破解中考幾何壓軸題技巧探究

何軍健

摘 要：幾何壓軸題常見(jiàn)于全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)中考試卷。幾何壓軸題注重考查學(xué)生思維能力，難度比較高，對(duì)考生的幾何知識(shí)基礎(chǔ)掌握程度要求很高，同時(shí)需要學(xué)生具備一定的綜合應(yīng)用能力，學(xué)生要在有限時(shí)間內(nèi)完成有一定難度，所以學(xué)生要快速找到解決壓軸題的突破口還是需要一定技巧。因此文章主要對(duì)破解中考幾何壓軸題技巧進(jìn)行探究，總結(jié)了“以問(wèn)為導(dǎo)，尋找線索”“化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破”“前后聯(lián)動(dòng)，融會(huì)貫通”三個(gè)破解技巧。

關(guān)鍵詞：中考;幾何壓軸題;解題技巧

一、問(wèn)題的提出

壓軸——指一場(chǎng)折子戲演出的倒數(shù)第二個(gè)劇目。在考試中所說(shuō)的壓軸題是從這里引申過(guò)來(lái)的。很多數(shù)學(xué)考試通常把最有分量的試題放在最后三道題，也是我們所說(shuō)的壓軸題，這也是學(xué)生成績(jī)拉開(kāi)距離的題目，可見(jiàn)放在這些位置的題目無(wú)論是分值還是難度都不一般。每年的數(shù)學(xué)中考試后，說(shuō)起中考?jí)狠S題，特別是幾何壓軸題，很多學(xué)生都說(shuō)無(wú)從下手，或者有些會(huì)說(shuō)：“題目我都沒(méi)有看過(guò)……為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？難道壓軸題真的是高不可攀的山峰嗎？”

筆者任教畢業(yè)班多年，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)這種情況有客觀原因也有主觀原因。客觀原因是我們都知道壓軸題就是一張?jiān)嚲砝锩姹容^難的題目，出題目的就是要區(qū)分出優(yōu)等生和一般生，達(dá)到為高一級(jí)學(xué)校選拔人才的目的，所以壓軸題難度比較高，主要考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，學(xué)生要在有限時(shí)間內(nèi)完成有一定難度;而主觀原因是很多教師一開(kāi)始就灌輸：“壓軸題很難的，考試時(shí)間不多，把多點(diǎn)時(shí)間放在檢查前面已經(jīng)完成的題目，保證正確率。”人為地給學(xué)生營(yíng)造恐懼心理，讓很多學(xué)生談?lì)}色變，以至在考試過(guò)程中很多學(xué)生都放棄壓軸題。如何讓學(xué)生突破壓軸題這個(gè)瓶頸呢？筆者認(rèn)為在平常的教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生破解壓軸題的技巧。

二、技巧的概念界定

技巧，指表現(xiàn)在文學(xué)、工藝、體育等方面的巧妙的技能。如“談話技巧”;或者指技巧性的運(yùn)動(dòng)。如“技巧比賽”。技巧也可以說(shuō)是屬于“方法”的一個(gè)范疇，主要指對(duì)一種生活或工作方法的熟練和靈活運(yùn)用，也可比喻解決問(wèn)題的好辦法。而數(shù)學(xué)解題技巧是指根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同特性，總結(jié)歸納出的巧妙的解題好方法與技能，幫助學(xué)生準(zhǔn)確快速地找到解題思路，化難為簡(jiǎn)，提升駕馭數(shù)學(xué)的能力，最終達(dá)到解題目的。

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在的理由就是解問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問(wèn)題和解?！睌?shù)學(xué)家G·波利亞曾說(shuō)過(guò)，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。他長(zhǎng)期致力于“怎樣解題”的研究，他指出：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且要善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見(jiàn)解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題?！狈▏?guó)著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪在其名著《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》把學(xué)生的解題過(guò)程與數(shù)學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造相提并論：“一個(gè)學(xué)生解決某一代數(shù)或幾何問(wèn)題的過(guò)程與數(shù)學(xué)家做出發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造的過(guò)程具有相同的性質(zhì)，至多只有程度上的差異?！币虼酥袑W(xué)數(shù)學(xué)教育首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，教會(huì)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)總結(jié)題目的解法和技巧，提高解題能力。

