基于數(shù)值微分計(jì)算的SERF原子自旋慣性測(cè)量動(dòng)態(tài)仿真

裴宏宇，楊功流，全 偉，段利紅，黃 炯

(1.北京航空航天大學(xué)儀器光電學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)前沿科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新研究院，北京 100191；3.北京量子信息科學(xué)研究院，北京 100193)

0 引言

作為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心部件，新型陀螺儀成為現(xiàn)今儀器儀表的研究熱點(diǎn)[1]?；诙喾N物理原理，產(chǎn)生了許多新型陀螺儀，如基于光子或原子Sagnac效應(yīng)的光纖陀螺與冷原子干涉陀螺[2]、基于原子自旋的無(wú)自旋交換弛豫(Spin Exchange Relaxa-tion Free，SERF) 陀螺儀[3]和核磁共振陀螺儀[4]。其中SERF陀螺儀體積小、對(duì)加速度不敏感且在理論上具有更高的慣性測(cè)量靈敏度，成為了下一代高精度陀螺儀的發(fā)展方向之一。

本文采用Bloch微分方程組對(duì)SERF原子陀螺的輸入輸出進(jìn)行建模，搭建了Simulink仿真模型，對(duì)Bloch方程進(jìn)行數(shù)值求解。測(cè)試了不同角速度和磁場(chǎng)輸入下的輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，并與理論計(jì)算進(jìn)行對(duì)比。試驗(yàn)結(jié)果表明，Bloch方程的數(shù)值求解結(jié)果與理論求解結(jié)果一致，且數(shù)值求解可用于復(fù)雜輸入下的輸出動(dòng)態(tài)求解，較理論解析求解具有更強(qiáng)的適用性。

1 SERF原子自旋陀螺的動(dòng)力學(xué)模型

SERF原子自旋陀螺儀的原理圖如圖1所示，樣機(jī)主要包括保證SERF態(tài)零磁場(chǎng)的磁屏蔽系統(tǒng)與磁場(chǎng)補(bǔ)償線圈；保證SERF態(tài)高原子密度的加熱系統(tǒng)；包含多種元素如鉀、銣、氖、氮?dú)獾膽T性敏感元件；發(fā)射處于電子躍遷頻率圓偏振激光的抽運(yùn)系統(tǒng)；以及線偏振光光旋角檢測(cè)系統(tǒng)[10]。

圖1 SERF原子陀螺結(jié)構(gòu)[19]Fig.1 Structure of SERF gyroscope [19]

SERF原子自旋陀螺儀工作在多物理場(chǎng)耦合的環(huán)境中，無(wú)法通過(guò)解析求解的方法進(jìn)行計(jì)算。故通過(guò)對(duì)原子陀螺的動(dòng)力學(xué)特性分析，建立了Bloch方程組描述電子極化率與核子極化率隨物理場(chǎng)的變化，并搭建Simulink仿真模型分析各物理場(chǎng)對(duì)輸出的影響。SERF陀螺的基本測(cè)量原理如下。

當(dāng)物體繞慣性空間的某一軸線做角速度為Ω的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)量矩矢量H在載體空間與慣性空間的變化率有如下關(guān)系[11]

(1)

考慮如圖2所示的二能級(jí)系統(tǒng)，當(dāng)一束與原子躍遷頻率相同的圓偏振光σ+沿z軸入射時(shí)，處于基態(tài)能級(jí)4S1/2,mJ=-1/2的電子能夠吸收一個(gè)光子并躍遷到激發(fā)態(tài)4P1/2,mJ=+1/2；但處于基態(tài)能級(jí)4S1/2,mJ=+1/2的電子由于角動(dòng)量不能夠繼續(xù)增加，不能吸收σ+光子躍遷到高能態(tài)。躍遷到高能態(tài)的電子與淬滅氣體碰撞，等概率地落入4S1/2,mJ=-1/2和4S1/2,mJ=+1/2兩低能級(jí)且不釋放光子。在光泵浦的循環(huán)中，4S1/2,mJ=+1/2能級(jí)的光子逐漸多于4S1/2,mJ=-1/2能級(jí)的光子，此過(guò)程稱為激光泵浦原子極化過(guò)程。

圖2 堿金屬原子中電子的光抽運(yùn)[12]Fig.2 Optical pumping of electrons in alkali metal atoms[12]

此外，4S1/2,mJ=+1/2能級(jí)的原子可以通過(guò)弛豫效應(yīng)返回4S1/2,mJ=-1/2能級(jí)，且在低磁場(chǎng)高堿金屬密度的無(wú)自旋交換弛豫條件下，堿金屬電子自旋的橫向弛豫率與縱向弛豫率趨于一致，即[13]

(2)

