SH 波入射下圓弧狀沉積盆地地震反應(yīng)瞬態(tài)解析解計(jì)算1

任 朋 陳三紅 張郁山

1）中國地震局地球物理研究所，北京 100081 2）中國地震災(zāi)害防御中心，北京 100029

引言

強(qiáng)震動(dòng)觀測和震害調(diào)查結(jié)果均表明，沉積盆地對(duì)地震動(dòng)（尤其是長周期地震動(dòng)）具有放大效應(yīng)?；跀?shù)值解的盆地效應(yīng)研究涉及大規(guī)模數(shù)值計(jì)算，尤其是針對(duì)較大尺度的盆地。具有規(guī)則幾何形狀的地層結(jié)構(gòu)對(duì)地震波散射問題的解析解可用于驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算結(jié)果精度，是研究局部場地、地形和盆地對(duì)地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)影響的重要理論工具。針對(duì)沉積盆地對(duì)地震波散射問題，Trifunac（1971）、Wong 等（1974）分別利用波函數(shù)Fourier-Bessel 級(jí)數(shù)展開法和Mathieu 級(jí)數(shù)展開法，在頻域內(nèi)給出了半圓形和半橢圓形沉積盆地對(duì)SH 波散射問題的解析解。針對(duì)具有不同深度與寬度比的淺圓形沉積盆地，Todorovska 等（1991）提出了近似的解析解，即利用半徑非常大的圓弧近似模擬水平地表，該方法進(jìn)一步被拓展應(yīng)用于該類盆地對(duì)P 波、SV 波和Rayleigh 波的散射問題（梁建文等，2001，2003，2006；李偉華等，2004；Li 等，2005）。針對(duì)淺圓形沉積盆地對(duì)SH 波的散射，Yuan 等（1995）提出了閉合形式的級(jí)數(shù)解，有效避免了大圓弧的近似假定。通過利用大圓弧面近似模擬水平地表，梁建文等（2009a，2009b，2010）求解了三維空間中沉積谷地對(duì)P 波、SV 波和Rayleigh 波的散射問題。

上述解析解均在頻域內(nèi)給出，可較好地研究沉積盆地對(duì)地震動(dòng)Fourier 譜分量的放大效應(yīng)，但工程中更關(guān)注地震動(dòng)時(shí)域參數(shù)，如峰值加速度（PGA）、峰值速度（PGV）和峰值位移（PGD）及反應(yīng)譜等。理論上，利用頻域穩(wěn)態(tài)解和Fourier 變換，易獲得時(shí)域瞬態(tài)解析解，從而獲得地震動(dòng)時(shí)域參數(shù)。但上述研究中地震波頻率參數(shù)η（盆地寬度與入射波波長比值）≤10.0，無法滿足獲取可靠瞬態(tài)解的要求，如對(duì)于寬度1 km 的盆地，假定介質(zhì)剪切波速為1 km/s，如果輸入地震動(dòng)離散時(shí)間間隔為0.01 s，則其Nyquist 頻率為50 Hz，所需η將高達(dá)50。針對(duì)該問題，張郁山（2010）提出無須求解線性方程組的級(jí)數(shù)解法，有效拓展了沉積盆地對(duì)SH 波散射問題解析解適用的頻帶范圍。基于張郁山（2010）的研究，本文利用Fourier 變換，獲得該問題的瞬態(tài)解析解，并研究了El Centro 波入射下，沉積盆地對(duì)地震動(dòng)參數(shù)（尤其是長周期參數(shù)）的放大效應(yīng)。

1 瞬態(tài)響應(yīng)解析解

本文首先給出圓弧狀沉積盆地在平面SH 波入射下瞬態(tài)響應(yīng)解析解。沉積盆地模型如圖1 所示。盆地邊界為淺圓弧，其圓心為O1點(diǎn)，半徑為b，盆地半寬為a，深度為h，圓心O1與地表之間的垂直距離為d。盆地內(nèi)沉積介質(zhì)剪切波速為cv，密度為 ρv，剪切模量μv=ρvc2v。半空間介質(zhì)剪切波速為cs，密度為 ρs，剪切模量μs=ρsc2s。所有介質(zhì)假定為均勻、線彈性和各向同性。以圓心O1為原點(diǎn)的坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為x1和z1，極坐標(biāo)為r1和 θ1，以盆地地表中心點(diǎn)O2為原點(diǎn)的坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為x2和z2，極坐標(biāo)為r2和 θ2。Vi和Vr分別為入射和反射SH 波， γ為入射（反射）角，Vv為 盆地內(nèi)散射波，Vs為半空間外行波。

