部分截斷Euler-Maruyama數(shù)值方法的保正性

汪 勇，胡良劍

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

截斷Euler-Maruyama(EM)方法是MAO在提出的一種新的顯式方法[1]，用于研究高度非線性隨機微分方程數(shù)值解，并證明了該數(shù)值方法的Lp收斂性。之后，文獻(xiàn)[2]從步長的角度出發(fā)，改進(jìn)了部分嚴(yán)格的限制性條件，并確保截斷EM方法的收斂性和穩(wěn)定性仍然成立。文獻(xiàn)[3]針對有限時間強收斂性的假設(shè)條件進(jìn)行了分解，文獻(xiàn)[4]從穩(wěn)定性的角度出發(fā)，研究了部分截斷EM方法。之后，部分假設(shè)條件的限制被放松[5]，文獻(xiàn)[6]對假設(shè)條件做了進(jìn)一步優(yōu)化。隨后，出現(xiàn)了更多關(guān)于隨機微分方程數(shù)值解的相關(guān)研究[7-10]，并且出現(xiàn)帶時滯的隨機微分方程數(shù)值解相關(guān)理論研究[11]。

本文考慮一個標(biāo)量隨機微分方程

dx(t)=b(x(t))dt+σ(x(t))dW(t),t≥0

(1)

式中:b和σ為局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)；W(t)為一維布朗運動；初值x(0)=x0>0。在許多包含數(shù)量問題的實踐中，比如對股票市場的研究以及生物種群模型的研究時，需要模型的解取正值。因此，當(dāng)隨機微分方程(1)有一個正解，如何構(gòu)造它的數(shù)值近似，以保證數(shù)值解也為正是主要研究問題。

對于數(shù)值解保正性的研究已經(jīng)有了一些已知的結(jié)論[12-14]。文獻(xiàn)[15]證明了EM方法不能使任何一維隨機微分方程數(shù)值解保持正性。文獻(xiàn)[16]使用Lamperti變換，對擴散系數(shù)嚴(yán)格為正的原始隨機微分方程進(jìn)行了變換，變?yōu)?/p>

dx(t)=F(x(t))dt+c0dW(t)

并采用隱式歐拉法對變換后的隨機微分方程進(jìn)行離散化，使得在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，隨機微分方程的數(shù)值解收斂到真實解。文獻(xiàn)[17]提出了一類在適當(dāng)步長和權(quán)值下保正性的平衡隱式方法，收斂條件需滿足線性增長條件。

文獻(xiàn)[18]提出了Cox-Ingersoll-Ross(CIR)金融模型

x(0)=x0

且該模型在實踐中有所應(yīng)用。

為了研究更普遍的具有保正性的隨機微分方程數(shù)值解問題，而不是特例，本文從一般的隨機微分方程出發(fā)，構(gòu)造一個顯式對數(shù)EM格式。采用部分截斷EM方法，在保證隨機微分方程數(shù)值解收斂性的同時，能夠保持其正性。

1 預(yù) 備

由于只考慮隨機微分方程(1)的正解，因此假設(shè)系數(shù)b和σ為定義在R+上的實值函數(shù)，同時，假設(shè)b、σ為Lipschitz連續(xù)的。對于c∈R+，引入標(biāo)量函數(shù)

定義

假設(shè)1 假設(shè)下列Feller條件

(2)

成立。由文獻(xiàn)[19]中命題5.17和5.18的相關(guān)結(jié)論可知，條件(2)等價于隨機微分方程(1)具有唯一強解x(t)，t≥0，并且其軌道包含在R+中，即

P(x(t)∈(0,∞),t≥0)=1

(3)

也就是說，假設(shè)條件(2)成立，那么?t≥0，隨機微分方程的解都為正。希望找到一般的數(shù)值方法構(gòu)造式(2)在Feller條件下正的近似解。首先，采取對數(shù)變換，令

y=φ(x)=lnx,x∈R+

應(yīng)用伊藤公式，得到轉(zhuǎn)化后的關(guān)于y(t)的隨機微分方程

dy(t)=f(y(t))dt+g(y(t))dW(t)

(4)

其中y(0)=y0=lnx0，并且

(5)

定理1 如果隨機微分方程(1)滿足假設(shè)1條件，那么隨機微分方程(4)在有限時間存在非爆炸唯一解，即

P(y(t)∈(-∞,∞),t≥0)=1

證明令

以及

此時，方程(4)的解的非爆炸性仍然可以用Feller-條件證明，即

又y=ln(x)，則可知

以及

可以得到，隨機微分方程(4)的解以概率1有限存在，即在有限時間不會趨于無窮。

引理1[3]假設(shè)方程(4)的系數(shù)為局部Lipschitz連續(xù)的，且滿足?γ≥1,p>2，?Kγ≥0，使得

(6)

任給n>0，考慮隨機微分方程

dyn(t)=fn(yn(t))dt+gn(yn(t))dW(t)

(7)

