根軌跡復(fù)數(shù)部分形狀的研究

盧一相， 孫 冬， 高清維

(安徽大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

在經(jīng)典控制理論中，根軌跡法[1]是分析和設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)非常有效的一種圖解方法，它在分析系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)與開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)快速、直觀地確定當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根的軌跡。根軌跡圖不僅可以給出閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息，而且還可以指明開環(huán)零極點(diǎn)應(yīng)如何變化才能滿足給定的閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，這在系統(tǒng)(特別是多回路系統(tǒng))分析和設(shè)計(jì)中非常方便，因此，在工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用[2]。

在使用根軌跡法之前，需要繪制系統(tǒng)的根軌跡。在自動(dòng)控制理論方面的教材中，涉及到的根軌跡繪制規(guī)則只對(duì)實(shí)軸上的根軌跡作了描述，對(duì)根軌跡的復(fù)數(shù)部分并沒有相關(guān)闡述，這就導(dǎo)致了很多學(xué)生在繪制根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀時(shí)不知所措，以至于定性繪制出的根軌跡與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn)。近年來，有學(xué)者對(duì)根軌跡復(fù)數(shù)部分進(jìn)行了相關(guān)的研究[3～5]，但是都針對(duì)某種特定類型的系統(tǒng)進(jìn)行研究，沒有對(duì)一般類型系統(tǒng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀進(jìn)行研究，如文獻(xiàn)[3]只對(duì)二階系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是圓形的系統(tǒng)進(jìn)行研究；在文獻(xiàn)[5]中，王澤南使用解析法對(duì)T(0,4)系統(tǒng)中根軌跡為等軸雙曲線的情況進(jìn)行研判。

本文通過在系統(tǒng)閉環(huán)特征方程中引入?yún)?shù)來對(duì)一般情況下系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分進(jìn)行研究，對(duì)系統(tǒng)根軌跡復(fù)數(shù)部分的可能形狀進(jìn)行判斷，并通過實(shí)際的例子來驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

1 根軌跡復(fù)數(shù)部分形狀的數(shù)學(xué)描述

為了研究系統(tǒng)的根軌跡，假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)=N(s)/D(s)。為不失一般性，我們假設(shè)特征方程D(s)的形式如下

(1)

其中pi是系統(tǒng)函數(shù)Φ(s)的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，f(k)和g(k)是開環(huán)增益K和其他參數(shù)的函數(shù)。這樣設(shè)置D(s)的形式便于研究根軌跡中復(fù)數(shù)部分的形式，若系統(tǒng)的根軌跡存在多個(gè)復(fù)數(shù)分支，則可以通過分別研究每個(gè)復(fù)數(shù)分支根軌跡的方式進(jìn)行研究。系統(tǒng)函數(shù)Φ(s)的復(fù)數(shù)根其實(shí)也是方程

s2+f(k)s+g(k)=0

(2)

的根，即

(3)

令

x和y是復(fù)數(shù)根s1的實(shí)部和虛部，代表直角坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。要得到根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀，只需建立x和y的關(guān)系即可，經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算可得

y2=g(f-1(-2x) )-x2

(5)

式(5)就是系統(tǒng)函數(shù)Φ(s)的復(fù)數(shù)根的實(shí)部與虛部滿足的約束方程，只要知道f(k)和g(k)的具體形式，結(jié)合式(4a)和(4b)就可以快速地確定根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀。在f(k)和g(k)的具體形式未知的情況下，我們也可以得到以下結(jié)論:

(1)若f(k)存在反函數(shù)，且g(f-1(-2x))是與x無關(guān)的常量，式(5)是一個(gè)圓心在原點(diǎn)的圓，則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分就是圓的一部分；

(2)若f(k)存在反函數(shù)，且g(f-1(-2x))是x的一次函數(shù)，式(5)是一個(gè)圓心在實(shí)軸上的圓，則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分是圓的一部分；

(3)若f(k)存在反函數(shù)，且g(f-1(-2x))是x的二次函數(shù)，式(5)可能是橢圓、雙曲線，則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分就是橢圓、雙曲線的一部分；

