神奇的三角形內(nèi)的一點(diǎn)

文王姍姍

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）

一天，幾何學(xué)家佩多接到了一位經(jīng)濟(jì)學(xué)家打來的電話：如果等邊三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，無論P(yáng)的位置在三角形內(nèi)如何變動(dòng)，P到三角形三邊的距離之和是否總是不變呢？佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù)：

如圖1，在等邊△ABC中，連接PA、PB、PC。用x、y、z分 別表 示點(diǎn)P到△ABC三邊的距離。設(shè)等邊△ABC邊長為a，高為h。

圖1

x+y+z=h，即P到等邊三角形三邊的距離之和等于它的高。

通過解答過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，一個(gè)七年級(jí)的學(xué)生也能給這位經(jīng)濟(jì)學(xué)家滿意的答復(fù)，因?yàn)檫@只是運(yùn)用了簡單的三角形的面積公式。但是，這個(gè)問題啟發(fā)我們思考：如果在任意一個(gè)三角形內(nèi)隨便放一個(gè)點(diǎn)，會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？

如圖2，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，分別連接AP、CP、BP并延長，交BC、AB、AC于點(diǎn)D、F、E。

圖2

根 據(jù) 題 意，得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

由簡單的三角形面積公式和比例的性質(zhì)，我們得到了這樣一個(gè)較為復(fù)雜的結(jié)論。這個(gè)問題還可以繼續(xù)衍生下去。AP、CP、BP的延長線與三角形三邊的交點(diǎn)為D、F、E，它們將三角形三邊分成了六條線段，這六條線段之間有沒有特殊的數(shù)量關(guān)系呢？

看似平凡的三角形內(nèi)的一點(diǎn)，藏著多少神奇和奧秘！一個(gè)基本圖形就像一個(gè)萬花筒，稍一轉(zhuǎn)動(dòng)，就能變幻多端、綻放光彩，其實(shí)只有幾片不起眼的涂色紙片而已。