圖1 沉積盆地模型Fig. 1 Model of alluvium basin

假定入射SH 波幅值為1、圓頻率為ω ，穩(wěn)態(tài)條件下，其時(shí)間因子為exp(?iωt)，其位移幅值在x2O2z2坐標(biāo)系下表達(dá)式為：

在以O(shè)1為極點(diǎn)、θ1為極角、r1為極徑的極坐標(biāo)系下，整個(gè)自由場位移Vi+r=Vi+Vr可表示為Fourier-Bessel 級(jí)數(shù)形式（Abramowitz 等，1972）：

2 結(jié)果分析

本文引用穩(wěn)態(tài)級(jí)數(shù)解的收斂項(xiàng)數(shù)，隨著無量綱頻率η的增大而增加，如對(duì)于深度與半寬比為1/2 的盆地，當(dāng)η=2時(shí)，收斂項(xiàng)數(shù)為26，當(dāng)η=20時(shí)，收斂項(xiàng)數(shù)為157（張郁山，2010）。在本文考慮的頻帶范圍內(nèi)，穩(wěn)態(tài)級(jí)數(shù)解均能有效收斂，從而保證了瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算結(jié)果可靠。基于該瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析解，本文進(jìn)一步研究沉積盆地對(duì)各類時(shí)域地震動(dòng)參數(shù)的放大效應(yīng)，重點(diǎn)討論空間位置、入射角、幾何參數(shù)和物理參數(shù)等對(duì)盆地放大效應(yīng)的影響。

2.1 盆地不同空間點(diǎn)放大效應(yīng)及入射角的影響

以某一特定盆地為例，分析盆地不同空間點(diǎn)處地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)的差異，并討論SH 波入射角對(duì)盆地放大效應(yīng)的影響。

盆地半寬為500 m，深度為250 m，沉積介質(zhì)剪切波速和質(zhì)量密度分別為750 m/s和2 000 kg/m3，半空間介質(zhì)剪切波速和質(zhì)量密度分別為1 000 m/s和2 200 kg/m3。參考點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)定為（?1 500 m,0 m），該點(diǎn)處自由場運(yùn)動(dòng)假定為以0.2g標(biāo)定的El Centro 波，其加速度、速度和位移時(shí)程曲線分別如圖2（a）、3（a）、4（a）所示。SH 波垂直入射條件下（γ=0°），圖1 所示盆地地表中心點(diǎn)（0,0）處地震反應(yīng)分別如圖2（b）、3（b）、4（b）所示，邊界點(diǎn)（500,0）處地震反應(yīng)分別如圖2（c）、3（c）、4（c）所示。由圖2～4 可知，盆地中心點(diǎn)地震動(dòng)PGA 放大效應(yīng)不明顯，放大系數(shù)僅為1.05，PGV 和PGD 放大系數(shù)分別達(dá)1.30和1.21；盆地邊界點(diǎn)地震動(dòng)反而有減小趨勢，PGA 放大系數(shù)為0.75，PGV 和PGD 與入射波相近。

圖2 自由基巖、盆地中心點(diǎn)和邊界點(diǎn)地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線Fig. 2 The time history curve of ground motion acceleration of free bedrock, central point and boundary point of basin

圖3 自由基巖、盆地中心點(diǎn)和邊界點(diǎn)地震動(dòng)速度時(shí)程曲線Fig. 3 The time history curve of ground motion velocity of free bedrock, central point and boundary point of basin

圖4 自由基巖、盆地中心點(diǎn)和邊界點(diǎn)地震動(dòng)位移時(shí)程曲線Fig. 4 The time history curve of ground motion displacement of free bedrock, central point and boundary point of basin

該盆地不同地表點(diǎn)地震動(dòng)反應(yīng)譜（阻尼比為5%）與自由場地震動(dòng)反應(yīng)譜之間的譜比曲線如圖5 所示。圖5 中，實(shí)線表示盆地內(nèi)部點(diǎn)結(jié)果，點(diǎn)線表示盆地外部點(diǎn)（盆地外部點(diǎn)范圍為500 ＜|x2|＜1 000）結(jié)果，紅色粗實(shí)線表示盆地中心點(diǎn)結(jié)果。由圖5 可知，盆地中心點(diǎn)譜比最大值達(dá)1.57，其對(duì)應(yīng)的周期TP=0.24 s（本文將其定義為卓越周期），且該譜比曲線在＞1.0 s的周期范圍出現(xiàn)1 個(gè)放大系數(shù)接近1 .6的較大峰值點(diǎn)。當(dāng)周期為0.24～1 s 時(shí)，盆地內(nèi)部大部分點(diǎn)譜比均＜1 .0，盆地外部大部分點(diǎn)譜比＜1 .0。

