、基礎(chǔ)鋪墊——以數(shù)量關(guān)系為“支架”

出示：一段路，甲隊(duì)單獨(dú)修15天完成，平均每天可修240米。這段路有多少米？

設(shè)計(jì)意圖：從前測(cè)情況看，部分學(xué)生對(duì)基本的數(shù)量關(guān)系理解和掌握存在一定的困難，因此，在教學(xué)時(shí)從最基本的題型出發(fā)，目的是復(fù)習(xí)和鞏固最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系：工作效率×工作時(shí)間=工作總量，工作總量÷工作效率=工作時(shí)間，工作總量÷工作時(shí)間=工作效率。這些關(guān)系是學(xué)生解決“工程問(wèn)題”時(shí)的“支架”。其中，重點(diǎn)理解：工作效率×工作時(shí)間=工作總量，同時(shí)給思路混亂或毫無(wú)頭緒的學(xué)生打開(kāi)一個(gè)窗口——原來(lái)復(fù)雜、困難的工程問(wèn)題也可以從這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系入手，再在同桌相互說(shuō)的過(guò)程中進(jìn)一步鞏固。

課堂中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：

大部分學(xué)生能夠快速寫(xiě)出算式：15×240，但當(dāng)老師提問(wèn)列出這個(gè)算式的依據(jù)時(shí)，只有少部分學(xué)生能說(shuō)理由。因此，向?qū)W生解釋?zhuān)?40表示甲的工作效率，15天表示甲的工作時(shí)間，甲的工作總量就是所求的路長(zhǎng)。同桌兩人在互說(shuō)“工作效率×工作時(shí)間=工作總量，工作總量÷工作效率=工作時(shí)間，工作總量÷工作時(shí)間=工作效率”這個(gè)幾個(gè)數(shù)量關(guān)系式時(shí)，好多學(xué)生還要依靠板書(shū)，不能成為知識(shí)儲(chǔ)備。

二、意義的理解——簡(jiǎn)單的量率相遇問(wèn)題

第二種方法：引導(dǎo)學(xué)生試著畫(huà)一畫(huà)線段圖。然后試著說(shuō)一說(shuō)等量關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：從前測(cè)情況看，只有平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況良好，成績(jī)較為靠前的學(xué)生是采用第二種方法解題的。因此，面對(duì)這部分學(xué)生，第二種方法略講，但為了幫助其理解，必須用線段圖加以解釋和說(shuō)明。

請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)兩種方法的解題思路，重點(diǎn)理解第1種方法。

課堂中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：

在分析第二種方法的時(shí)候，學(xué)生表現(xiàn)得較為木訥，因?yàn)樗麄儾簧瞄L(zhǎng)畫(huà)圖，也不善于列等量關(guān)系。因此，在圖形結(jié)合的基礎(chǔ)上，學(xué)生也能試著找到等量關(guān)系，但還是表現(xiàn)得較為吃力。

三、比較第1、2題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，得出一般化的思想——尋求淵源，促進(jìn)理解

設(shè)計(jì)意圖：比較兩個(gè)題目的不同和相同點(diǎn)，其實(shí)是引導(dǎo)學(xué)生試著分析問(wèn)題之間存在的關(guān)聯(lián)，理清數(shù)量之間關(guān)系的同時(shí)，找到同類(lèi)信息的聯(lián)系或者不同信息之間的相同本質(zhì)，能夠自主萌發(fā)解題思路和方法，試著去歸納：不管問(wèn)題怎么變，當(dāng)遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，最方便、直接且容易理解的方法就是找到工作效率、工作時(shí)間、工作總量這三者。當(dāng)有一個(gè)條件成為隱性條件時(shí)，試著根據(jù)題目的意思去找到相應(yīng)的量[2]。

