基于跟蹤誤差最小化的被動(dòng)指數(shù)投資組合設(shè)計(jì)與實(shí)證檢驗(yàn)
—— 以滬深300 指數(shù)為例

劉德寶 河北金融學(xué)院

被動(dòng)指數(shù)投資策略是指選定一個(gè)目標(biāo)指數(shù)后，構(gòu)建組合進(jìn)行跟蹤，以期獲得和目標(biāo)指數(shù)的收益率最佳擬合的投資組合收益率，使兩者之間的誤差最小。國(guó)內(nèi)外大量研究表明，通過(guò)選股、擇時(shí)實(shí)現(xiàn)的以期戰(zhàn)勝大盤(pán)走勢(shì)的主動(dòng)型投資策略所取得的業(yè)績(jī)無(wú)法戰(zhàn)勝市場(chǎng)的平均業(yè)績(jī)，同時(shí)，被動(dòng)型投資被市場(chǎng)的接受程度越來(lái)越高。

被動(dòng)指數(shù)投資在實(shí)際操作過(guò)程當(dāng)中，由于各類(lèi)緣由，會(huì)致使被動(dòng)指數(shù)投資組合的收益率偏離既定的目標(biāo)指數(shù)的收益率，這種偏離就是跟蹤誤差。研究如何使跟蹤誤差最小在優(yōu)化指數(shù)投資策略的研究中具有重要的意義。

一、國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

（一）理論分析文獻(xiàn)

在Markowitz（1952）的均值——方差模型中，以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率引出的射線(xiàn)和投資組合的有效邊界相切，兩者的切點(diǎn)形成了市場(chǎng)組合，為被動(dòng)型指數(shù)投資奠定了理論基礎(chǔ)，其與現(xiàn)在的市場(chǎng)指數(shù)都有代表大盤(pán)的作用。Roll（1992）首次定義了跟蹤誤差波動(dòng)率，將跟蹤誤差波動(dòng)率和均值——方差模型結(jié)合在一起，研究在一定收益率水平下如何使跟蹤誤差波動(dòng)率最小化。

（二）實(shí)證研究文獻(xiàn)

Pope 和Yadav（1994）指出，要謹(jǐn)慎選擇收益率數(shù)據(jù)，若頻率太低則數(shù)據(jù)列太短，頻率太高則容易引起時(shí)間序列數(shù)據(jù)自相關(guān)的發(fā)生。Rudolf 等（1998）定義了跟蹤誤差，提 出 了MinMax、Downside MinMax、MAD和MADD 共四種線(xiàn)性跟蹤誤差最小化模型。Mansini 等（2003）提出了LP 模型，并實(shí)證了在此模型下如何實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差最小化。馬永開(kāi)等（2001）求得了跟蹤誤差投資組合決策模型的最優(yōu)解，并探索了其相對(duì)有效性。范龍振等（2002）運(yùn)用APT 模型和因子分析法選取了20 只股票，配以適當(dāng)權(quán)重，構(gòu)造了一個(gè)與A 股指數(shù)一致的投資組合。馬驥等（2004）認(rèn)為線(xiàn)性規(guī)劃模型比二次規(guī)劃模型更為準(zhǔn)確。陳春峰等（2004）選用上證180 指數(shù)為目標(biāo)指數(shù)，構(gòu)建了指數(shù)投資組合，并分別對(duì)抽樣復(fù)制法、分層抽樣復(fù)制法的效果進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。

二、被動(dòng)型指數(shù)投資組合設(shè)計(jì)

（一）標(biāo)的指數(shù)的選擇

目前，國(guó)內(nèi)證券市場(chǎng)上股票指數(shù)眾多，在綜合考慮后，決定選取誕生時(shí)間較長(zhǎng)、更好的反映整個(gè)A 股市場(chǎng)的滬深300 指數(shù)來(lái)作為目標(biāo)指數(shù)。

（二）被動(dòng)型指數(shù)投資組合的構(gòu)建

在對(duì)標(biāo)的指數(shù)選擇完成后，試圖通過(guò)小的樣本組合以及小的資金量來(lái)構(gòu)造投資組合，來(lái)追蹤滬深300 指數(shù)，以期較好的鎖定滬深300 指數(shù)的收益以及波動(dòng)率。

1.組合成分股的初步選擇

首先樣本股選取自滬深A(yù) 股，對(duì)應(yīng)于滬深300 指數(shù)編制中的選股范圍。其次，為使組合的歷史收益率數(shù)據(jù)超過(guò)11 年，且能夠盡可能包含滬深300 指數(shù)中的大權(quán)重股，決定選取的股票上市時(shí)間需早于2007 年3月。最后，取滬深300 指數(shù)自2007 年3 月1 日的日指數(shù)數(shù)據(jù)，剩下的股票取同期的前復(fù)權(quán)價(jià)格，然后求每只股票的日收益率數(shù)據(jù)，求每只股票日收益率時(shí)間序列和指數(shù)時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)，對(duì)其進(jìn)行從大到小的排序，選取相關(guān)系數(shù)位于前34 的股票，完成對(duì)所構(gòu)建的組合中成分股的初步選擇。

