復(fù)Finsler流形上的Laplace算子及其應(yīng)用

邱春暉

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361005)

1941年Hodge[1]提出了著名的Hodge定理:在任一緊致可定向的Riemann流形M上，所有次數(shù)等于p的調(diào)和形式組成的空間是一個(gè)有限維的向量空間，它的維數(shù)就是流形M的第p個(gè)Betti數(shù).Hodge定理說明了M上的解析不變量等于拓?fù)洳蛔兞?，不僅大大增強(qiáng)了對代數(shù)流形的理解，也將分析和拓?fù)湟庀氩坏降鼐o密聯(lián)系起來，對這兩大數(shù)學(xué)分支的迅速發(fā)展起著重要的作用.因此，著名數(shù)學(xué)家Witehead曾說過Hodge定理是20世紀(jì)最重要的定理之一.整體Riemann幾何的基礎(chǔ)工作之一是調(diào)和形式的Hodge理論.

熟知，Laplace算子在微分幾何的調(diào)和積分理論和Bochner技巧中起著重要的作用.有關(guān)K?hler幾何的調(diào)和積分理論，可參考文獻(xiàn)[7-8].20多年來，在著名數(shù)學(xué)家陳省身先生的倡導(dǎo)下，實(shí)和復(fù)的整體Finsler幾何取得了很大的進(jìn)展[9-10].陳省身[11]指出：“Finsler幾何可能在復(fù)域上是最有用的，因?yàn)槊恳粋€(gè)有邊或無邊的復(fù)流形都存在Carathéodory和Kobayashi擬度量.在適當(dāng)(雖然有點(diǎn)嚴(yán)格)的條件下，它們都是C2度量，最重要的，它們自然都是Finsler度量.復(fù)Finsler幾何是極其美麗的.”陳省身[12]還指出:“將調(diào)和積分理論推廣到Finsler情形，將是微分幾何研究的一塊新園地，預(yù)計(jì)前景無限.”

研究Finsler流形上的調(diào)和積分理論和Bochner技巧的關(guān)鍵是定義一個(gè)適當(dāng)?shù)腖aplace算子.目前，實(shí)和復(fù)Finsler流形上的Laplace算子取得了一些成果[13-23],但復(fù)Finsler流形上Laplace算子還沒有統(tǒng)一的定義，主要有3種定義方法:第1種是在底流形M上定義Laplace算子[16,20-22];第2種是在全純切叢T1,0M或射影叢PT1,0M或球叢SM上定義Laplace算子[17,19,23];第3種是定義均值Laplace算子[18].

1 復(fù)Finsler流形M上的Laplace算子

定義1[9]—個(gè)連續(xù)函數(shù)F:T1,0M→R+稱為復(fù)流形M上的復(fù)Finsler度量，如果它滿足下列性質(zhì)：

(iii)F(ζv)=|ζ|F(v),對所有的v∈T1,0M和ζ∈C.

記為〈·,·〉,與此相關(guān)的K?hler形式

其中水平部分和垂直部分分別記為

定義2對于任意的ξ,η∈T1,0M,在T1,0M上定義內(nèi)積

(1)

將內(nèi)積延拓到∧p，qM.設(shè)φ，ψ∈∧p，qM,在局部坐標(biāo)下

(2)

dVɡ

其中

顯然，N(z)是一個(gè)實(shí)值函數(shù).類似于文獻(xiàn)[20]中命題3.1,有

定義

其中

定義3設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形.兩個(gè)形式φ,ψ∈∧p,qM的整體內(nèi)積定義為

(3)

顯然定義3是整體定義的.并且

(4)

容易驗(yàn)證(，)滿足下列性質(zhì)：

(i)(φ,φ)≥0,并且(φ,φ)=0當(dāng)且僅當(dāng)φ=0;

(ii)(aφ+bφ,ψ)=a(φ,ψ)+b(φ,ψ),對任意的φ,φ,ψ∈∧p,qM和a,b∈C;

注2如果F是一個(gè)Hermite度量，則

N(z)=vol(B1,0M)ɡ(z),

?ψ∈εp,q+1(M).

(5)

由于

我們有

(6)

其中

定義5Laplace算子定義為

(7)

顯然Δ是一個(gè)自共軛算子，即對任意的φ,ψ∈Lp,q(M),有

(Δφ,ψ)=(φ,Δψ).

(8)

如果f∈C∞(M)，則由式(7)，有[20]

對于一般情形，有

注3如果F是Hermite度量，則

定理3[22]Laplace算子Δ是橢圓算子.

定義6對?ψ∈Lp，q(M),如果Δψ=0,則稱ψ為調(diào)和的.

我們有如下的關(guān)于Laplace算子Δ的Hodge分解定理.

定理5[22]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則

其中Dolbeault上同調(diào)群Hp,q(M)=Zp,q(M)/Bp,q(M),

2 T1,0M{0}上的Hodge-Laplace算子

相應(yīng)的，對φ∈p，q;r，s，有

?φ∈p+1,q;r,s?p,q;r+1,s?p+1,q+1;r,s-1?