SERF原子自旋陀螺儀的堿金屬電子與惰性氣體核子通過(guò)各自的磁矩互相耦合，堿金屬電子可以感受到惰性氣體核子產(chǎn)生的磁場(chǎng)λMnPn，惰性氣體核子會(huì)感受到電子自旋產(chǎn)生的磁場(chǎng)λMePe。普遍采用Bloch方程組描述SERF原子自旋陀螺的動(dòng)力學(xué)特性[16]

(3)

(4)

式(3)右邊第一項(xiàng)表示電子極化率在外加磁場(chǎng)、核自旋產(chǎn)生磁場(chǎng)以及光頻移贗磁場(chǎng)的共同作用下進(jìn)行拉莫爾進(jìn)動(dòng)(Larmor Precession)；第二項(xiàng)表示載體空間與慣性空間之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；第三項(xiàng)分別表示抽運(yùn)光與檢測(cè)光對(duì)堿金屬的抽運(yùn)效應(yīng)、堿金屬電子與惰性氣體核子之間的自旋交換效應(yīng)與堿金屬電子的弛豫效應(yīng)，其中Rtot=Rp+Rrel。式(4)右邊第一項(xiàng)表示核子極化率在外加磁場(chǎng)和電子自旋產(chǎn)生磁場(chǎng)的共同作用下進(jìn)行拉莫爾進(jìn)動(dòng)；第二項(xiàng)表示載體空間與慣性空間之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；第三項(xiàng)表示堿金屬電子通過(guò)自旋交換碰撞對(duì)惰性氣體核子進(jìn)行超極化；最后一項(xiàng)表示核子的弛豫率。從Bloch方程組中可以看出，堿金屬電子與惰性氣體核子極化率通過(guò)彼此產(chǎn)生的磁場(chǎng)、核子與電子自旋交換碰撞相互耦合，彼此影響，Bloch方程組中各項(xiàng)符號(hào)的含義如表1所示。

表1 Bloch方程中符號(hào)的意義

SERF原子自旋陀螺儀的動(dòng)力學(xué)方程屬于非線性微分方程組，較為復(fù)雜，無(wú)法求得解析解。且在輸入復(fù)雜多變的情況下，無(wú)法分析電子極化率和核子極化率的變化，也不易分析陀螺的瞬態(tài)響應(yīng)。為解決此問(wèn)題，基于Bloch方程組建立了原子自旋陀螺動(dòng)力學(xué)模型，并采用Simulink進(jìn)行數(shù)值求解和仿真。為驗(yàn)證數(shù)值解的準(zhǔn)確性，與理論推導(dǎo)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)照。對(duì)式 (3)和式(4)描述的動(dòng)力學(xué)微分方程組構(gòu)建仿真系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 SERF原子陀螺的Simulink仿真模型Fig.3 Simulink simulation model of SERF atomic gyroscope

2 SERF原子陀螺的數(shù)值仿真

(5)

(6)

(7)

進(jìn)一步地，堿金屬電子與惰性氣體核子的極化過(guò)程可以描述為[18]

(8)

(9)

當(dāng)輸入角速度或磁場(chǎng)時(shí)，可近似求得

(10)

(11)

(12)

光抽運(yùn)電子極化與核子超極化的過(guò)程如圖4所示。由于電子的弛豫時(shí)間很短，在抽運(yùn)激光的作用下，堿金屬電子的極化率在0.03s快速達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值0.5984；由于大的弛豫時(shí)間，核子的極化率在12h達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值0.01451。通過(guò)式(6)理論計(jì)算，電子的極化率為0.60，仿真與理論計(jì)算的相對(duì)誤差為0.13%；根據(jù)式(7)計(jì)算，核子的極化率為0.0146，仿真與理論計(jì)算的相對(duì)誤差為0.048%，且仿真結(jié)果均略小于近似理論計(jì)算結(jié)果。式(6)中的理論計(jì)算忽略了堿金屬電子與惰性氣體核子的自旋交換碰撞作用對(duì)電子極化率的影響，自旋交換碰撞會(huì)將電子的角動(dòng)量傳遞到核子上，造成電子極化率的微弱降低。故可以認(rèn)為仿真模型的結(jié)果可以準(zhǔn)確描述光抽運(yùn)原子極化與核子超極化過(guò)程，且較理論計(jì)算進(jìn)行了修正。

(b)自旋交換核子超極化圖4 SERF原子陀螺光抽運(yùn)電子極化過(guò)程與核子超極化過(guò)程Fig.4 Polarization process of optically pumped electrons in SERF atomic gyroscope and nucleon hyperpolarization process

(a)電子極化率x分量

(b)核子極化率x分量圖5 SERF原子陀螺在轉(zhuǎn)動(dòng)輸入下的電子極化率響應(yīng)與核子極化率響應(yīng)Fig.5 Electron polarizability response and nucleon polarizability response of SERF atomic gyroscope under rotational input