2.成分股的再選擇及權(quán)重的確定

選取上述34 只股票的自2007 年3 月到2018 年12 月的月度價(jià)格，并對(duì)價(jià)格進(jìn)行前復(fù)權(quán)處理，以排除配送分紅等情況對(duì)股價(jià)的影響。同時(shí)，求出滬深300 指數(shù)月度點(diǎn)數(shù)的收益率，以及34 只股票的月度收益率數(shù)據(jù)，得到組合樣本股價(jià)格及收益率的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)劃求解：首先，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)。選用的目標(biāo)函數(shù)是使跟蹤誤差平方和最小的函數(shù)式。設(shè)34 個(gè)變量作為權(quán)重：X1，X2，X3...X34，由34 只股票的月度前復(fù)權(quán)價(jià)格矩陣與權(quán)重向量相乘得到月度資產(chǎn)組合市值的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，取此數(shù)據(jù)序列的變動(dòng)率得到組合的收益率序列，再取指數(shù)月度收益率與組合市值收益率的差值的平方，即得到跟蹤誤差平方和。其次，設(shè)置約束條件：第一、個(gè)股在投資組合中所占權(quán)重大于等于0，且權(quán)重之和為1；第二、投資組合的夏普比率等于滬深300 指數(shù)的夏普比率。由于投資組合是為了追蹤滬深300 指數(shù)，因此二者資產(chǎn)組合中每承受一單位風(fēng)險(xiǎn)的超額報(bào)酬應(yīng)該是相等的。同時(shí)在這里不考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的影響，因此，此處夏普比率的計(jì)算是通過(guò)組合的平均收益率與樣本標(biāo)準(zhǔn)差之比來(lái)表示；第三、使投資組合的β 為1。滬深300 指數(shù)在此處被視為是Markowitz 分離定理中的市場(chǎng)組合，被動(dòng)指數(shù)投資組合是為了能夠追蹤滬深300 指數(shù)，必須使組合的β 值為1。β 值的計(jì)算通過(guò)構(gòu)建組合收益率與指數(shù)波動(dòng)率兩個(gè)時(shí)間序列的協(xié)方差矩陣再取矩陣中協(xié)方差和指數(shù)方差的比來(lái)實(shí)現(xiàn)。

基于以上設(shè)置，運(yùn)用EXCEL 中的規(guī)劃求解功能，求解權(quán)重向量。計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，34只股票中有13 只股票的權(quán)重為零，因此剔除這13 只股票，投資組合中剩余21 只股票。假設(shè)可交易1 億只股票，并將計(jì)算出的個(gè)股股數(shù)進(jìn)行整百處理，最終投資組合中的成分股及投資股數(shù)（百股）為：中信證券（1）、雅戈?duì)枺?4622）、鞍鋼股份（62517）、南山鋁業(yè)（171664）、華夏銀行（10258）、江西銅業(yè)（1575）、金融街（21491）、民生銀行（45629）、兗州煤業(yè)（65）、白云機(jī)場(chǎng)（43481）、海通證券（4047）、中國(guó)石化（23413）、中聯(lián)重科（49851）、銅陵有色（81998）、大秦鐵路（62870）、中國(guó)聯(lián)通（54307）、華僑城A（45620）、上海建工（55461）、海爾智家（1955）、中國(guó)銀行（119060）、工商銀行（50115）。

（三）指數(shù)化

完成上述對(duì)投資組合中個(gè)股選擇和權(quán)重的計(jì)算之后，將投資組合的日市值數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)化處理，從而可以更為直觀(guān)的觀(guān)察到投資組合和滬深300 指數(shù)的擬合程度。其中，指數(shù)的計(jì)算方式為：每日的市值除以基期市值（基日為2007 年3 月1 日）乘以2500。同時(shí)根據(jù)投資組合在近12 年內(nèi)的總市值變化（指數(shù)1），流通市值變化（指數(shù)2）以及資產(chǎn)配置后組合市值（指數(shù)3）的變化，編織出3 只指數(shù)，并將其與滬深300 指數(shù)進(jìn)行對(duì)比，觀(guān)察其擬合程度。經(jīng)觀(guān)察，該投資組合和滬深300 指數(shù)的擬合度較高。

（四）回歸分析及實(shí)證檢驗(yàn)

在完成對(duì)被動(dòng)型投資組合日數(shù)據(jù)的指數(shù)化之后，為了從另外一個(gè)角度驗(yàn)證投資組合對(duì)滬深300 指數(shù)的擬合程度，選擇月度數(shù)據(jù)運(yùn)用EVIEWS 軟件進(jìn)行回歸分析。

1.變量選取

選取投資組合市值月度波動(dòng)率為被解釋變量，滬深300 指數(shù)月度波動(dòng)率為解釋變量，建立起一元線(xiàn)性回歸模型，進(jìn)行回歸分析。

2.數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)

