數(shù)據(jù)與拷貝矩陣相關(guān)統(tǒng)計(jì)匹配場波束形成

過宇艷 宮先儀

（第七一五研究所 聲納技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310023）

匹配場波束形成是平面波波束形成的推廣，廣泛應(yīng)用于水下被動定位、海洋地質(zhì)參數(shù)反演、噪聲約束等[1-3]。然而由于匹配場波束形成對聲速剖面、水深、泥沙參數(shù)等引起的環(huán)境失配的敏感性，其應(yīng)用受到嚴(yán)重限制[4-6]。實(shí)際的海洋環(huán)境是混沌、彌散、起伏的，具有不確實(shí)性。不確實(shí)性海洋環(huán)境即環(huán)境具有隨機(jī)性而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)忽略或知識（信息）缺失的情況。常規(guī)匹配場波束形成中確定性的拷貝向量無法描述隨機(jī)起伏的海洋環(huán)境，導(dǎo)致匹配場波束形成的定位效果不佳。常規(guī)匹配場波束形成屬于牛頓力學(xué)的研究范疇，經(jīng)典的牛頓力學(xué)可能無法完全描述海洋隨機(jī)性，故要用統(tǒng)計(jì)力學(xué)的觀點(diǎn)，加入概率和熵的概念。本文在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的范疇下，用隨機(jī)變化的拷貝互譜密度矩陣與數(shù)據(jù)互譜密度矩陣作比較（相關(guān)），得到SMFBF 模糊度表面?？截惻c數(shù)據(jù)的矩陣-矩陣相關(guān)較常規(guī)的向量相關(guān)增加了系統(tǒng)的自由度，能夠獲得更好的定位性能。

互譜密度矩陣?yán)碚摵退惴ǖ难芯渴謴V泛[7-9]。度量兩個矩陣之間的相關(guān)性可以考慮為計(jì)算矩陣之間的距離，常見方法是歐氏距離[10]，即在歐幾里得空間內(nèi)，兩點(diǎn)之間直線的距離。由于互譜密度矩陣是埃爾米特（Hermitian）矩陣，并且是正半定的，在信號空間中形成一個黎曼流形[11]，因此，常用的歐氏距離可能并不是最佳的度量方式，用黎曼距離更為恰當(dāng)，黎曼距離越小說明矩陣之間的相關(guān)性越大。黎曼幾何方法在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中是十分有效的。統(tǒng)計(jì)模型是所有可能概率分布的子集，常常形成嵌入在所有可能概率分布集合中的有限維流形[12]。但真實(shí)分布可能并不在統(tǒng)計(jì)模型中，而是十分接近統(tǒng)計(jì)模型，所以需要知道統(tǒng)計(jì)模型在所有可能分布集合中的占比和形狀，并形成兩個概率分布之間的距離或差異度量，這就是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的幾何方法。黎曼距離度量方法在信號分類中的應(yīng)用較為廣泛，Li等[13]采用功率譜密度矩陣作為特征來區(qū)分不同類型的腦電圖信號，以確定人的睡眠狀態(tài)。Mohamad等[14]對腦電圖信號進(jìn)行了相關(guān)熵譜密度矩陣的評估，并將這些矩陣之間的黎曼距離作為大腦中語音信號識別的衡量指標(biāo)。黎曼距離應(yīng)用到水聲領(lǐng)域的研究還較少，F(xiàn)inette 等[15]應(yīng)用黎曼距離實(shí)現(xiàn)聲源被動定位。本文探討用SMFBF 方法來提高隨機(jī)海洋環(huán)境中垂直線陣的被動定位性能。

1 統(tǒng)計(jì)力學(xué)過程與隨機(jī)海洋環(huán)境

統(tǒng)計(jì)力學(xué)用多個質(zhì)點(diǎn)的平均運(yùn)動或固體的平均振動來解釋熱動力學(xué)定律[16]，給出熵的微觀解釋，形成為Boltzmann 和Gibbs 熵（BG 熵），用概率作描述。香農(nóng)用通信數(shù)學(xué)理論（A Mathematical Theory of Communication，MTC）研究信息的定量性質(zhì)。微觀級的通信數(shù)學(xué)理論和宏觀級的熱動力學(xué)結(jié)合形成統(tǒng)計(jì)力學(xué)這一綱。

