淺析解析幾何課程的“挑戰(zhàn)度

[摘要]利用“兩性一度”建設(shè)大學(xué)“金課”是教育部對(duì)大學(xué)課程的要求。本文以《解析幾何》課程中的軌跡方程知識(shí)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，淺析了如何利用全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽提高課程的挑戰(zhàn)度的方法，對(duì)一個(gè)軌跡方程例題的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了分析，闡述了如何在教學(xué)中提出挑戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生完成挑戰(zhàn)的思路。

[關(guān)鍵詞]軌跡方程兩性一度挑戰(zhàn)度教學(xué)設(shè)計(jì)

[中圖分類號(hào)]G64

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-3089（2021）17-0126-03

淘汰平淡無奇的“水課”，努力將課程提升至“金課”，是教育部在第十一屆中國大學(xué)教學(xué)論壇上提出的重要指導(dǎo)方針。而“金課”的打造，離不開課程的高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度。對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程《解析幾何》來說，也急需提升課程的含金量，提升課程的挑戰(zhàn)度，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的過程中，不僅僅對(duì)于課本的一般內(nèi)容熟練掌握，還能讓他們遇到跳一跳才能解決的問題，并且讓學(xué)生能夠主動(dòng)跳一跳來解決難題。

《解析幾何》是大學(xué)數(shù)學(xué)類相關(guān)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，針對(duì)的是大學(xué)一年級(jí)剛剛邁人大學(xué)校門的學(xué)生。課程的主要內(nèi)容是，在中學(xué)二維幾何圖形理論的基礎(chǔ)上，介紹利用向量的基本理論，建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)而建立空間二次曲面方程，利用方程研究空間圖像的性質(zhì)，為《數(shù)學(xué)分析》《高等代數(shù)》課程提供空間圖形的方程表達(dá)，是一門承上啟下的重要課程。為了解決提升課程挑戰(zhàn)度這個(gè)難題，其實(shí)是給任課老師出了一個(gè)有挑戰(zhàn)度的難題，一方面是從哪里找這樣的難題，一方面是如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的問題。

本文以如何建立空間點(diǎn)的軌跡方程為例，介紹如何在課本基礎(chǔ)知識(shí)上，結(jié)合全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽提出提高《解析幾何》課程的挑戰(zhàn)度。

1.教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

《解析幾何》的教學(xué)內(nèi)容包含：（1）向量的基礎(chǔ)理論;（2）直線與平面;（3）曲線與曲面。其中，向量的基礎(chǔ)理論主要介紹建立軌跡方程的主要工具，包含向量積、數(shù)量積和混合積：之后利用向量工具，建立空間的線面方程，所以《解析幾何》的主要內(nèi)容就是建立軌跡方程。

我們的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：

（1）通過空間軌跡方程的建立，掌握空間向量的基礎(chǔ)理論，理解空間直線和平面在建立空間曲面方程中的作用，掌握建立空間軌跡方程的基本方法，了解方程組消去參數(shù)的基本思路和方法。（2）通過建立空間曲面的軌跡方程，學(xué)會(huì)在已有圖形的基礎(chǔ)上建立坐標(biāo)系的基本方法，并且與平面方程的建立方法比較，掌握建立軌跡方程的基本思路和解題的入手點(diǎn)，提高分析和解決問題的能力。（3）建立軌跡方程過程中，介紹其方法與《高等代數(shù)》《數(shù)學(xué)分析》等課程中的相關(guān)知識(shí)的關(guān)系，引入空間基本思維，提高空間想象能力，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。

2.教學(xué)方法

將《解析幾何》中建立軌跡方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)與相關(guān)課程緊密聯(lián)系，與競(jìng)賽相輔相成，用到了課本的理論又高于課本的難度，讓學(xué)生做的到能分析、會(huì)方法，這樣的課程既有挑戰(zhàn)度，又能完成挑戰(zhàn)度，是最佳狀態(tài)，我們以此為依據(jù)設(shè)計(jì)教學(xué)方法。

2.1引入時(shí)承上啟下

《解析幾何》課程的知識(shí)體系連貫，不像其他課程星羅棋布的知識(shí)點(diǎn)，《解析幾何》課程就是向量、平面直線、曲線曲面這一條主線，只要抓住主線就能學(xué)好課程，而軌跡方程就是最后的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它用到了以前幾乎所有的基礎(chǔ)理論知識(shí)。所以“承上”就是利用軌跡方程這個(gè)最后的知識(shí)，將以前的向量數(shù)量積、向量積和混合積、直線的表達(dá)、直線平面的基本關(guān)系等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)再次梳理，做到溫故知新。