式中：

fn(y)=f((|y|∧n)sgn(y))

gn(y)=g((|y|∧n)sgn(y))

由于隨機微分方程(4)的系數(shù)滿足條件(6)，隨機微分方程(7)的系數(shù)滿足全局Lipschitz條件，所以當(dāng)n→∞時，存在唯一的解yn(t)，依概率收斂到隨機微分方程(4)的精確解y(t)[3]。應(yīng)用截斷EM方法于方程(7)，可以得到一個數(shù)值逼近yΔ,n(t)在Lp意義下強收斂到y(tǒng)n(t)。因此，?Δ，?nΔ，使得yΔ,nΔ(t)依概率收斂到y(tǒng)(t)。

然而，經(jīng)過對數(shù)變換后，隨機微分方程(4)的系數(shù)為超線性增長甚至指數(shù)增長，給數(shù)值方法的構(gòu)建帶來新的困難，所以基于全局Lipschitz條件或者多項式增長條件下的強收斂定理不再適用。

2 數(shù)值解的收斂性和保正性

2.1 相關(guān)引理及假設(shè)

?T>0，給定有限時間間隔[0,T]，考慮分割0=t0

這里p∈[1,∞)，則

引理1說明EM逼近在強或者弱Lp意義下都可能發(fā)散，所以需要討論轉(zhuǎn)化后的隨機微分方程數(shù)值解的指數(shù)可積性。因此，當(dāng)系數(shù)呈指數(shù)增長同時需要滿足指數(shù)可積性的附加要求時，現(xiàn)有的強收斂性結(jié)論在一些情況下將不適用。本文將重點討論截斷EM方法，該方法因其簡單而在實踐中廣受歡迎。但是，即使這種方法簡單，仍然需要處理指數(shù)增長所帶來的影響。故需要引入一些附加條件，使得截斷EM方法在隨機微分方程的系數(shù)為指數(shù)增長時仍然收斂到其真實解。對隨機微分方程(4)的系數(shù)給出假設(shè)條件。首先假設(shè)隨機微分方程(4)的系數(shù)能被表示為

f(y)=F1(y)+F(y),g(y)=G1(y)+G(y)

(8)

假設(shè)2 假設(shè)系數(shù)F1、F、G1、G滿足如下條件：?L1>0以及γ>0，使得

|F1(x)-F1(y)|∨|G1(x)-G1(y)|≤

L1|x-y|

(9)

以及

|F(x)-F(y)|∨|G(x)-G(y)|≤

L1|x-y|(1+|x|γ+|y|γ)

(10)

其中x,y∈R。

由式(9)可得到系數(shù)F1和G1滿足線性增長條件，即存在常數(shù)K1，使得

|F1(y)|∨|G1(y)|≤K1(1+|y|)

(11)

其中y∈R。

|G(x)-G(y)|2≤L2|x-y|2

(12)

其中x,y∈R。

假設(shè)4 假設(shè)存在常數(shù)p′>p以及K2>0，使得

2.2 截斷EM方法

首先，定義一個在[1,∞)→(0,∞)的嚴(yán)格增函數(shù)μ，使得當(dāng)t→∞時，μ(t)→∞，且

(13)

μ的逆函數(shù)μ-1為定義在[μ(1),∞)→(0,∞)的嚴(yán)格增函數(shù)。給定一個嚴(yán)格遞減函數(shù)h:(0,1]→[μ(1),∞)，且滿足

定義πΔ為R到閉區(qū)間{x∈R:|y|≤μ-1(h(Δ))}上的映射，且

πΔ(y)=[|y|∧μ-1(h(Δ))]sgn(y)

則可以得到

dyΔ(t)=fΔ(yΔ(t))dt+gΔ(yΔ(t))dW(t)

(14)

且有

FΔ(y)=F(πΔ(y)),GΔ(y)=G(πΔ(y))

則

fΔ(y)=F1(y)+FΔ(y)

gΔ(y)=G1(y)+GΔ(y)

由式(13)可以得到

|FΔ(y)|∨|GΔ(y)|≤μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(15)

應(yīng)用EM方法到式(14),可以得到

yΔ(tk+1)=yΔ(tk)+fΔ(yΔ(tk))+

gΔ(yΔ(tk))ΔWk

(16)

式中：k=0,1,…,N-1，ΔWk=W(tk+1)-W(tk)。令yΔ(0)=y0，定義式(16)的連續(xù)形式為

(17)

2.3 精確解的指數(shù)可積性

接下來，證明隨機微分方程(4)的數(shù)值解yΔ(t)和精確解y(t)的指數(shù)可積性。

假設(shè)5 假設(shè)?m≥1，存在常數(shù)Km(不依賴于p和y)，使得

Kmpm,?p>2,y∈R

(18)

其中m與Km之間存在一定關(guān)系，可以理解為當(dāng)m取較小值時，Km更趨向于取較大的值。

定理2 若假設(shè)5成立，且m<2，則對任意正常數(shù)q，方程(4)的精確解y(t)滿足

(19)