(4)若f(k)不存在反函數(shù)，由式(4a)(4b)可知，系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一條與x無關(guān)的直線。

值得注意的是，即使g(f-1(-2x))是x的二次函數(shù)，式(5)所示表示的根軌跡也不可能是拋物線，因?yàn)閽佄锞€沒有漸近線，而根軌跡有漸近線(存在無限零點(diǎn)或極點(diǎn)時(shí))。

2 應(yīng)用實(shí)例

在本節(jié)中，我們將用幾個(gè)具體的實(shí)例來驗(yàn)證上一節(jié)中得到的結(jié)論的正確性。由于本文主要討論根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀，因此在本節(jié)的例題中，我們將省略繪制根軌跡的步驟，重點(diǎn)討論根軌跡復(fù)數(shù)部分所滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2.1 圓形根軌跡

例1：設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

D(s)=s2+(2+K)s+(2+2K)=0

(6)

將式(6)和式(2)進(jìn)行比較，就可得f(K)=2+K，g(K)=2+2K，由此可以得到f-1(-2x)=-2x-2，再結(jié)合式(5)我們就可以得到根軌跡復(fù)數(shù)部分所滿足的約束方程

(x+2)2+y2=2

(7)

圖1 例1系統(tǒng)的根軌跡圖

2.2 雙曲線形根軌跡(無限零點(diǎn))

例2：已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解：由題意可知，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程為

D(s)=s3+8s2+15s+K=0

(8)

由于系統(tǒng)的特征方程是s的三次方程，與式(1)相比較并不能求得f(k)和g(k)，為了求得f(k)和g(k)，我們利用長除法將特征方程進(jìn)行因式分解。根軌跡復(fù)數(shù)部分對(duì)應(yīng)兩個(gè)極點(diǎn)，因此特征方程還應(yīng)該有一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，假設(shè)為-k，根據(jù)長除法可得

D(s)=s3+8s2+15s+K=(s+k)(s2+(8-k)s+(k2-8k+15))

(9)

再與式(1) 相比較，可知f(k)=8-k和g(k)=k2-8k+15，由于開環(huán)系統(tǒng)函數(shù)具有無限遠(yuǎn)的零點(diǎn)，因此k∈(-∞,- 5]，f-1(-2x)=2x+8，再結(jié)合式(5)我們就可以得到根軌跡復(fù)數(shù)部分所滿足的約束方程為

(10)

由根軌跡法則可以得到：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為σa=-8/3，與正實(shí)軸的交角為φa=π/3；根軌跡的分離點(diǎn)為d=-1.21。這幾個(gè)數(shù)值正好與式(10)的幾個(gè)重要的幾何特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)，即

(1)雙曲線的中心點(diǎn)坐標(biāo)(-8/3,0)對(duì)應(yīng)根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)σa=-8/3；

由根軌跡基本法則繪制的系統(tǒng)根軌跡圖如圖2所示，從圖2中可以清楚地看到，系統(tǒng)根軌的跡的復(fù)數(shù)部分滿足式(10)所定義的雙曲線形根軌跡的一部分。

圖2 例2系統(tǒng)的根軌跡圖

例3：已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解：由題意可知，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程為

D(s)=s4+5s3+8s2+5s+K=0

(11)

由于系統(tǒng)的特征方程是s的四次方程，與式(1)相比較并不能求得f(k)和g(k)，為了求得f(k)和g(k)，我們利用長除法將特征方程進(jìn)行因式分解。根軌跡復(fù)數(shù)部分對(duì)應(yīng)兩個(gè)極點(diǎn)，因此特征方程還應(yīng)該有另外兩個(gè)極點(diǎn)，我們假設(shè)他們對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為s2+as+b，根據(jù)長除法可得

D(s)=s4+5s3+8s2+6s+K=(s2+as+b)(s2+(5-a)s+(8-b+a2-5a))

(12)

再與式(1)相比較，可知f(a)=5-a和g(a,b)=8-b+a2-5a，因此，f-1(-2x)=2x+5，再結(jié)合式(5)我們就可以得到根 軌跡復(fù)數(shù)部分所滿足的約束方程為