課堂中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：

相同點(diǎn)：題目中都有240，也有部分學(xué)生能說(shuō)出這240都表示的是甲的工作效率，問(wèn)題都是求這段路有多少米。不同點(diǎn)是，第一題是直接告訴甲單獨(dú)完成要15天，第二題是甲每天完成這段路的。這些直接的關(guān)聯(lián)學(xué)生能夠找到。稍作停頓后，有學(xué)生也悟到了，兩個(gè)題目其實(shí)都是根據(jù)“工作時(shí)間×工作效率=工作總量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)解決的。當(dāng)學(xué)生有了這樣的發(fā)現(xiàn)后，教師大力表?yè)P(yáng)。然后順著學(xué)生的回答進(jìn)行小結(jié)：不管這類(lèi)題目怎么變，我們都應(yīng)該試著去尋找題目中不變的關(guān)系，把它們作為解題的金鑰匙。這樣一來(lái)，這組循序漸進(jìn)的練習(xí)題也就起到了真正的效果。

四、總結(jié)提升——因?yàn)槔斫?，再?gòu)?fù)雜也不怕

出示：一段路，甲隊(duì)單獨(dú)修10天，甲乙兩隊(duì)合修需6天，乙單獨(dú)修平均每天可修240米。這段路有多少米？（學(xué)生獨(dú)立完成）

設(shè)計(jì)意圖：本題是在第2題的基礎(chǔ)上的又一步提升，從原來(lái)的一個(gè)隊(duì)變成了兩個(gè)隊(duì)，數(shù)量關(guān)系也進(jìn)一步復(fù)雜起來(lái)。從學(xué)生的前測(cè)情況看，已知兩個(gè)隊(duì)的工作效率和及其中一個(gè)隊(duì)的工作效率，求另一個(gè)隊(duì)的工作時(shí)間，學(xué)生也是存在困難的。因此，在這個(gè)環(huán)節(jié)，也需要放慢腳步，為學(xué)生搭好支架。剩下的學(xué)生能夠從第1、2題中獲得啟發(fā)，去思考不變的是工作效率、工作時(shí)間、工作總量這三者的關(guān)系，變的是求工作時(shí)間的辦法，因?yàn)橐阎獥l件變了，需要根據(jù)合作時(shí)間和甲隊(duì)的單修時(shí)間來(lái)求出乙隊(duì)的工作時(shí)間。

課堂中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：

剛開(kāi)始出示的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有學(xué)生能很快找到解題思路，老師提醒，覺(jué)得關(guān)系復(fù)雜的時(shí)候，可以多讀幾遍題目，試著從已知的條件中去尋求隱藏的條件，再看看，能不能在前面的1、2題中獲得一些啟發(fā)。

有學(xué)生能夠想到去尋找甲的工作效率，但在這個(gè)問(wèn)題中，這條路走不通，但能有這樣的想法，說(shuō)明他們已經(jīng)把數(shù)量關(guān)系儲(chǔ)備在知識(shí)體系中了。然后換成去找乙的工作時(shí)間，這又需要用工作效率和減去其中的一個(gè)工作效率。盡管本題更為復(fù)雜，但有了前兩題的引導(dǎo)和鋪墊，學(xué)生還是能夠用方法一解決這個(gè)問(wèn)題。方法二基本沒(méi)有學(xué)生能想到。

由教材中一個(gè)簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題發(fā)散出花樣繁多的類(lèi)型，但不管題目怎么變化，都希望學(xué)生能夠根據(jù)題意搭建好“工作效率、工作時(shí)間、工作總量”這三個(gè)基本的數(shù)量作為解題的支架，然后根據(jù)它們之間的關(guān)系，進(jìn)行正確解答。更本質(zhì)的看，其實(shí)我們可以由工程問(wèn)題及行程問(wèn)題、比例問(wèn)題，凡是涉及三個(gè)量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都可以用這種基本的思路來(lái)解決。相信這種“變中尋不變”的數(shù)學(xué)思想會(huì)在學(xué)生心中落地生根，期待他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路上的繁花似錦[3]。