三、破解中考幾何壓軸題技巧的探究

對(duì)于中考幾何壓軸題的研究，每年都有不少文章針對(duì)當(dāng)年全國(guó)各地最新的中考幾何壓軸題進(jìn)行破解，國(guó)內(nèi)不少學(xué)者也對(duì)破解中考幾何壓軸題的常用方法進(jìn)行研究，取得不同程度的效果。但是眾所周知，中考?jí)狠S大題都是出題老師的心血結(jié)晶，不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)題目，思路也是做過(guò)多少套模擬題都沒(méi)有遇到過(guò)的新型題目，或者是之前碰到過(guò)一個(gè)類似的題型?？梢?jiàn)中考?jí)狠S題設(shè)計(jì)的可變性，每一道題的設(shè)計(jì)都不是一成不變的，那么是否可以找到一些方法或技巧去解決變化的中考幾何壓軸題？筆者認(rèn)為不管題目如何變化，總能找到一些破解中考幾何壓軸題的通用技巧。筆者經(jīng)過(guò)多年的畢業(yè)班教學(xué)實(shí)踐，對(duì)破解中考幾何壓軸題技巧進(jìn)行研究，總結(jié)了如下三個(gè)破解技巧。

（一）以問(wèn)為導(dǎo)，尋找線索

對(duì)于中考?jí)狠S題，很多學(xué)生聽(tīng)到“壓軸”二字就害怕，以為一點(diǎn)都不會(huì)做，其實(shí)壓軸題并不是競(jìng)賽題，只是綜合性及創(chuàng)新性更強(qiáng)。一般地，中考數(shù)學(xué)壓軸題通常有三個(gè)小問(wèn)，其中第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，中等水平的學(xué)生能夠比較輕易地解出來(lái);第二問(wèn)通常有些難度，通常要利用第一問(wèn)的條件和結(jié)論。所以解決這一問(wèn)可以用“以問(wèn)為導(dǎo)，尋找線索”的方法解決。

我們知道所有題目設(shè)計(jì)的條件中有明顯和隱含的，而所有的條件都是為問(wèn)題而設(shè)計(jì)的，所以我們要快速判斷出所給條件為誰(shuí)服務(wù)，則要明白服務(wù)對(duì)象是誰(shuí)。因此筆者認(rèn)為破解壓軸題也一樣，特別是解決壓軸題第一問(wèn)，可以先了解問(wèn)題，后帶著問(wèn)題看題目，尋找解題的線索，這樣可以達(dá)到事半功倍的效果。

如：（2015·陜西中考）如圖，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

（1）如圖①，點(diǎn)M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為_(kāi)___________________;

（2）如圖②，點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)你求出△BNC周長(zhǎng)的最小值;

（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時(shí)cos∠BPC的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多。如何快速解答這道題呢？若直接讀題目，雖然題目文字不多，有好幾個(gè)明顯條件，但是所給條件與什么問(wèn)題匹配？一下子是判斷不出來(lái)的，但若我們先看問(wèn)題再回頭看題目，就基本可以判斷條件的作用。例如第一問(wèn)，問(wèn)題是求△BMC的面積，那么按照求三角形面積公式：[12]底邊×高，要解決這個(gè)問(wèn)題，就要找到對(duì)應(yīng)的底邊和高。所以回頭看題目就知道底邊BC是已知，沒(méi)有給出高，需要求高。又比如第二問(wèn)，要求△BNC周長(zhǎng)的最小值，要解決這個(gè)問(wèn)題則需要知道各邊長(zhǎng)，所以看題目就會(huì)留意要看是否給出與此三角形有關(guān)的線段長(zhǎng)度。通過(guò)這樣操作，明確解題的方向。

