魔方與上帝之數(shù)

2008年7月，來自世界各地的很多最優(yōu)秀的魔方玩家聚集在捷克共和國中部的帕爾杜比采，參加魔方界的重要賽事：捷克公開賽。在這次比賽上，荷蘭玩家阿克斯迪杰克創(chuàng)下了一個驚人的紀錄：只用7.08秒就復原了一個顏色被徹底打亂的魔方。無獨有偶，在這一年的8月，人們在研究魔方背后的數(shù)學問題上也取得了重要進展。

風靡世界的玩具

1974年春天，匈牙利布達佩斯應用藝術學院的建筑學教授魯比克萌生了一個有趣的念頭，他想設計一個教學工具來幫助學生直觀地理解空間幾何的各種轉動。經過思考，他決定制作一個由一些小方塊組成的，各個面能隨意轉動的3×3×3的立方體。這樣的立方體可以很方便地演示各種空間轉動。

這個想法雖好，實踐起來卻面臨一個棘手的問題，即如何才能讓這樣一個立方體的各個面能隨意轉動？魯比克想了很多點子，比如用磁鐵或橡皮筋連接各個小方塊，但都不成功。那年夏天的一個午后，他在多瑙河畔乘涼，他的眼光不經意地落在了河畔的鵝卵石上。忽然，他心中閃過一個新的設想：用類似于鵝卵石那樣的圓形表面來處理立方體的內部結構。這一新設想成功了，魯比克很快完成了自己的設計，并向匈牙利專利局申請了專利。這一設計就是我們都很熟悉的魔方，也叫魯比克方塊。

6年后，魯比克的魔方經過一位匈牙利商人兼業(yè)余數(shù)學家的牽頭，打進了西歐及美國市場，并以驚人的速度成為風靡全球的新潮玩具。在此后的25年間，魔方的銷量超過了3億個。在魔方玩家中，既有牙牙學語的孩子，也有跨國公司的老總。魔方雖未如魯比克設想的那樣成為一種空間幾何的教學工具，卻變成了有史以來最暢銷的玩具。

魔方之暢銷，最大的魔力就在于其數(shù)目驚人的顏色組合。一個魔方出廠時每個面各有一種顏色，總共有六種顏色，但這些顏色被打亂后，所能形成的組合數(shù)卻多達4325億億。我們可以很有把握地說，假如不掌握訣竅地隨意亂轉，一個人哪怕從宇宙大爆炸之初就開始玩魔方，也幾乎沒有任何希望將一個色彩被打亂的魔方復原。

魔方與上帝之數(shù)

自1981年起，魔方愛好者們開始舉辦世界性的魔方大賽，從而開始締造自己的世界紀錄。這一紀錄被不斷地刷新著。當然，單次復原的紀錄存在一定的偶然性，為了減少這種偶然性，自2003年起，魔方大賽的冠軍改由多次復原的平均成績來決定，目前這一平均成績的世界紀錄為11.28秒。這些紀錄的出現(xiàn)，表明魔方雖有天文數(shù)字般的顏色組合，但只要掌握竅門，將任何一種組合復原所需的轉動次數(shù)卻并不多。

那么，最少需要多少次轉動，才能確保無論什么樣的顏色組合都能被復原呢？這個問題引起了很多人，尤其是數(shù)學家的興趣。這個復原任意組合所需的最少轉動次數(shù)被數(shù)學家們戲稱為“上帝之數(shù)”。

要研究上帝之數(shù)，首先當然要研究魔方的復原方法。早在20世紀90年代中期，人們就有了較實用的算法，可以用平均15分鐘左右的時間找出復原一種給定顏色組合的最少轉動次數(shù)。

從理論上講，如果有人能對每一種顏色組合都找出這樣的最少轉動次數(shù)，那么這些轉動次數(shù)中最大的一個無疑就是上帝之數(shù)。但可惜的是，4325億億這個巨大的數(shù)字成為人們窺視上帝之數(shù)的攔路虎。如果采用上面提到的算法，哪怕用一億臺機器同時計算，也要超過一千萬年的時間才能完成。

看來蠻干是行不通的，數(shù)學家們于是便求助于他們的老本行：數(shù)學。從數(shù)學的角度看，魔方的顏色組合雖然千變萬化，其實都是由一系列基本的操作即轉動產生的，而且那些操作還具有幾個非常簡單的特點，比如任何一個操作都有一個相反的操作（比如與順時針轉動相反的操作就是逆時針轉動）。對于這樣的操作，數(shù)學家們的軍火庫中有一種非常有效的工具來對付它，這工具叫做群論，它早在魔方問世之前一百四十多年就已出現(xiàn)了。

對魔方研究來說，群論有一個非常重要的優(yōu)點，就是它可以充分利用魔方的對稱性。我們前面提到4325億億這個巨大數(shù)字時，其實有一個疏漏，那就是并未考慮到魔方作為一個立方體所具有的對稱性。由此導致的結果，是那4325億億種顏色組合中有很多其實是完全相同的，只是從不同的角度去看（比如讓不同的面朝上）而已。因此，4325億億這個令人望而生畏的數(shù)字實際上是“注水豬肉”。那么，這“豬肉”中的“水分”占多大比例呢？說出來嚇大家一跳：占了將近99%！換句話說，僅憑對稱性一項，數(shù)學家們就可以把魔方的顏色組合減少兩個數(shù)量級。

