帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性隨機(jī)系統(tǒng)高斯濾波方法

王 碩， 何定洲， 朱 勇， 沈敦亮， 于 霖

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

0 引 言

時(shí)滯問題的存在會(huì)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行造成不良的影響，如造成系統(tǒng)振動(dòng)、性能退化和甚至失穩(wěn)等現(xiàn)象。近年來，在信號(hào)處理、通信和控制等領(lǐng)域采用非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)，而對(duì)其非線性狀態(tài)的獲得大多利用觀測(cè)數(shù)據(jù)來近似估計(jì)［1-4］。通常，對(duì)非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題的研究主要集中在一階隨機(jī)模型或一階馬爾可夫模型。但在實(shí)際應(yīng)用中，很多機(jī)械和電氣動(dòng)態(tài)系統(tǒng)則是二階模型或高階非線性連續(xù)時(shí)間隨機(jī)模型，不是一階模型［5-6］。這種高階連續(xù)時(shí)間模型進(jìn)行離散化時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯的狀態(tài)。因此，需要研究一種能夠?qū)в袪顟B(tài)時(shí)滯的非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行近似估計(jì)的方法。

對(duì)于帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性狀態(tài)估計(jì)問題通常采用H∞濾波［7-8］和粒子濾波［9-10］等方法進(jìn)行解決，針對(duì)此問題學(xué)者們開展了大量的研究。Shi和Shan等對(duì)帶有時(shí)變狀態(tài)時(shí)滯和隨機(jī)狀態(tài)時(shí)滯控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究［11-12］。Gu等針對(duì)帶有多狀態(tài)時(shí)滯的狀態(tài)空間問題，提出了最小二乘辨識(shí)算法［13］。Fang等對(duì)離散線性系統(tǒng)同步輸入和狀態(tài)估計(jì)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究［14］。Shi等針對(duì)帶有兩步隨機(jī)時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)提出了魯棒混合H2/H∞控制器［15］。文獻(xiàn)［16］給出了帶有d步狀態(tài)時(shí)滯的多變量狀態(tài)估計(jì)方法，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［17］提出了聯(lián)合估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)和狀態(tài)遞歸最小二乘方法。雖然這些方法不需要對(duì)概率密度函數(shù)（Probability density function，PDF）進(jìn)行任何假設(shè)，但為了得到更高的估計(jì)精度，采用粒子濾波算法不可避免地會(huì)因?yàn)榇罅康碾S機(jī)樣本而產(chǎn)生巨大的計(jì)算量，或采用H∞濾波需要復(fù)雜的計(jì)算矩陣不等式。特別對(duì)于帶有狀態(tài)時(shí)滯的情況，這些復(fù)雜的計(jì)算量會(huì)進(jìn)一步增加。主要是因?yàn)楫?dāng)把狀態(tài)時(shí)滯認(rèn)定為非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)的一部分時(shí)，除了要對(duì)當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行近似估計(jì)外，所有的狀態(tài)時(shí)滯也要進(jìn)行近似估計(jì)，這必然會(huì)產(chǎn)生更大的計(jì)算量。因此，需要研究一種狀態(tài)時(shí)滯的高斯濾波算法。

對(duì)于一般的非線性離散系統(tǒng)，常用的高斯濾波（GF）框架沒有考慮帶有狀態(tài)時(shí)滯的情況［18］。在GF框架下，通過不同的數(shù)值計(jì)算形式來近似非線性積分已經(jīng)取得大量的研究成果。其中，最為突出且被廣泛應(yīng)用的是擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）［19-20］，它是通過對(duì)非線性方程的一階線性化得到的。但是一階線性化得到的近似精度不高，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)重大的偏差，甚至產(chǎn)生發(fā)散的情況。此外，其對(duì)雅可比矩陣的推導(dǎo)也是不容易的，尤其面對(duì)高維和不連續(xù)非線性系統(tǒng)的情況。

在文獻(xiàn)［18］的GF框架下，基于確定性采樣的數(shù)值技術(shù)來近似非線性積分，已取得了大量的研究成果，包括基于無跡變換的無跡卡爾曼濾波器（UKF）［22-23］、基于正交規(guī)則的高斯埃爾米特濾波器（GHF）、基于斯特林多項(xiàng)式插值的差分濾波器（DDF）和中心差分濾波器（CDF）等［24-26］。這種基于GF的確定性采樣不需要計(jì)算雅可比矩陣，且計(jì)算復(fù)雜度與EKF類似［21］。但他們至少可以達(dá)到二階的近似精度，高于EKF的一階近似精度。熊和吳等提出了一套關(guān)于精度、效率和穩(wěn)定性的性能指標(biāo)來分析和比較這些濾波器，促進(jìn)在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)不同濾波器的選擇，且給出了上述濾波器穩(wěn)定的充分條件［27-28］。

Arasaratnam等針對(duì)UKF、EKF、DDF和GHF不適合處理高維非線性系統(tǒng)的問題，基于球徑容積法則進(jìn)一步提出了容積卡爾曼濾波器（CKF）［29］。Jia等提出一種新的非線性稀疏網(wǎng)格正交濾波器（SGQKF），精度比UKF、CDF、DDF和CKF更高，計(jì)算效率也比GHF更好［30］。陳紅梅等將SGQKF應(yīng)用在觀測(cè)信息不完全且隨機(jī)干擾不確定的非線性系統(tǒng)，并給出算法穩(wěn)定性的證明［31］。Wang等針對(duì)過程噪聲和量測(cè)噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種高斯近似遞歸的濾波器［32］。