證明對yp(t)應(yīng)用伊藤公式得到

這里僅考慮p為正整數(shù)，令R>|y(0)|,τR=inf{t∈[0,T]:|y(t)|≥R}，則可推導(dǎo)出

使用Gronwall不等式，有

exp(Cpt)≤Cp·(2p)mp

由τR的定義知

R2pP(τR≤t)=E((y(τR))2pI{τR≤t})≤

E(y2p(t∧τR))≤Cp·(2p)mp

因此,可以得到

P(τ∞>t)=1

由Jensen不等式，有

E|y(t)|p≤(E(y2p(t)))1/2≤

Cp(2p)mp/2≤Cppmp/2

可知，?q>0，有

當(dāng)m<2時，由斯特林公式，可以得到

E(exp(q|y(t)|))<∞

2.4 截斷EM數(shù)值解的指數(shù)可積性

接下來需要證明截斷EM數(shù)值解仍然為指數(shù)可積的。

定理3 若假設(shè)5成立，則?Δ∈(0,1]，p>2，有

Km(pm+|y|)

(20)

證明當(dāng)|y|≤μ-1(h(Δ))時，式(20)顯然成立。當(dāng)|y|>μ-1h(Δ))時，有

(21)

又由式(18),可知

πΔ(y)F(πΔ(y))≤Kmpm

(22)

將式(22)代入式(21)，得

引理4[4]在假設(shè)5條件下，?Δ∈(0,1]，隨機微分方程(4)的截斷EM數(shù)值解為指數(shù)可積的，即

E(exp(q|yΔ(t)|))<∞,?q>0

(23)

因此可得

(24)

證明由引理5可知，?Δ*∈(0,1]，使得

(25)

給定Δ∈(0,Δ*]，?t∈[0,T]，存在唯一的k≥0，使得tk≤t≤tk+1，有

由式(25)可得

又因為Δ1/4h(Δ)≤1，于是進(jìn)一步可得

定理5 若假設(shè)5成立，?q>0，m<2，隨機微分方程(4)的截斷EM數(shù)值解yΔ(t)滿足

證明由It公式和伊藤積分的性質(zhì)，可得

因此,可以得到

使用Gronwall不等式,有

因此，?t>0，可以得到

E((yΔ(t))2p)≤Cppmp

由Jensen不等式可得

E|yΔ(t)|p≤Cppmp/2,m<2

因此，?Δ∈(0,1]，結(jié)合斯特林公式，可以得到截斷EM數(shù)值解的指數(shù)可積性。

2.5 收斂結(jié)果及其正則性

定義

τR=inf{t∈[0,T]:|yΔ(t)|≥R}

(26)

由于已經(jīng)得到隨機微分方程數(shù)值解和精確解的指數(shù)可積性的相關(guān)結(jié)論，進(jìn)而可以得到

(27)

引理6[5]若假設(shè)2，3，4成立，則隨機微分方程(4)的截斷EM數(shù)值解yΔ(t)強收斂到其精確解，即

(28)

定理6 若假設(shè)5成立，則隨機微分方程(1)的數(shù)值解xΔ(t)=exp(yΔ(t))將強收斂到其精確解，即

(29)

證明由均值定理可得

E|x(t)-xΔ(t)|q=

E|exp(y(t))-exp(yΔ(t))|q≤

E|exp(y(t))+exp(yΔ(t))|q·|y(t)-

yΔ(t)|q≤

[E|exp(y(t))+exp(yΔ(t))|2q]1/2·

[E|y(t)-yΔ(t)|2q]1/2

由引理5、引理6以及指數(shù)可積性結(jié)果,可以得到收斂性結(jié)果，并且數(shù)值解保持了原解的正性。

3 數(shù)值算例

基于Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型，考慮更為一般的隨機微分方程模型

dx(t)=k(λ-x(t))dt+θ·(x(t))αdW(t)

(30)

(31)

可以得到F1(y)=y，

G1(y)=0，G(y)=θexp(-(1-α)y)

易知假設(shè)2成立，對于假設(shè)3，可得

當(dāng)p′>2時成立。對于假設(shè)5，由于2(1-α)<1，?y>0，有

因為

則存在常數(shù)-M，對y<(-M∧-1)，使得

令

則

求解H′(y0)=0，有

因此，存在正數(shù)Km，使得

4 結(jié) 語

本文在一定條件下，將隨機微分方程的系數(shù)拆分為滿足線性增長的部分和不滿足線性增長條件的部分。應(yīng)用部分截斷EM的方法，對隨機微分方程的系數(shù)采取只對不滿足線性增長條件的部分進(jìn)行截斷的方式。通過對數(shù)變換的方法，證明了變換后的隨機微分方程的數(shù)值解和解析解的指數(shù)可積性，進(jìn)一步研究了隨機微分方程數(shù)值解能保持原解析解的正性。