滬深300 指數(shù)月度波動(dòng)率：平均（0.00459）、標(biāo)準(zhǔn)誤差（0.00754）、標(biāo)準(zhǔn)差（0.08958）、方差（0.00802）；投資組合月度波動(dòng)率：平均（0.00471）、標(biāo)準(zhǔn)誤差（0.00774）、標(biāo)準(zhǔn)差（0.09185）、方差（0.00844）。

通過(guò)觀(guān)察，二者的平均收益率、標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差等指標(biāo)基本相同。因此在置信度95%的水平下，該投資組合對(duì)滬深300 指數(shù)的擬合度較高，可以較好的追蹤滬深300 指數(shù)的波動(dòng)率。

3.回歸結(jié)果及分析

通過(guò)Eviews 軟件對(duì)二者進(jìn)行回歸分析，由回歸結(jié)果得，算數(shù)收益率的回歸方程為：

從經(jīng)濟(jì)意義上，當(dāng)滬深300 指數(shù)每波動(dòng)1%，該投資組合波動(dòng)為0.99998%，說(shuō)明二者之間基本完全擬合，投資組合的追蹤效果較為明顯。從統(tǒng)計(jì)上進(jìn)行檢驗(yàn)和分析，R-squares 為0.951157，同樣說(shuō)明該投資組合與滬深300 指數(shù)的擬合程度較高。并且，F(xiàn) 值為2706.882，t 值為52.0277，二者均通過(guò)了檢驗(yàn)，可以表明解釋變量滬深300 指數(shù)波動(dòng)率對(duì)于該投資組合波動(dòng)率影響顯著，二者之間的擬合度比較高。

4.實(shí)證檢驗(yàn)

為更進(jìn)一步檢驗(yàn)建立的被動(dòng)型指數(shù)投資組合對(duì)滬深300 指數(shù)的跟蹤程度，使用2019 年1 月2 日 至2019 年9 月30 日 的 日數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)：運(yùn)用前文所計(jì)算得出的權(quán)重對(duì)新被動(dòng)型指數(shù)投資組合的市值進(jìn)行計(jì)算，再計(jì)算得出組合市值的波動(dòng)率，將此時(shí)間序列數(shù)據(jù)與滬深300 指數(shù)波動(dòng)率的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，檢驗(yàn)解釋變量的系數(shù)是否接近于1。

通過(guò)EVIEWS 回歸分析得到如下結(jié)果，解釋變量的系數(shù)為1.078045，接近于1，并且t-Statistic 值與F-statistic 值都顯著，因此可見(jiàn)，此被動(dòng)型指數(shù)投資組合對(duì)滬深300指數(shù)的跟蹤效果較好。

三、結(jié)論與不足

在投資組合構(gòu)建的過(guò)程中，首先，我們基于近12 年樣本股票的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)確定了投資組合的樣本股票以及這些股票在投資組合中所占有的權(quán)重。其次，將其進(jìn)行了指數(shù)化處理。在指數(shù)化處理后，我們可以通過(guò)折線(xiàn)圖較為直觀(guān)的看出該投資組合與滬深300 指數(shù)的擬合程度比較高。之后，將投資組合進(jìn)行回歸分析并進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)后分析回歸結(jié)果可以看出，該投資組合與滬深300 指數(shù)的回歸系數(shù)為0.999998，說(shuō)明相關(guān)性很高。隨后用2019 年前三季度的數(shù)據(jù)對(duì)回歸結(jié)果再一次進(jìn)行驗(yàn)證，再次證明了二者之間的相關(guān)程度較高，投資組合能夠較好的跟蹤滬深300 指數(shù)。

但同時(shí)，也存在著一些不足可進(jìn)一步改良。第一，被動(dòng)型指數(shù)投資組合的建立沒(méi)有考慮到指數(shù)的構(gòu)成會(huì)發(fā)生變化。滬深300 指數(shù)中的成分股每半年會(huì)根據(jù)宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)以及行業(yè)態(tài)勢(shì)和公司發(fā)展情況進(jìn)行調(diào)整，刪除或增加某只股票并不斷調(diào)整權(quán)重。而該投資組合中所選擇的股票及其權(quán)重完全是靜態(tài)的，沒(méi)有進(jìn)行過(guò)調(diào)整。第二，指數(shù)投資組合的構(gòu)建過(guò)程中沒(méi)有考慮到使用分層抽樣法。直接采用了相關(guān)系數(shù)排名前34 的股票，沒(méi)有對(duì)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，沒(méi)有體現(xiàn)分層。第三，對(duì)于2007 年3 月以后上市的大權(quán)重股票沒(méi)有考慮在內(nèi)，例如農(nóng)業(yè)銀行。

隨著我國(guó)的資本市場(chǎng)的不斷完善，投資者的金融知識(shí)越發(fā)健全，這種被動(dòng)型的投資策略會(huì)越發(fā)受到投資者的歡迎。建立模擬市場(chǎng)指數(shù)的小樣本組合，不需要投資全部成分股，只需選擇其中一部分樣本股即可。一方面操作方便；另一方面可以更加有效的分配資金，減少了投資金額，降低投資門(mén)檻。