軌跡方程就是建立幾何圖形的方程，而《解析幾何》中的幾何圖形又是《數(shù)學(xué)分析》的研究對(duì)象，在計(jì)算重積分中必須用到三維圖形的解析表達(dá)，同時(shí)建立軌跡方程出現(xiàn)方程比較復(fù)雜（出現(xiàn)交叉項(xiàng)）時(shí)，又需要用到《高等代數(shù)》中的二次型理論進(jìn)行化簡(jiǎn)，才能最終確定曲面的最簡(jiǎn)方程。所以“啟下”就是利用軌跡方程與相關(guān)課程的聯(lián)系，讓學(xué)生掌握跨課程的知識(shí)體系，把相關(guān)課程知識(shí)點(diǎn)連成知識(shí)體系網(wǎng)。

2.2抓住重點(diǎn)剖析解題方法

建立軌跡方程的重點(diǎn)，就是建立方程組?？臻g曲面的軌跡方程只有一個(gè)，但是利用已知條件，往往不能直接得到這個(gè)目標(biāo)方程，必須先建立方程組。也就是利用向量工具和直線平面的相關(guān)知識(shí)，找到軌跡上任意點(diǎn)滿足的方程，必要時(shí)引入?yún)?shù)，建立方程組后消去參數(shù)。對(duì)于這個(gè)解題方法，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從中學(xué)建立二維平面上的橢圓的方程，過度到三維的平面和球面方程，冉過度到三維一般的軌跡方程，讓學(xué)生從中自主總結(jié)，剖析這些方程的建立過程的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，掌握建立軌跡方程的主要方法，提升分析和解題能力。

2.3找準(zhǔn)難點(diǎn)探討解決思路

因?yàn)槊總€(gè)題目解題過程中遇到的情況不同，可以利用比較的辦法，讓學(xué)生從簡(jiǎn)到難，找到引入?yún)?shù)的必要性，從而掌握在必要的時(shí)候，自然地引入?yún)?shù)，得到軌跡方程組，進(jìn)而消參得到軌跡方程。近年來，關(guān)于軌跡方程的大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目都具有引入?yún)?shù)，消去參數(shù)的特點(diǎn)，讓學(xué)生扎實(shí)掌握這個(gè)難點(diǎn)，有助于學(xué)生學(xué)好用好軌跡方程的構(gòu)造方法，進(jìn)而完成有挑戰(zhàn)度的習(xí)題的解答。并且，當(dāng)學(xué)生突破了解題的難點(diǎn)時(shí)，他們的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性將會(huì)大大提升。

3.教學(xué)設(shè)計(jì)

我們以2019年第十一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽，數(shù)學(xué)專業(yè)組（B卷）的第一題為例，介紹如何提出挑戰(zhàn)度的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生完成挑戰(zhàn)。“設(shè)L，和L2是空間中兩條不垂直的異面直線，點(diǎn)B是它們公垂線的中點(diǎn)，點(diǎn)A，和A2分別在L和L2上滑動(dòng)，使得AB和AB垂直，證明直線AA2的軌跡是單葉雙曲面?！?/p>

3.1分析已知條件，找到課本的相似知識(shí)點(diǎn)

我們可以通過分析，讓學(xué)生了解，軌跡方程就是與之前學(xué)習(xí)的旋轉(zhuǎn)面方程的建立相同，標(biāo)準(zhǔn)解題步驟是利用已知條件，引入?yún)?shù)，建立曲面上任一點(diǎn)滿足的方程組，消去參數(shù)，即可得到想要的方程，最后如果得到的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，可以利用《高等代數(shù)》中的二次型配方為標(biāo)準(zhǔn)形，即可判斷得到的軌跡方程是單葉雙曲面。