上述GF算法均是建立在同一假設(shè)條件下，即不考慮系統(tǒng)帶有狀態(tài)時(shí)滯的情況。但在實(shí)際工程的應(yīng)用中，時(shí)滯問題一直存在。目前，針對(duì)帶有狀態(tài)時(shí)滯非線性隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)估計(jì)問題的解決尚不夠完善，尤其對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)滯和量測(cè)時(shí)滯同時(shí)存在的情況研究甚少。受文獻(xiàn)［18］啟發(fā)，本文針對(duì)帶有狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)的最優(yōu)估計(jì)問題，提出了一種新的高斯濾波框架，給出了其在三階球徑容積法則下的具體實(shí)現(xiàn)形式—狀態(tài)時(shí)滯容積卡爾曼濾波器（SDCKF），可以很好地解決系統(tǒng)帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性估計(jì)問題，易于工程實(shí)現(xiàn)。

1 問題描述

考慮具有多個(gè)狀態(tài)時(shí)滯的非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)，具體形式為：

2 帶有狀態(tài)時(shí)滯的GF算法

由上述描述可知，標(biāo)準(zhǔn)GF算法未考慮系統(tǒng)帶有狀態(tài)時(shí)滯的情況。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)GF算法進(jìn)行改進(jìn)，如式（1）

2.1 時(shí)間預(yù)測(cè)

2.2 量測(cè)更新

2.3 帶有狀態(tài)時(shí)滯的GF算法實(shí)現(xiàn)

由定理1和定理2不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于多維高斯加權(quán)積分的計(jì)算問題，是實(shí)現(xiàn)本文所提出改進(jìn)GF算法的主要難點(diǎn)。針對(duì)此問題，本文擬采用數(shù)值積分來近似非線性函數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)。三階球徑容積法則是近些年提出的，且是較優(yōu)越的線性化方法，該方法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和近似精度。因此，本文給出基于三階球徑容積法則的改進(jìn)GF算法—SDCKF濾波算法。三階球徑容積法則如下：

2.3.1 三階球徑容積法則

針對(duì)式（14）～式（16）、式（26）和式（28）的非線性高斯加權(quán)積分，可以統(tǒng)一為如下形式：

3 仿真分析

通過非線性模型式（50）和式（51）來驗(yàn)證本文所提出SDCKF算法的有效性，并從非線性狀態(tài)估計(jì)精度

圖1 狀態(tài)x1的RMSEFig.1 RMSE of state x1

圖2 狀態(tài)x2的RMSEFig.2 RMSE of state x2

圖3 狀態(tài)x3的RMSEFig.3 RMSE of state x3

從仿真結(jié)果可以看出，EKF算法很快便出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象，表明EKF算法面對(duì)模型式（50）這種帶有狀態(tài)時(shí)滯的強(qiáng)非線性狀態(tài)估計(jì)問題，很難進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是EKF算法在進(jìn)行后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)時(shí)對(duì)非線性方程的線性化誤差變大，導(dǎo)致逼近非線性函數(shù)的雅可比矩陣發(fā)散，進(jìn)而使得系統(tǒng)失穩(wěn)。UKF算法和CKF算法也都獲得了比較好的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，數(shù)值穩(wěn)定性較高。但是，由于系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)滯的存在，使得UKF算法和CKF算法的狀態(tài)估計(jì)精度有所下降，在圖3中表現(xiàn)比較明顯，在仿真第40步和50步時(shí)誤差突然變大，這可能是狀態(tài)x3綜合了狀態(tài)x1和狀態(tài)x2的誤差所導(dǎo)致，這種狀態(tài)估計(jì)誤差突然變大的現(xiàn)象，在實(shí)際工程應(yīng)用中可能會(huì)帶來非常嚴(yán)重的后果?？梢钥闯?，本文所提出的SDCKF算法與UKF算法、CKF算法幾乎具有相同的狀態(tài)估計(jì)精度，或略高于這兩種算法。但是，SDCKF算法的數(shù)值穩(wěn)定性明顯高于UKF算法和CKF算法，SDCKF算法未出現(xiàn)誤差跳變、突然增大等情況。綜合上述分析結(jié)果，本文所提出的SDCKF算法可以很好地解決帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題。

4 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)高斯濾波算法不能很好地解決系統(tǒng)帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性狀態(tài)估計(jì)問題，給出了一種改進(jìn)的高斯濾波算法-狀態(tài)時(shí)滯容積卡爾曼濾波器（SDCKF）。給出了在三階球徑容積法則下的具體實(shí)現(xiàn)形式，可以有效地避免因?yàn)闋顟B(tài)維數(shù)過高而引起濾波算法穩(wěn)定性下降的問題。通過帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性函數(shù)示例，將SDCKF算法與經(jīng)典非線性濾波方法EKF算法、UKF算法及CKF算法進(jìn)行仿真對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明，SDCKF算法具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性和狀態(tài)估計(jì)精度，證明了SDCKF算法可以很好地解決系統(tǒng)帶有狀態(tài)時(shí)滯的非線性狀態(tài)估計(jì)問題。