非簡諧勢阱超冷原子氣體中渦旋的形成

馬娟

摘 要：1995年，玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）的實現(xiàn)證實了物質(zhì)第五態(tài)的存在。玻色-愛因斯坦凝聚體是一種新的宏觀量子態(tài)物質(zhì)，它是一種長程相干的物質(zhì)，具有超強相干性和超流性。通過激光擾動，人們會在超冷原子氣體中發(fā)現(xiàn)渦旋的產(chǎn)生。所以，研究超冷原子氣體的渦旋性質(zhì)對于認(rèn)識冷原子氣體的超流特性有深遠(yuǎn)的意義。本文主要研究了冷原子氣體中兩體相互作用及勢阱的非簡諧性對系統(tǒng)模頻率及單核渦旋產(chǎn)生的影響。

關(guān)鍵詞：非簡諧;超冷原子;渦旋

中圖分類號：O469文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-5168（2021）02-0127-03

Formation of Vortex in Ultra-cold Atomic Gases Confined in Anharmonic Potential Trap

MA Juan

（Xinhua College of Ningxia University，Yinchuan Ningxia 750021）

Abstract： In 1995， the realization of Bose-Einstein Condensation （BEC） confirmed the existence of the fifth state of matter. Bose-Einstein condensate is a new macroscopic quantum state matter， which is a long-range coherent matter with super-strong coherence and superfluidity. Through laser perturbation， people can find vortices in the ultra-cold atomic gas. Therefore， studying the vortex properties of ultra-cold atomic gases has far-reaching significance for understanding the superfluid properties of ultra-cold atomic gases. This paper mainly studied the influence of the two-body interaction and the anharmonicity of the potential trap in the ultra-cold atomic gases on the system mode frequency and the single-nuclear vortex.

Keywords：anharmonic;ultra-cold atomic;vortex

早在1924年，印度物理學(xué)家薩蒂延德拉·納思·玻色預(yù)言了在原子溫度非常低時，玻色原子氣體將會在系統(tǒng)的最低能量態(tài)上凝聚。直至1995年，美國科羅拉多大學(xué)實驗天體物理聯(lián)合研究所（JILA）的埃里克·科內(nèi)爾等人才利用先進的激光冷卻和蒸發(fā)冷卻的技術(shù)率先在試驗上實現(xiàn)了玻色愛因斯坦凝聚（BEC）。至此，人們研究BEC系統(tǒng)的技術(shù)瓶頸被打破，對于玻色-愛因斯坦凝聚體的試驗探索揭開了BEC神秘的面紗，人們可以直觀地觀測該凝聚體，并對該凝聚體的各種性質(zhì)進行探索。

物理學(xué)家利用不同的技術(shù)手段形成了各種類型的勢阱（光晶格、簡諧勢阱、非簡諧勢阱、煎餅狀和墨西哥帽狀）囚禁超冷原子氣體，研究它在不同勢阱中的相變、物質(zhì)波傳播、量子計算、Bloch振蕩和隧穿效應(yīng)等特點[1-3]。通過對液氦凝聚體的研究，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了玻色-愛因斯坦凝聚的超流性質(zhì)，這種超流特性體現(xiàn)在它的無耗散性、無旋性，并能支持持續(xù)流等。W Ketterle小組用藍(lán)失諧的激光束攪動玻色-愛因斯坦凝聚體，發(fā)現(xiàn)攪動速度達(dá)到一臨界值時就會有耗散產(chǎn)生，因為激光束的運動速度超過臨界值，使得它在運動方向上的局部流體速度超過聲速，導(dǎo)致超流體中產(chǎn)生渦旋對。然而，這種渦旋對的產(chǎn)生直接在試驗上證實了氣態(tài)玻色-愛因斯坦凝聚體的超流性質(zhì)。本文將從玻色-愛因斯坦凝聚體系統(tǒng)出發(fā)，研究勢阱的非簡諧性及系統(tǒng)中兩體排斥相互作用對玻色-愛因斯坦凝聚體的模頻率及產(chǎn)生單核渦旋的臨界頻率的影響。

1 模型

在低溫下，只考慮玻色-愛因斯坦凝聚體中的兩體相互作用，則BEC系統(tǒng)的動力學(xué)行為可以利用含時的GP方程描述[4-6]：

[ih?ψ（r，t）?t=-h22m?2+V+gψ（r，t）2-Ω0Lzψ（r，t）]（1）

式中，[g]為原子間兩體相互作用的物理量，對于實驗室的[87Rb]原子，[g=5h×10-11 cm3/s][6];[Lz]為軸向角動量算符;[Ω0]為勢阱旋轉(zhuǎn)頻率;[V]為磁囚禁勢。