從以上例子我們可以看出，用“以問(wèn)為導(dǎo)，尋找線索”的方法解決幾何壓軸題，既節(jié)省了時(shí)間，避免重復(fù)花時(shí)間閱讀題目，又可以幫助學(xué)生快速找到問(wèn)題所需要的條件和突破口，大大增加了得分概率。筆者認(rèn)為教會(huì)學(xué)生這種解題思路，可以提高學(xué)生解決幾何綜合題的能力，特別是對(duì)于很多學(xué)習(xí)程度中下的學(xué)生來(lái)說(shuō)是提高解決綜合題第一問(wèn)的能力的一個(gè)好方法。

（二）化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破

幾何綜合題大多是平行線、三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、圓等知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查知識(shí)點(diǎn)多、圖形復(fù)雜且條件隱晦，難度較高，要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力、分析能力、解決問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基本方法有較強(qiáng)的駕馭能力，并有較強(qiáng)的解題創(chuàng)新意識(shí)和能力。但是所有復(fù)雜的圖形都是由基本圖形構(gòu)成的，所以，遇到圖形復(fù)雜的幾何綜合題時(shí)可以嘗試用“化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破”的方法，通過(guò)重畫(huà)圖形，把復(fù)雜圖形拆解回基本圖形，逐步遞進(jìn)，識(shí)破命題意圖，這樣就能很清晰找到解題方法。

分析：本道題是一道圓綜合題，重點(diǎn)考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想等。題目文字不多，但是圖形給學(xué)生的感覺(jué)比較復(fù)雜，線段錯(cuò)綜復(fù)雜，容易給學(xué)生造成視覺(jué)混亂，給學(xué)生造成恐懼感。筆者認(rèn)為壓軸幾何題的圖形復(fù)雜是必然的，因?yàn)橐坏谰C合題要考察的知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)點(diǎn)的構(gòu)成靠眾多具備某些特征的基本圖形構(gòu)成，所以它的圖形必然復(fù)雜。那么如何破解呢？筆者經(jīng)過(guò)多年畢業(yè)班教學(xué)實(shí)踐及研究多年的中考幾何壓軸題，發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)問(wèn)題的逐步遞進(jìn)把圖形拆解，我們可以重新畫(huà)圖，把一些不需要或沒(méi)有用到的線先省去，簡(jiǎn)化圖形，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破。

比如我們看第一問(wèn)，它是求證CD是⊙O的切線，這一問(wèn)實(shí)際上主要是與圓和線段CD有關(guān)，而線段OF、FD、AD及點(diǎn)G、A都沒(méi)有涉及，我們可以重新畫(huà)圖，把這些線段及沒(méi)有涉及的點(diǎn)省去，簡(jiǎn)化圖形，如右圖為簡(jiǎn)化后的圖形。此圖相對(duì)原圖就簡(jiǎn)單明了，學(xué)生在平常都接觸過(guò)，學(xué)生只要連接OC證OC⊥ED即可。證明過(guò)程如下：

至此，已經(jīng)完成第一、第二問(wèn)的解題，第三問(wèn)才真正用到原圖。一般第三問(wèn)都是比較難的，況且分值也不多，這時(shí)在時(shí)間不多的情況下我們可以考慮放棄。

由以上例子可以發(fā)現(xiàn)，在遇到圖形復(fù)雜的幾何綜合題時(shí)可以嘗試化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破，可以把原題圖形做化繁為簡(jiǎn)處理，把還沒(méi)有用到的點(diǎn)或線不畫(huà)上去，簡(jiǎn)化圖形，避免復(fù)雜的圖形影響學(xué)生的思考，讓學(xué)生快速、清晰地找到解題方法。