海洋聲傳播中十大水動力學(xué)方程[17]：由牛頓定律導(dǎo)出的三個動量方程，質(zhì)量、鹽度和熱流守恒定律三個方程，熱動力學(xué)第一和第二定律兩個方程，一個狀態(tài)方程以及一個內(nèi)能或焓的方程；其中包含十個物理變量，分別是速度（u、v、w）、密度ρ、鹽s、溫度T、壓力p、內(nèi)能e、熵η 和熱量q。熵是描述熱流及其聯(lián)系的無序性/擴(kuò)展性，它與介質(zhì)速度c 密切相關(guān)。聲速的定義通過壓力關(guān)于密度的等熵變化給出：

所以在混沌、彌散、起伏、隨機(jī)海洋中，熵組織了聲傳播，故用統(tǒng)計(jì)力學(xué)研究系統(tǒng)是恰當(dāng)?shù)?。同時，溫、鹽、熵等物理量的變化最終導(dǎo)致聲速的隨機(jī)變化，所以不確實(shí)性海洋環(huán)境可以理解為聲速場具有不確實(shí)性的情況。不確實(shí)性在這里定義為：對聲速場的描述缺乏完整的知識的一些定量度量[18]，在傳統(tǒng)的匹配場波束形成中，聲速場被簡化為等聲速或正/負(fù)梯度剖面，是一種確定性的聲速剖面。而實(shí)際的聲速場是存在隨機(jī)性的，故應(yīng)在傳統(tǒng)的確定性聲速剖面上加入隨機(jī)擾動以描述環(huán)境不確實(shí)性，表示為

2 兩種算法

在水下聲源定位問題中，最常用的方法是平面波波束形成和匹配場波束形成。從面向應(yīng)用的角度看，平面波波束形成和匹配場波束形成有如圖1 所示的發(fā)展。在自由場環(huán)境中，聲速在深度、距離上都是均勻的，傳統(tǒng)的波束形成方法能夠確定聲源的方位角；在聲速僅隨深度方向變化的常熵波導(dǎo)中，匹配場波束形成方法能夠?qū)崿F(xiàn)聲源的距離和深度定位；而在不確實(shí)性海洋環(huán)境中，接收數(shù)據(jù)場和拷貝場都存在隨機(jī)性，傳統(tǒng)匹配場波束形成方法（ Conventional Matched Field BeamForming ，CMFBF）中的拷貝向量無法描述聲壓場的隨機(jī)性，也就無法描述海洋的隨機(jī)變化性，故由CMFBF 發(fā)展到SMFBF。

圖1 波束形成發(fā)展

2.1 CMFBF

設(shè)源輻射頻率為f 的窄帶信號在頻域?yàn)閟 （ωf），源的位置為 rs，接收線陣有N 個陣元，陣元位置為rm(m=1,2,..., M)，則M 個陣元接收的聲壓場為：

式中， yl（ωf, rs,rm）為垂直線陣第l 個快拍接收到的聲壓場數(shù)據(jù)； g （ωf, rs,rm）為格林函數(shù)，由仿真軟件根據(jù)環(huán)境文件計(jì)算得到； nl（ωf,rm）為第l 個快拍的加性噪聲。

數(shù)據(jù)互譜密度矩陣由多個快拍的數(shù)據(jù)得到

式中，*為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。類似地，拷貝的互譜密度矩陣可以由多個快拍的拷貝聲壓場得到

CMFBF 中，距離和深度的定位模糊平面P 為

2.2 SMFBF

對于SMFBF 方法，首先給出矩陣之間的歐氏距離和黎曼距離度量方法，然后類比到聲源定位問題中，獲得矩陣-矩陣相關(guān)的SMFBF 處理器。

M×M 維矩陣A 和B 可以視為M2復(fù)信號空間中的點(diǎn)，故A 和B 之間的歐氏距離為[19]

式中，T 為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

互譜密度矩陣R 是M×M 維Hermitian 正半定矩陣，因此在實(shí)線性向量空間H 中形成流形M ，則兩矩陣的距離應(yīng)在流形表面進(jìn)行測量，流形上兩點(diǎn)之間的距離為[20]

