應用卷積和的離散線性時不變因果系統(tǒng)零輸入響應求解

任 蕾， 薄 華， 金欣磊， 張韻農， 楊忠根

(上海海事大學 信息工程學院，上海 201306)

0 引言

離散線性時不變系統(tǒng)的時域分析主要應用兩類方法：時域經典法與卷積和法，前者需求解描述系統(tǒng)的差分方程的齊次解和特解，后者則利用激勵信號與系統(tǒng)脈沖響應的卷積和確定零狀態(tài)響應。國內外的信號與系統(tǒng)主要教材尚未對應用卷積和求解離散線性時不變系統(tǒng)的零輸入響應給出詳細的闡述[1～6]。筆者團隊在文獻[7]中介紹了連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的零輸入響應的等效激勵法與卷積法是等價的，即激勵信號的反因果分量與系統(tǒng)沖激響應的卷積的因果分量就是系統(tǒng)的零輸入響應[7]。文獻[8]提出了針對離散線性時不變系統(tǒng)的因果移序定理，同時也介紹了零輸入響應求解的等效激勵法[8]。

本文在上述基礎上，介紹當未知離散線性時不變系統(tǒng)的初始條件、而已知全激勵序列時直接應用卷積和方法求解零輸入響應的一般方法，并證明該方法與等效激勵法的等價性。離散線性時不變系統(tǒng)與連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的時域卷積方法是統(tǒng)一的，其零狀態(tài)響應是全激勵信號的因果分量與系統(tǒng)沖激響應(或脈沖響應)的卷積(或卷積和)，而零輸入響應則是全激勵信號的反因果分量與沖激響應(或脈沖響應)的卷積(或卷積和)的因果分量。此類方法適用于未知系統(tǒng)初始條件，而僅已知全激勵時的全響應時域求解。本文給出例子說明如何應用此類方法。

1 離散線性時不變系統(tǒng)零輸入響應求解的卷積和方法

1.1 全激勵輸入時的卷積和方法

系統(tǒng)的全激勵f[n]是指從負無窮遠時為因果分量f+[n]=f[n]u[n]與反因果分量f-[n]=f[n]u[-n-1]之和(為了避免零時刻處的信號疊加，因此規(guī)定離散序列的反因果分量是從負無窮開始到-1截止的信號)，即：

f[n]=f+[n]+f-[n]

(1)

需要說明的是，一般的，所謂線性時不變系統(tǒng)的零輸入響應是指零時刻之后的響應，不包括零時刻之前的部分，而該部分響應是由激勵的反因果分量導致的，即在參考零時刻之前，已有激勵作用于系統(tǒng)，而以初始狀態(tài)的形式呈現(xiàn)，但若該條件未知，而僅已知系統(tǒng)的全激勵，則可應用提出的卷積和方法求解離散線性時不變系統(tǒng)的零輸入響應。同時，假設系統(tǒng)是因果的，因此其脈沖響應是因果序列。

與連續(xù)線性時不變系統(tǒng)類似，脈沖響應為h[n]的離散線性時不變系統(tǒng)對f[n]的全響應可分解為兩部分，其中激勵的因果分量與脈沖響應的卷積和是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，而激勵的反因果分量與脈沖響應的卷積和的因果分量是系統(tǒng)的零輸入響應，有：

(2)

當系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，上式可以進一步化簡為：

(3)

若需觀測零時刻之前的響應，則其對應激勵的反因果分量與脈沖響應的卷積和的反因果分量，即：

(4)

1.2 與等效激勵法的等價性證明

利用因果移序定理[8]和反因果移序定理[9]，同時借鑒連續(xù)時間系統(tǒng)的時域卷積和等效激勵法的等價性證明過程[7]，給出針對離散線性時不變系統(tǒng)等效激勵法與卷積和方法的等價性證明。

設描述N階離散線性時不變因果系統(tǒng)的差分方程為：

(5)

上式可寫作：

y[n]*A[n]=f[n]*B[n]?n≥0

(6)

令x[n]=f[n]*B[n]，為該系統(tǒng)對應的規(guī)范化系統(tǒng)的激勵信號，同時

(7)

(8)

與連續(xù)線性時不變系統(tǒng)類似，對式(5)應用因果移序定理后有規(guī)范化離散時間LTI系統(tǒng)：

(9)

(10)

于是，有：hx[n]*A[n]=δ[n]

(11)

和hx[n]*B[n]=h[n]

(12)

因此利用卷積和方法得到的系統(tǒng)零輸入響應為：

(13)

下面利用反因果移序定理[9](文獻9中此處有誤)證明等效激勵法與卷積和法的一致性。

(14)

(15)

同時，根據(jù)文獻[8]，系統(tǒng)的等效零輸入激勵為：

(16)

則應用等效零輸入激勵法，計算得零輸入響應為[8]：

yzi[n]=xzi[n]*h[n]

(17)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)帶入系統(tǒng)差分方程

(20)

(21)

結合等效零輸入激勵式(16)，因此上式即：

(22)

即：y-[n]*A[n]=f-[n]*B[n]-xzi[n]。

由于

(23)

1.3 應用舉例

解：根據(jù)卷積和方法可知上述因果線性時不變離散系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應是其全激勵信號的反因果分量和因果分量與系統(tǒng)脈沖響應的卷積和的因果分量。

在上述求解過程中，常用到因果指數(shù)序列與反因果指數(shù)序列的卷積和，即：

(24)

當僅取因果部分時候，上式簡化為：

(25)

因此，該系統(tǒng)的全響應為：

2 結語

本文給出了應用卷積和方法的離散線性時不變因果系統(tǒng)的零輸入響應求解方法，并證明了該方法與等效激勵法的等價性。因此，當已知系統(tǒng)全激勵和系統(tǒng)描述時，連續(xù)與離散系統(tǒng)的時域方法可以統(tǒng)一為卷積(或卷積和)法，為線性時不變系統(tǒng)時域求解提供了一類新思路。