（三）前后聯(lián)動(dòng)，融會(huì)貫通

一般地，中考數(shù)學(xué)壓軸題通常有三小問(wèn)，壓軸題三小問(wèn)之間命制的模式有并列、遞進(jìn)或并列與遞進(jìn)混合的邏輯關(guān)系，也就是有些壓軸題各小問(wèn)是并列關(guān)系（即各問(wèn)之間是獨(dú)立關(guān)系），有些是遞進(jìn)關(guān)系（即第一問(wèn)為第二問(wèn)服務(wù)，第二問(wèn)又為第三問(wèn)服務(wù)，有些第一、第二問(wèn)都為第三問(wèn)服務(wù)），有些是并列與遞進(jìn)混合關(guān)系。壓軸題第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，中等水平的學(xué)生能夠比較輕易地解出來(lái)。所以，看到壓軸題，學(xué)生不要過(guò)于恐懼，拿下第一問(wèn)還能得兩三分。第二問(wèn)通常有些難度，通常要利用第一問(wèn)的條件和結(jié)論，所以，如果第一問(wèn)做不出來(lái)，后面就更難。第三問(wèn)難度最大，考驗(yàn)的是學(xué)生的綜合能力。所以解答壓軸題還有一個(gè)技巧就是注意三小問(wèn)之間的邏輯關(guān)系，判斷出它們的邏輯關(guān)系，捕捉命題者思路，然后前后聯(lián)動(dòng)，融會(huì)貫通，快速找到解題方法。

如：（2017·南充中考）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AF=[14]AB。

（1）求證：EF⊥AG;

（2）若點(diǎn)F、G分別在射線AB、BC上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫(xiě)結(jié)果，不需說(shuō)明理由）？

（3）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)S△PAB=S△OAB，求△PAB周長(zhǎng)的最小值.

分析：本題是四邊形綜合題目，綜合性強(qiáng)，主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)。本題文字不多，圖形也不算復(fù)雜，我們?nèi)绾慰焖僬业剿悸啡ソ鉀Q呢？筆者認(rèn)為可以用“前后聯(lián)動(dòng)，融會(huì)貫通”的方法去找到突破口。

首先看問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)第一、第二問(wèn)的問(wèn)題都是證明EF⊥AG，而第三問(wèn)由面積去求周長(zhǎng)，可以猜想本道題整個(gè)邏輯關(guān)系基本上是遞進(jìn)關(guān)系或部分是遞進(jìn)關(guān)系，所以關(guān)鍵是要解決第一問(wèn)，解決不了第一問(wèn)，估計(jì)第二、第三問(wèn)有一定的難度，所以突破口在第一問(wèn)。解答過(guò)程如下：

由于第一問(wèn)是證明特殊位置的結(jié)論，第二問(wèn)是探索運(yùn)動(dòng)情況下第一問(wèn)的結(jié)論是否成立，根據(jù)遞進(jìn)關(guān)系，猜想第二問(wèn)的判定證明思路和方法可以模仿第一問(wèn)去做，實(shí)際第一問(wèn)的解決方法對(duì)第二問(wèn)有提示作用，這樣就很容易解決了第二問(wèn)，看具體證明過(guò)程：

（2）解：成立;理由如下：

以上例子說(shuō)明，我們?cè)谧鰩缀螇狠S題時(shí)可以由命題者設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題的邏輯關(guān)系，通過(guò)前后聯(lián)動(dòng)，融會(huì)貫通，快速找到相應(yīng)解決問(wèn)題的突破口。

四、結(jié)束語(yǔ)

幾何壓軸題作為考查考生思維能力的一個(gè)重要方面，在中考中仍占有相當(dāng)?shù)谋壤Ｒ詭缀沃攸c(diǎn)知識(shí)為載體，要求考生根據(jù)題意設(shè)計(jì)有一定層次、一定長(zhǎng)度的推理過(guò)程，以檢測(cè)考生的邏輯思維能力、基本圖形分析能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力，仍是中考命題的重點(diǎn)之一，幾何壓軸題對(duì)考生的知識(shí)基礎(chǔ)掌握程度要求很高，學(xué)生需要一定的思維能力，但是要能快速找到解決壓軸題的突破口還是需要一定技巧的。根據(jù)多年任教畢業(yè)班和教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者總結(jié)出破解中考幾何壓軸題的三個(gè)通用技巧，目的在于遇到幾何壓軸題時(shí)，為學(xué)生快速找到解題思路，化難為簡(jiǎn)，提升駕馭數(shù)學(xué)的能力，最終達(dá)到解題目的。

（廣東省茂名市崇文學(xué)校，茂名525000）