圖5 垂直入射下盆地地表地震動(dòng)反應(yīng)譜譜比曲線簇Fig. 5 The spectral ratio curve cluster of ground motion response spectrum under vertical incidence

不同入射角條件下（γ=0°, 30°, 60°, 90°）盆地地表地震動(dòng)參數(shù)放大系數(shù)空間變化曲線如圖6 所示。由圖6 可知，在垂直入射條件下，盆地內(nèi)部點(diǎn)具有較顯著的放大效應(yīng)；在斜入射條件下，盆地對(duì)地震動(dòng)的放大更多出現(xiàn)在背波面（x2＞0），且主要分布在盆地邊緣附近。

圖6 不同入射角下地震動(dòng)參數(shù)放大系數(shù)空間變化曲線Fig. 6 The spatial variational curve of ground motion parameters amplification factor at different incident angles

2.2 盆地特性對(duì)放大效應(yīng)的影響

以SH 波垂直入射條件下，盆地地表中心點(diǎn)地震動(dòng)參數(shù)放大系數(shù)為指標(biāo)，分析盆地自身動(dòng)力特性對(duì)放大效應(yīng)的影響，重點(diǎn)討論盆地尺度、沉積層厚度和介質(zhì)力學(xué)參數(shù)等因素的影響。其中，自由場地震動(dòng)依然假定為El Centro 波，參考位置為盆地左側(cè)距中心點(diǎn)3倍盆地半寬處。

2.2.1 盆地尺度

將盆地半寬由0.5 km增至5 km，盆地深度始終取為半寬，盆地內(nèi)、外介質(zhì)剪切波速分別取為1.5 km/s和2.5 km/s，質(zhì)量密度分別取為2 100 kg/m3和2 300 kg/m3。不同寬度盆地地表中心點(diǎn)處地震動(dòng)PGA、PGV 和PGD 如圖7 所示，由圖7 可知，半寬＜0.76 km的較小尺度盆地對(duì)PGA 放大效應(yīng)明顯，放大系數(shù)高達(dá)2.13；半寬為1～1.57 km的中小尺度盆地對(duì)PGV 放大效應(yīng)較顯著，放大系數(shù)高達(dá)1.89；半寬＞1.6 km的較大盆地對(duì)PGD 放大效應(yīng)顯著，放大系數(shù)高達(dá)1.83，這是因?yàn)榕璧爻叨仍酱螅鋵?duì)長周期地震波的放大效應(yīng)越強(qiáng)，而地震動(dòng)PGD 受長周期成分控制。

圖7 地震動(dòng)峰值放大系數(shù)與盆地寬度關(guān)系曲線Fig. 7 The relationship curve between the peak amplification factor of ground motion and the width of basin

小盆地（半寬0.5 km）和大盆地（半寬5 km）地表中心點(diǎn)地震動(dòng)與自由基巖地震動(dòng)相對(duì)位移反應(yīng)譜曲線如圖8（a）所示，小盆地（半寬0.5 km）和大盆地（半寬5 km）地表中心點(diǎn)地震動(dòng)譜比曲線如圖8（b）所示。由圖8（a）、8（b）可知，小盆地對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜的放大效應(yīng)主要出現(xiàn)在周期＜1.64 s，其在極高頻處的譜比高達(dá)2.15；周期＞1.64 s時(shí)，大盆地對(duì)長周期反應(yīng)譜具有顯著的放大效應(yīng)，譜比高達(dá)2.31，對(duì)于位于較大型盆地上的基本自振周期較長的工程結(jié)構(gòu)，對(duì)結(jié)構(gòu)變形和承載力提出更高要求，結(jié)構(gòu)抗震分析應(yīng)重視該類放大效應(yīng)。譜比曲線卓越周期與盆地半寬的關(guān)系曲線如圖8（c）所示，譜比最大值與盆地半寬的關(guān)系曲線如圖8（d）所示，由圖8（c）、8（d）可知，隨著盆地尺度的增大，卓越周期有增大趨勢，譜比最大值在大部分情況下＞2 .0。

圖8 盆地寬度對(duì)其放大效應(yīng)的影響Fig. 8 The effect of basin width on its amplification

綜上所述，盆地尺度對(duì)地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)具有顯著影響，這種放大效應(yīng)在實(shí)際工程中應(yīng)引起足夠重視，尤其是對(duì)于位于大型盆地上的超高層建筑、大型儲(chǔ)液罐和大跨度橋梁等結(jié)構(gòu)，其抗震分析應(yīng)充分考慮盆地對(duì)長周期地震動(dòng)參數(shù)的放大效應(yīng)。