但減少兩個數(shù)量級對于尋找上帝之數(shù)來說還遠遠不夠，因為那不過是將前面提到的1000萬年的時間減少為了10萬年。對于解決一個數(shù)學問題來說，十萬年顯然還是太長了。因此為了尋找上帝之數(shù)，人們還需要尋找更巧妙的思路。幸運的是，群論這一工具的威力遠不只是用來分析像立方體的對稱性那樣顯而易見的東西，在它的幫助下，新的思路很快就出現(xiàn)了。

尋找上帝之數(shù)

1992年，德國數(shù)學家科先巴提出了一種尋找魔方復原方法的新思路。他發(fā)現(xiàn)，在魔方的基本轉動方式中，有一部分可以自成系列，通過這部分轉動可以形成將近200億種顏色組合。利用這200億種組合，科先巴將魔方的復原問題分解成了兩個步驟：第一步是將任意一種顏色組合轉變?yōu)槟?00億種組合之一，第二步則是將那200億種組合復原。如果我們把魔方復原比作是讓一條汪洋大海中的小船駛往一個固定的目的地，那么科先巴提出的那200億種顏色組合就好比是一片特殊的水域—一片比那個固定地點大了200億倍的特殊水域。他提出的兩個步驟就好比是讓小船首先駛往那片特殊水域，然后從那里駛往那個固定的目的地。在汪洋大海中尋找一片巨大的特殊水域，顯然要比直接尋找那個小小的目的地容易得多，這就是科先巴的新思路的優(yōu)越之處。

但即便如此，要用科先巴的方法對上帝之數(shù)進行估算仍不是一件容易的事。尤其是，要想進行快速的計算，最好是將復原那200億種顏色組合的最少轉動次數(shù)存儲在計算機的內存中，這大約需要300兆的內存。300兆在今天看來是一個不太大的數(shù)目，但在科先巴提出新思路的那年，普通計算機的內存連它的十分之一都遠遠不到。因此直到3年后，才有人利用科先巴的方法給出了第一個估算結果。此人名叫里德，是美國佛羅里達大學的數(shù)學家。1995年，里德通過計算發(fā)現(xiàn)，最多經過12次轉動，就可以將魔方的任意一種顏色組合變?yōu)榭葡劝湍?00億種組合之一;而最多經過18次轉動，就可以將那200億種組合中的任意一種復原。這表明，最多經過12+18=30次轉動，就可以將魔方的任意一種顏色組合復原。

在得到上述結果后，里德很快對自己的計算作了改進，將結果從30減少為29，這表明上帝之數(shù)不會超過29。此后隨著計算機技術的發(fā)展，數(shù)學家們對里德的結果又作了進一步的改進，但進展并不迅速。直到11年后的2006年，奧地利開普勒大學符號計算研究所的博士生拉杜才將結果推進到了27。第二年，即2007年，美國東北大學的計算機科學家孔克拉和庫伯曼又將結果推進到了26，他們的工作采用了并行計算系統(tǒng)，所用內存高達700萬兆，所耗計算時間則長達8000小時（相當于將近一年的24小時不停歇計算）。這些計算結果表明，上帝之數(shù)不會超過26。2008年，研究上帝之數(shù)長達15年之久的計算機高手羅基奇運用了相當于將科先巴的特殊水域擴大幾千倍的巧妙方法，在短短幾個月的時間內對上帝之數(shù)連續(xù)發(fā)動了4次猛烈攻擊，將它的估計值從25一直壓縮到了22。截至今日，這是全世界范圍內的最佳結果。

因此，現(xiàn)在我們已經知道，上帝之數(shù)一定不超過22。但是，羅基奇的特殊水域雖然很大，終究仍有很多顏色組合的最佳復原方法是無須經過那片特殊水域的，因此，上帝之數(shù)很可能比22更小。那么，它究竟是多少呢？人們雖然還無法確知，但種種跡象表明，它極有可能是20。這是因為，人們在過去這么多年的所有努力中，都從未遇到任何必須用20次以下轉動才能復原的顏色組合，這表明“上帝之數(shù)”很可能不大于20。

另一方面，人們已經發(fā)現(xiàn)了幾萬種顏色組合，它們必須要用20次轉動才能復原，這表明上帝之數(shù)不可能小于20。將這兩方面綜合起來，數(shù)學家們普遍相信，上帝之數(shù)的真正數(shù)值就是20。當然，“上帝”也許是微妙的，我們誰也無法保證它是否會在某個角落為我們留下驚訝，我們唯一有理由相信的也許是：這個游戲與數(shù)學交織而成的神秘的上帝之數(shù)距離它水落石出的那一天已不太遙遠了。