3.2找到難點(diǎn)，重點(diǎn)突破

觀察題設(shè)已知條件，我們需要首先假設(shè)已知的異面直線，建立坐標(biāo)系，才能進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)步驟。這個(gè)是這個(gè)題目的難點(diǎn)，以前學(xué)生都沒有先建立坐標(biāo)系的概念。為了提高挑戰(zhàn)度，我們可以給學(xué)生建立兩種坐標(biāo)系，第一種是利用公垂線作x軸，公垂線的中點(diǎn)B作原點(diǎn)，兩個(gè)直線與z軸的夾角相同，于是我們得到了一對(duì)對(duì)稱的異面直線。第二種是利用已知直線L1作z軸，公垂線作x軸，那么我們得到了z軸和過x軸的直線是一對(duì)異面直線。由于第一種的異面直線是對(duì)稱的，所以得到的軌跡方程關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的單葉雙曲面，直接可判斷。

第二種坐標(biāo)系中，由于軌跡的對(duì)稱中心B點(diǎn)在x軸上，所以得到的軌跡方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，方程中會(huì)有干擾項(xiàng)，那么可以引導(dǎo)學(xué)生利用二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的思路，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，給出判斷，這也是這個(gè)題目的難點(diǎn)。

3.3梳理解題過程，從難題中找基礎(chǔ)

除了上述建立坐標(biāo)系和最后非標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)化之外，其余解題過程都是基礎(chǔ)理論，學(xué)生能在掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，獨(dú)立完成求解。求解過程，其實(shí)就是基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固的過程。并且求解不用拘泥于答案本身，可以提出多個(gè)解法，進(jìn)一步提高解題的挑戰(zhàn)度。

（1）利用直線L的參數(shù)方程表達(dá)直線上的一點(diǎn)A，那么點(diǎn)A等價(jià)與參數(shù)t，則兩個(gè)直線就有兩個(gè)t作為引入的參數(shù)。（2）AB和AB垂直就是向量的數(shù)量積等于零，則得到了關(guān)于參數(shù)的方程：（3）利用直線AA2的直線方程，得到軌跡上任一點(diǎn)一定滿足直線方程，得到AA2直線方程就是關(guān)于參數(shù)的另外兩個(gè)方程。（4）利用上述列出的三個(gè)方程，消去兩個(gè)參數(shù)t，即可得到軌跡方程。

綜上，在解題中，用到了數(shù)量積、直線方程、消去參數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生在分析計(jì)算過程中，掌握建立坐標(biāo)系和化非標(biāo)準(zhǔn)方程這種課本上沒有的知識(shí)，達(dá)到了提高課程挑戰(zhàn)度的要求。

4.反饋調(diào)查

“以學(xué)生為中心”的課程知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)思路，是為了讓學(xué)生學(xué)以致用，真正學(xué)到東西。我們?cè)诶酶?jìng)賽題進(jìn)行挑戰(zhàn)度設(shè)置的教學(xué)改革之后，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下結(jié)果：

（1）學(xué)生首先對(duì)《解析幾何》課程的理解更加深刻了，課內(nèi)的知識(shí)作基礎(chǔ)，競(jìng)賽的題目作檢測(cè)，學(xué)生更能了解自己的學(xué)習(xí)進(jìn)度和學(xué)習(xí)質(zhì)量。（2）學(xué)生改變了“要我學(xué)”的學(xué)習(xí)思路，有全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽作為激勵(lì)，大家都想在競(jìng)賽上一展身手，學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”，提高了學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。（3）成績(jī)有提高，我們通過日常的教學(xué)管理改革，加入了在線測(cè)試及其單元測(cè)試和競(jìng)賽測(cè)試不同難度的測(cè)試環(huán)節(jié)，讓課程的過程考核體現(xiàn)到期末總成績(jī)之中，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)從以前的考前突擊，到現(xiàn)在的一直學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)成績(jī)有了比較大的提高。

5.總結(jié)

通過《解析幾何》的“兩性一度”為指導(dǎo)方針的教學(xué)改革，我們利用全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題作為提高挑戰(zhàn)度的方法，提高教學(xué)質(zhì)量，將挑戰(zhàn)融入課堂教學(xué)和課后測(cè)試具體環(huán)節(jié)，使得老師教學(xué)有了挑戰(zhàn)度，學(xué)生學(xué)習(xí)有了挑戰(zhàn)度，在教師和學(xué)生的共同努力下，課程的建設(shè)上了一個(gè)新臺(tái)階，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力有了很大提高。

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作者簡(jiǎn)介：

李光云（1981年-），男，回族，廣西桂林人，理學(xué)碩士，講師，主要研究方向：微分方程動(dòng)力系統(tǒng)。