2.2.2 盆地沉積層厚度

盆地半寬取為1 km，沉積層介質(zhì)和半空間介質(zhì)力學(xué)參數(shù)與前文相同，沉積層厚度由0.4 km增至1 km （即半圓形盆地），不同地震動(dòng)參數(shù)放大系數(shù)與沉積層厚度關(guān)系曲線如圖9（a）、9（b）所示。由圖9（a）、9（b）可知，對(duì)于較小型盆地，沉積層厚度對(duì)中長周期地震動(dòng)參數(shù)（PGV 和1.0 s 反應(yīng)譜）和長周期地震動(dòng)參數(shù)（PGD 和6.0 s 反應(yīng)譜）放大系數(shù)的影響較小，高頻地震動(dòng)參數(shù)（PGA 和0.1 s 反應(yīng)譜）放大系數(shù)隨沉積層厚度的變化較劇烈，但未呈現(xiàn)單調(diào)變化趨勢。其他參數(shù)不變，盆地半寬取為5 km、沉積層厚度由2.5 k m增至5 km，不同地震動(dòng)參數(shù)放大系數(shù)與沉積層厚度關(guān)系曲線如圖9（c）、9（d）所示。由圖9（c）、9（d）可知，隨著盆地尺度的增大，沉積層厚度對(duì)中長周期和長周期地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)的影響逐漸顯著，其對(duì)長周期地震動(dòng)參數(shù)的放大效應(yīng)顯著高于小盆地。

圖9 不同盆地寬度條件下深度對(duì)地震動(dòng)放大系數(shù)的影響Fig. 9 The effect of depth on ground motion amplification factor under different basin widths

2.2.3 盆地沉積介質(zhì)剪切波速

盆地半寬取為1 km，沉積介質(zhì)厚度取為0.5 km，半空間剪切波速和質(zhì)量密度分別為2.5 km/s和2 300 kg/m3。沉積介質(zhì)質(zhì)量密度統(tǒng)一取為2 100 kg/m3，其剪切波速由1.3 km/s增至2.3 km/s。不同地震動(dòng)參數(shù)放大系數(shù)與沉積介質(zhì)剪切波速關(guān)系曲線如圖10 所示。由圖10 可知，隨著沉積介質(zhì)剪切波速的增大，地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)呈減小趨勢，這是因?yàn)槌练e介質(zhì)剪切波速越小，沉積介質(zhì)與下臥半空間介質(zhì)之間的阻抗比越大，在二者交界面處，將有更多的下行地震波反射至盆地內(nèi)部，盆地內(nèi)散射波復(fù)雜的干涉效應(yīng)將造成地表地震動(dòng)更大的放大效應(yīng)。

圖10 盆地沉積介質(zhì)的剪切波速對(duì)地震動(dòng)放大系數(shù)的影響Fig. 10 The effect of shear wave velocity of alluvium medium on ground motion amplification factor in basin

3 結(jié)論

本文基于SH 波入射下沉積盆地動(dòng)力響應(yīng)寬頻帶穩(wěn)態(tài)解析解，利用Fourier 變換，得到瞬態(tài)解析解，并研究沉積盆地對(duì)地震動(dòng)參數(shù)的放大效應(yīng)，得出以下結(jié)論：

（1）盆地對(duì)地震動(dòng)參數(shù)的放大主要發(fā)生在盆地內(nèi)部，相比自由基巖地震動(dòng)，盆地外部一定范圍內(nèi)地表地震動(dòng)反而出現(xiàn)減小現(xiàn)象，且在斜入射條件下，盆地對(duì)地震動(dòng)參數(shù)的放大區(qū)域主要出現(xiàn)在背波面。

（2）盆地尺度對(duì)地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)具有顯著影響，隨著尺度的增大，譜比曲線卓越周期增大，且大尺度盆地對(duì)長周期反應(yīng)譜的放大系數(shù)高達(dá)2.31。因此，進(jìn)行位于大型盆地上的超高層建筑、大型儲(chǔ)液罐和大跨度橋梁抗震設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分考慮盆地放大效應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)地震動(dòng)參數(shù)的影響。

（3）盆地沉積層厚度和沉積介質(zhì)剪切波速均對(duì)地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)具有一定影響。此外，本文僅考慮El Centro 波輸入下的盆地效應(yīng)，事實(shí)上，輸入地震動(dòng)不同時(shí)會(huì)對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生一定影響。因此，建立盆地地震動(dòng)參數(shù)放大效應(yīng)工程評(píng)估模型時(shí)，應(yīng)綜合考慮多因素的不確定性對(duì)模型的影響。