(13)

由根軌跡基本法則繪制的系統(tǒng)根軌跡圖如圖3所示，從圖3中可以清楚地看到，系統(tǒng)根軌的跡的復(fù)數(shù)部分(左邊曲線)滿足式 (13) 所定義的雙曲線形根軌跡的一部分。

圖3 例3系統(tǒng)的根軌跡圖

2.3 混合雙曲線形根軌跡(有限零點(diǎn))

例 4：已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解：由題意可知，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程為

D(s)=s3+3s2+(2+K)s+5K=0

(14)

按例2中的處理方式，首先使用長除法對(duì)特征方程進(jìn)行因式分解。設(shè)其中的實(shí)數(shù)極點(diǎn)為-a，則D(s)=s3+3s2+(2+K)s+5K=(s+a)(s2+(3-a)s+(a2-3a+K+2))，由此可得

結(jié)合式(4a)和式(15a)可得2x=a-3。根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)有一個(gè)有限零點(diǎn)-5，極點(diǎn)分別為0，-1，-2，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)-a隨著K:0→+∞時(shí)必滿足-a:-2→-5，因此當(dāng)a∈[2, 5]時(shí)，x∈[-1/2,1]，此時(shí)f-1(-2x)=2x+3，再結(jié)合式(15b)和式(5)可得

(16)

由上式可知，當(dāng)K∈[K0,1)時(shí)，根軌跡復(fù)數(shù)部分滿足實(shí)軸在x軸，虛軸在y的一組 雙曲線，這組雙曲線的第一條曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)就是根軌跡的分離點(diǎn)，該點(diǎn)可以通過長 除法得到: 令分離點(diǎn)為-d，則

s3+3s2+(2+K0)s+5K0=(s+93-2d))(s2+2ds+d2)

(17)

將上式右邊展開并與左邊比較，就可以得到如下方程組

(18)

解式(18)可得d=0.448,K0=0.086;當(dāng)K∈(1,+∞)時(shí)，根軌跡復(fù)數(shù)部分滿足實(shí)軸在y軸，虛軸在x的軸一組雙曲線。另外，由于x=limK→∞(a-3)/2=1,因此當(dāng)K→+∞時(shí)，y→±∞，根軌跡的漸近線為過(1,0)點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線。

由根軌跡基本法則繪制的系統(tǒng)根軌跡圖如圖4所示，從圖4中可以清楚地看到，系統(tǒng) 根軌跡的復(fù)數(shù)部分并不是單一的雙曲線，而是多個(gè)雙曲線的組合。

圖4 例4系統(tǒng)的根軌跡圖

2.4 直線形根軌跡

例 5：設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程為(盧一相等文)

D(s)=s2+4s+(3+K)=0

(19)

由式 (4a) 可知x=-f(K)/2=-4/2=-2，g(G)=3+K，再由式 (5) 可得

(20)

上式表明：系統(tǒng)的根軌跡復(fù)數(shù)部分(K>1 時(shí))是一條垂直于實(shí)軸的直線，且該直線過(-2,0)點(diǎn) (此時(shí)K=1，即特征方程D(s)=0 有兩個(gè)重根)。

由根軌跡基本法則繪制的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖如圖5所示，從圖5中可以清楚地看到，系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一條過(-2,0)的直線。實(shí)際上，直線可以看作圓的特殊情形， 即半徑為無窮大的圓。

圖5 例5系統(tǒng)的根軌跡圖

3 結(jié)語

本文通過在系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的二次因式中引入?yún)?shù)，對(duì)根軌跡復(fù)數(shù)部分的形狀進(jìn)行了理論研究，并通過實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。文中所得的結(jié)論不僅可以為實(shí)際繪制根軌跡提供參考依據(jù)，還可以避免繪制出的根軌跡與實(shí)際根軌跡相差甚遠(yuǎn)的情況出現(xiàn)。同時(shí)，文中所使用的確定根軌跡上關(guān)鍵點(diǎn)和漸近線的方法也可以作為教材中關(guān)于根軌跡繪制法則的輔助方法使用。