[Lz=xpy-ypx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

[V=12mω20[（x2+y2）+ε（x2-y2）+ω2zω20z2]+U0e-2r2w2]? ? ? （3）

式中，[w]和[U0]根據(jù)實驗室數(shù)據(jù)選定（光束腰[w]=25 μm，激光束強度[U0]約為1.242×10-30 J）[7]。

勢阱的軸向頻率為1 200 Hz，橫向頻率為120 Hz。根據(jù)限制條件[2rw<1]，對于勢阱，利用高斯勢展開，則其可以表示為：

[U（r）=U0e-2r2w2～U0（1-2r2w2+2r4w4）]? ? ? ? ? ? ? （4）

此時，勢阱可以通過簡化寫為：

[V=12hω0[（x2+y2） （1-k）+ε（x2-y2）+ω2zω20z2+λ（x2+y2）2]]（5）

式中，[k=4U0/mω20ω2];[λ=k（a0/ω）2];[x]、[y]、[z]是以諧振長度[a0]（2.489 μm）為單位。

設(shè)[Z]方向的波函數(shù)是：

[ψz=（πaz）-0.5e-z2/2a2z]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式中，[az=h/mωz]。

對式（1）中變量分離寫出系統(tǒng)的拉格朗日密度，即

[ih2（ψ?ψ??t-ψ??ψ?t）+（h22m?ψ2+V（x，y）ψ2+g2ψ4-Ω0ψ?Lzψ）]? ? ? ? ? ? ? （7）

式中，[g=g/2πaz]。

考慮準(zhǔn)二維情況，采用如下試探函數(shù)[4-5]：

[ψ（X，Y，t）=C（t）e-0.5[α（t）X2+β（t）Y2-2iγ（t）XY]]? ? ? （8）

式中，[C（t）]是歸一化常量;[X=x/a0]，[Y=y/a0]，[a0]為諧振長度。

[C（t）]用公式可以表示為：

[C（t）=（ND/πa20）0.5]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

式中，[N]為原子總數(shù);[D=α1β1-γ21];[a0=h/mω0]。

[α（t）=α1（t）+iα2（t）]、[β（t）=β1（t）+iβ2（t）]、[γ（t）=γ1（t）+iγ2（t）]是無量綱的復(fù)變量。將上述試探波函數(shù)代入拉格朗日密度方程中進行空間上的積分：

[LNhω0=14D{-（β1α2+α1β2+2γ1γ2）+（α1+β1）D+（α22+γ22）β1+（β22+γ22）α1+2（α2+β2）γ1γ2+（α1+β1）+λ（3α21+2α1β1+3β21+4γ21）2D+PD32+2Ω[γ1（α2-β2）+γ2（α1-β1）]}]（10）

式中，[P]為兩體相互作用的無量綱量，吸引還是排斥相互作用由s波散射波長決定。

[P]用公式可以表示為：

[P=22π（N-1）a/az]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

系統(tǒng)平衡態(tài)時的變分能量可以得出，即

[ENhω0=14[（α1+β1）+γ22（1α1+1β1）+（1α1+1β1）+λ2（3α21+2α1β1+3β21）+Pα1β1+2Ωγ2（1β1-1α1）]]（12）

式中，[Ω=Ω0/ω0]。

通過對系統(tǒng)能量取極小值，得到平衡態(tài)下關(guān)于變分參量的變分方程，即

[α210（1+P2β10α10）=γ220-2Ωγ20+1+λ（3α10+1β10）β210（1+P2α10β10）=γ220+2Ωγ20+1+λ（3β10+1α10）γ20=Ω（β10-α10）（β10+α10）]（13）

定義變量[η]滿足式（14）條件，它描述了系統(tǒng)由于旋轉(zhuǎn)引起的對稱性破壞問題。

[η==β10α10=Ω+γ20Ω-γ20]? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

從變量的定義式可以看出，它取值為1時，系統(tǒng)中沒有形變產(chǎn)生，也就不可能產(chǎn)生渦旋這一形態(tài)。理論上來說，當(dāng)系統(tǒng)中有渦旋產(chǎn)生時，首先系統(tǒng)形狀會發(fā)生變化，系統(tǒng)中原子因為外界的轉(zhuǎn)動而獲得能量時，系統(tǒng)中單粒子的平均角動量就會發(fā)生變化，單粒子的平均角動量為1時，系統(tǒng)中就會產(chǎn)生渦旋，這一結(jié)論早在試驗上就有過記載和驗證[8-9]。