3 數(shù)值仿真結(jié)果

內(nèi)波廣泛存在于海洋中，會對聲速場造成隨機(jī)擾動從而對海洋聲遙感和匹配場處理造成限制。此外，內(nèi)波會引起聲場的耦合，使聲場結(jié)構(gòu)在深度和距離上重新分布[21]。仿真實(shí)驗(yàn)利用孤立子內(nèi)波存在位置的隨機(jī)性來產(chǎn)生隨機(jī)聲速場。

圖2 背景聲速場

背景聲速場在水下40 m 形成一個溫躍層，聲速隨深度迅速下降。在溫躍層內(nèi)，線性和非線性內(nèi)波的動力學(xué)最為活躍。聲速擾動δc r,z;t（ ）建模為高斯孤立子內(nèi)波[22]：

圖3 內(nèi)波在100 m 處的聲速場

數(shù)據(jù)場和拷貝場的聲速場均采用上述聲速場，即聲速在距離、深度、時間三維上存在隨機(jī)擾動，隨機(jī)擾動是由內(nèi)波的隨機(jī)位置導(dǎo)致的。聲速場中的內(nèi)波位置隨機(jī)位于50～100 m 之間，故數(shù)據(jù)場和拷貝場兩者聲速場之間存在隨機(jī)失配。探測深度為0～24 m，劃分間隔為1 m，探測距離為0～500 m，劃分間隔為0.5 m，聲源在原點(diǎn)，聲源深度20 m，發(fā)射100 Hz 的窄帶信號；接收陣在350 m 處，陣元深度為0～100 m，每隔1 m 一個陣元。用RAM（Range-dependent Acoustic Model）模型進(jìn)行仿真，聲壓場如圖4 所示。

圖4 聲壓場示意圖

不確實(shí)海洋環(huán)境下CMFBF 三維圖和x-y 平面示意圖見圖5。同樣仿真條件下，SMFBF 方法采用式（6）的形式，三維圖和x-y 平面示意圖見圖6。由圖5～6 的對比可以看出，在聲速場存在隨機(jī)擾動、數(shù)據(jù)場和拷貝場存在隨機(jī)失配的情況下，SMFBF方法相較于CMFBF 方法定位性能有明顯提升，提高了源定位的分辨力并有效降低旁瓣。CMFBF 和SMFBF 距離和深度維剖面示意圖見圖7。

圖5 CMFBF 算法結(jié)果

圖6 SMFBF 算法結(jié)果

圖7 CMFBF 和SMFBF 剖面對比

由圖7 可以看出，在距離維和深度維，SMFBF的主瓣更窄，旁瓣更低。但在距離維可以發(fā)現(xiàn)SMFBF 方法的平均能量抬升較高，平均能量集中在-13 dB 左右。

4 結(jié)論

本文針對水下源被動定位問題，提出數(shù)據(jù)與拷貝矩陣相關(guān)的SMFBF 方法，由于互譜密度矩陣的性質(zhì)，通過求解數(shù)據(jù)互譜密度矩陣和拷貝互譜密度矩陣之間黎曼距離的最小值獲得聲源位置的估計(jì)。

由于海洋環(huán)境的不確實(shí)性，陣列接收數(shù)據(jù)是一個隨機(jī)場，那么與之匹配的拷貝也應(yīng)是一個隨機(jī)場，故SMFBF 方法中矩陣-矩陣對比包含了海洋環(huán)境可變性的額外自由度。相比于CMFBF 中確定性拷貝向量與隨機(jī)數(shù)據(jù)場相關(guān)，SMFBF 中數(shù)據(jù)場和拷貝場均隨機(jī)的情況自然能達(dá)到更好的匹配。

另外，本文的仿真條件雖然存在數(shù)據(jù)與拷貝聲速場的隨機(jī)失配，但失配條件不足以使常規(guī)方法產(chǎn)生定位錯誤，也就無法證明SMFBF 的寬容性。后續(xù)將研究其余可能的隨機(jī)海洋建模方法和相應(yīng)失配情況，探究在隨機(jī)環(huán)境下SMFBF 是否具有更好的寬容性。