在局部標(biāo)架下，

引理1[26]設(shè)φ∈p，q;r,s，則

根據(jù)微分形式的類型，定義下列算子[16,26]

D=e(δvα)▽

(9)

(10)

定義7[16,26]設(shè)(M,F)是強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形.兩個(gè)形式φ,ψ∈p，q;r，s的整體內(nèi)積定義為

(11)

容易驗(yàn)證(·,·)滿足下列性質(zhì)：

(i)(φ,φ)≥0,并且(φ,φ)=0當(dāng)且僅當(dāng)φ=0;

(ii)(aφ+bφ，ψ)=a(φ,ψ)+b(φ,ψ)對任意的φ，φ,ψ∈p，q;r，s和a,b∈C;

類似于Hermite幾何[27],可定義Hodge星算子[16,26]

使得對任意的φ∈p，q;r，s

定理6[16,26]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形.則Hodge星算子*:滿足：

(iii)**ψ=(-1)p+q+r+sψ.

由共扼性,有

我們可定義d的伴隨算子d*=-*d*,則

(12)

容易看到

令φ∈p-1，q;r，s，ψ∈p，q;r，s，由微分形式的類型，有

類似地，

(D

由共扼性可得

定理7[26]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則

定理8[26]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則對任意的φ∈p，q;r，s,有

定義9定義下列微分算子：

注4文獻(xiàn)[16]中定理5.7也給出了強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形關(guān)于復(fù)Rund聯(lián)絡(luò)D同樣的公式.實(shí)際上Δf=d*df的公式不依賴于復(fù)Rund聯(lián)絡(luò)或Chern-Finsler聯(lián)絡(luò)的選擇.

顯然，根據(jù)保持類型，Hodge-Laplace算子Δ=d*d+dd*可表示為

則對任意的φ,ψ∈p,q;r,s,有

因此，形式φ∈p，q;r，s為Δ-調(diào)和的當(dāng)且僅當(dāng)

定理10[26]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，利用Chern-Finsler聯(lián)絡(luò)，可得

定理11(消滅定理)[26]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形.對任意的φ∈p,0；r,s,如果

則不存在非零的φ∈p，0；r，0使得

3 射影切叢PT1,0M上水平復(fù)Laplace算子

記

ω

則PT1,0M整體不變體積形式為

其中

記

Ap=(α1,…,αp),α1<α2<…<αp,1≤αi≤n,

An-p=(αp+1,…,αn),αp+1<…<αn,1≤αi≤n,

其中(α1,…,αp,αp+1,…,αn)是(1,2,…,n)的一個(gè)置換.類似地，記Bq=(β1,…,βq),Bn-q=(βq+1,…,βn),Cp=(c1,…,cp),Cn-p=(cp+1,…,cn),Dq=(d1,…,dq),Dn-q=(dq+1,…,dn),在這些記號下，p,q的元素在局部坐標(biāo)下的表達(dá)式為

(13)

其中

(14)

設(shè)φ∈則算子p,q→p，q+1定義為

其中

引理2[21]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則對任意的φ∈p，q,有

低階項(xiàng).

定理12[21]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則對任意的φ∈p，q,有

εp，q(M)作為p，q的子空間，其內(nèi)積(·,·)由p，q所誘導(dǎo)，即對任意的φ,ψ∈εp，q(M),有

(φ,ψ)=(φ,ψ)PT1,0M.

(15)

記

則

設(shè)φ,ψ∈εp,q(M),定義[21,27]

(16)

則

(17)

利用PT1,0M上光滑水平(p,q)形式的內(nèi)積(·,·)PT1,0M，取p,q的2閉包，記為Lp,q(PT1,0M).和的弱延拓仍然保持Lp,q(PT1,0M).因此,在Lp,q(PT1,0M)上是整體定義的，稱為水平復(fù)Laplace算子.

引理4[28]設(shè)(M,F)是強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則對任意的φ∈p,q，有

定理13[28]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則對任意的φ∈Lp,q(M),有

定理14[28]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則

注10如果復(fù)Finsler度量F是K?hler Finsler度量，則定理14退化成緊K?hler Finsler流形上水平復(fù)Laplace算子的自然投影的Hodge分解定理.

定義14如果□φ=0,則φ∈Lp,q(M)稱為M上的調(diào)和(p,q)形式.

定理15[29]Hodge-Laplace算子□是自共扼的橢圓算子.

利用自共扼橢圓算子的分解定理，有如下的關(guān)于Hodge-Laplace算子□的Hodge分解定理.

定理16[29]設(shè)(M,F)是復(fù)n維強(qiáng)擬凸緊復(fù)Finsler流形，則

(i)M上所有調(diào)和(p,q)形式組成的空間Hp,q(M)={φ∈Lp,q(M)|□φ=0}?εp,q(M),并且，dimHp，q(M)<∞.

定理16說明了調(diào)和(p,q)形式空間Hp，q(M)與Dolbeault上同調(diào)群同構(gòu).

注12如果復(fù)Finsler度量F是K?hler度量，則算子□就是K?hler流形上通常的Hodge Laplace算子.因此，定理16退化成緊K?hler流形上的Hodge分解定理.

復(fù)Finsler流形上Laplace算子及其應(yīng)用的研究剛剛開始，期待有更多的研究成果.