為研究在磁場(chǎng)輸入下SERF原子自旋陀螺的穩(wěn)態(tài)解與該系統(tǒng)對(duì)干擾靜磁場(chǎng)的補(bǔ)償能力，設(shè)定補(bǔ)償磁場(chǎng)Bz=256nT，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)即5s后，在y軸方向施加一個(gè)By=10nT的階躍磁場(chǎng)，系統(tǒng)響應(yīng)如圖6所示。

(a)電子極化率x分量

(b)電子極化率y分量

(c)核子極化率y分量圖6 SERF原子陀螺在階躍磁場(chǎng)輸入下的響應(yīng)Fig.6 Response of SERF atomic gyroscope under step magnetic field input

在實(shí)際使用中,追蹤的角速度信號(hào)是時(shí)變的，采用勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的方式雖能標(biāo)定出陀螺儀隨轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)輸出，但不能得到陀螺儀跟蹤轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程的動(dòng)態(tài)性能。此外,由于輸入信號(hào)復(fù)雜，不能通過(guò)理論計(jì)算得到解析輸出結(jié)果。為研究陀螺儀對(duì)時(shí)變信號(hào)的追蹤能力，對(duì)陀螺儀施加正弦角速度轉(zhuǎn)動(dòng)信號(hào)，測(cè)試陀螺儀對(duì)信號(hào)的追蹤能力,并標(biāo)定出本仿真參數(shù)下的陀螺儀帶寬。仿真結(jié)果如圖7所示。

為衡量SERF原子陀螺對(duì)輸出的跟蹤能力，采用角速度為sin(0.1t)rad/s、sin(0.3t)rad/s和sin(0.67t)rad/s的正弦信號(hào)進(jìn)行激勵(lì)。在sin(0.1t)rad/s的角速度輸入下，陀螺儀的輸出幅度為0.07337，接近階躍角速度輸入的輸出響應(yīng)值。隨著激勵(lì)信號(hào)角速度的增大，陀螺儀的輸出信號(hào)逐漸減小。當(dāng)輸入角度的幅值不變，角速度達(dá)到sin(0.1t)rad/s時(shí)，輸出降低至階躍響應(yīng)的70.7%即0.05367，故該仿真參數(shù)下陀螺儀的帶寬為0.67rad/s。

(a)角速度輸入sin(0.1t)rad/s

(b)輸入角速度sin(0.3t)rad/s

(c)輸入角速度sin(0.67t)rad/s圖7 SERF原子陀螺在正弦轉(zhuǎn)動(dòng)信號(hào)輸入下的響應(yīng)Fig.7 Response of SERF atomic gyroscope under sinusoidal rotation signal input

衡量在實(shí)際應(yīng)用中陀螺儀的輸入輸出情況。在陀螺儀的帶寬范圍內(nèi)，測(cè)試了陀螺儀輸出對(duì)輸入角速度的跟蹤情況，構(gòu)造了復(fù)雜任意波輸入，計(jì)算并對(duì)比了陀螺儀輸出Ωy與輸入之間的關(guān)系，仿真結(jié)果如圖8所示。從仿真中可以得出結(jié)論，該陀螺儀在帶寬內(nèi)對(duì)角速度的輸入有較高的跟蹤精度。

圖8 任意波形輸入下陀螺儀的輸入輸出關(guān)系Fig.8 Input output relationship of gyroscope under arbitrary waveform input

3 總結(jié)

本文從SERF原子自旋慣性裝置的角速度測(cè)量原理出發(fā),建立了Bloch方程描述其輸入輸出關(guān)系。為解決理論計(jì)算僅能得到Bloch穩(wěn)態(tài)解,且輸入磁場(chǎng)、角速度、光場(chǎng)時(shí)變時(shí)無(wú)法求解的局限性,建立了Simulink仿真模型,采用可變階數(shù)值微分算法對(duì)Bloch方程組求解。對(duì)比了數(shù)值求解與解析計(jì)算的結(jié)果，驗(yàn)證了對(duì)Bloch方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的可行性與準(zhǔn)確性,解決了復(fù)雜輸入下無(wú)法通過(guò)理論解析計(jì)算求解SERF原子自旋慣性裝置輸出的問(wèn)題。

影響SERF原子自旋慣性裝置性能的因素有很多,如溫度的不均勻性、磁場(chǎng)的不均勻性、抽運(yùn)光檢測(cè)光的偏振度等。本文驗(yàn)證了對(duì)SERF陀螺進(jìn)行建模及數(shù)值求解的可行性與準(zhǔn)確性,未來(lái)可以對(duì)更多影響因素進(jìn)行研究,為SERF陀螺的設(shè)計(jì)與測(cè)試提供參考。