單粒子平均角動量形式為：

[Nh=Ω（1-η）22η（α10+β10）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

由此可得，系統(tǒng)中產(chǎn)生單核渦旋時的臨界頻率為：

[Ωc=2η（α10+β10）/（1-η）2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

2 模頻率

令[α1=α10+δα1]，[β1=β10+δβ1]，[α2=δα2]，[β2=δβ2]，[γ2=δγ2]，對系統(tǒng)的拉格朗日量進行展開，并保留展開式中的二階項。因為勢阱各向同性，則[δα1=-δβ1]，令旋轉(zhuǎn)頻率為0，根據(jù)歐拉-拉格朗日方程，可以得到關(guān)于[δα1]和[δβ1]的耦合方程組，得出系統(tǒng)的四極模頻率具有如下形式：

[δα1=[P2α210β10α10-4-2λ（9α10+2β10）]δα1-? ? ? ? ? [P2α210α10β10+2λα10β210]δβ1δβ1=[P2β210α10β10-4-2λ（2α10+9β10）]δβ1-? ? ? ? ? [P2β210β10α10+2λβ10α210]δα1]? ? ? （17）

[ω2q=4（1-k）+20λR0-PR20]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

式中，[R0]為系統(tǒng)的平衡半徑。

四極模頻率[ωq]隨著[λ]和[P]的變化關(guān)系如圖1所示。圖1（a）中，四極模頻率[ωq]隨著[λ]的增加而減?。╗λ<0.01（k<1）]），達(dá)到某一極小值后，即當(dāng)[λ>0.01（k>1，墨西哥帽狀）]時，則會出現(xiàn)增加的趨勢。圖1（b）給出[ωq]在墨西哥帽的勢阱中隨著兩體排斥相互作用的增加逐漸增加。

3 渦旋的形成

利用平衡方程式（13），得到一個耦合多項式方程組，即

[（α310β310+2α410β210+α510β10）（1+P2β10α10）-α310β10（3Ω2-k+1）+（α10β310+2α210β210）（Ω2+k-1）-λ（5α210β10+7α10β210+α310+3β310）=0（α310β310+2α210β410+α10β510）（1+P2α10β10）-α10β310（3Ω2-k+1）+（α310β10+2α210β210）（Ω2+k-1）-λ（5α10β210+7α210β10+β310+3α310）=0]? ? ? （19）

對于非簡諧勢阱，在只考慮系統(tǒng)中原子間的排斥相互作用時，它產(chǎn)生渦旋的臨界頻率隨著非簡諧因子[λ]的增加先減小后增加。當(dāng)勢阱形狀是墨西哥帽時，臨界旋轉(zhuǎn)頻率比較小，這表明此種情況下，系統(tǒng)慢速旋轉(zhuǎn)就可以產(chǎn)生渦旋。在[k=1.1]，[P]=1.0時，臨界頻率[Ωc]隨[λ]的變化關(guān)系如圖2所示。

4 結(jié)論

對于旋轉(zhuǎn)束縛在非簡諧勢阱中的BEC系統(tǒng)，根據(jù)變分方法，將BEC系統(tǒng)的四極模頻率計算出來，通過作圖發(fā)現(xiàn)，在只考慮系統(tǒng)中原子間兩體排斥相互作用時，四極模頻率在非簡諧因子[λ]增加的過程中逐漸減小至某一極小值后又會增加。當(dāng)系統(tǒng)中[k>1]時，系統(tǒng)的模頻率則會隨著兩體排斥相互作用的增加而增加。系統(tǒng)產(chǎn)生渦旋的臨界旋轉(zhuǎn)頻率也有同樣的變化圖像。在只考慮兩體排斥相互作用時，系統(tǒng)中臨界渦旋頻率隨著非簡諧因子[λ]先減小再增加，相較于一般勢阱，非簡諧勢阱中發(fā)生形變進而產(chǎn)生渦旋更容易些，也就是給勢阱一個小的旋轉(zhuǎn)就會有渦旋產(chǎn)生。但是，當(dāng)勢阱深度越來越深，越來越緊時，產(chǎn)生渦旋的外界旋轉(zhuǎn)頻率則會增大。

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