溝通聯(lián)系 突出思想
——“雞兔同籠”問題的教學(xué)思考與實(shí)踐

○李 靜

“雞兔同籠”最早記錄于我國(guó)的古書《孫子算經(jīng)》之中。此問題在多個(gè)版本教材中都有涉及。教材注重引導(dǎo)學(xué)生用猜測(cè)、列表枚舉、假設(shè)法（算術(shù)解法）等方法解決問題（部分教材呈現(xiàn)方程解法），體現(xiàn)了解決問題方法的多樣化。

之前學(xué)生已有用猜測(cè)、列表枚舉解決問題的經(jīng)驗(yàn)，因此教學(xué)時(shí)，在簡(jiǎn)單的猜測(cè)和列表后，教師都要花大量的精力用圖形、動(dòng)畫等手段教學(xué)假設(shè)法。假設(shè)籠中全是雞，根據(jù)條件推理計(jì)算出有幾只雞、幾只兔。但是，為什么要假設(shè)全是雞呢？學(xué)生往往不去想或想不明白這一問題，而是被動(dòng)地照著去假設(shè)。

波利亞在《怎樣解題》中提出：“教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置上，了解學(xué)生是怎么想的，然后順勢(shì)提出一個(gè)問題或建議，而這正是學(xué)生自己原本應(yīng)該想到的?！惫P者嘗試引導(dǎo)學(xué)生最大限度地參與問題解決的過程，建立各種解法的聯(lián)系，讓他們順勢(shì)想到假設(shè)法。

一、猜測(cè)調(diào)整，數(shù)形結(jié)合嘗試解決問題

引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖、符號(hào)等手段分析數(shù)量關(guān)系，根據(jù)頭的數(shù)量和隱含的條件猜測(cè)一組數(shù)據(jù)，嘗試求解問題。

師：可以從8 個(gè)頭的條件出發(fā)，假設(shè)一組數(shù)據(jù)，看能否滿足26 只腳的條件。

生：假設(shè)有4 只雞、4 只兔，共有4×2+4×4=24（只）腳。

師：你可以畫圖表示一下剛剛的假設(shè)嗎？

師：少了2 只腳，沒有得到正確結(jié)果，你能調(diào)整一下找到正確答案嗎？

生：少了26-24=2（只）腳。說明兔子實(shí)際的數(shù)量比假設(shè)的要多。因?yàn)槊恐煌米颖让恐浑u多2 只腳（隱含條件），2÷2=1（只），再調(diào)整兔子和雞的數(shù)量，加1 只兔，4+1=5（只）兔，減少1 只雞，4-1=3（只）雞。

師：怎樣畫圖表示剛剛的調(diào)整過程？

師：還可以怎樣假設(shè)？怎樣調(diào)整？你能邊畫圖邊說明嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生將語言表述、畫圖及符號(hào)表示（列算式）有機(jī)結(jié)合起來。在學(xué)生想不清楚的地方，教師適時(shí)提問或引導(dǎo)其他學(xué)生質(zhì)疑、補(bǔ)充。如：你能解出這道題的一部分嗎？題目中還有哪些隱含的有用數(shù)據(jù)？哪些隱含信息可以幫助你調(diào)整求出未知量？學(xué)生由此感悟到猜測(cè)任意一組數(shù)據(jù)都能根據(jù)隱含條件求解問題，溝通了猜測(cè)法與假設(shè)法之間的聯(lián)系。

二、列表枚舉，尋找解決問題的“通解通法”

承接“先猜測(cè)再調(diào)整”的思路，教師提出問題：“你能將所有猜測(cè)方案都列舉出來嗎？”這時(shí)，列表的目的就不只是找到答案，而是整理解決問題的思路。通過調(diào)動(dòng)學(xué)生之前解決問題的經(jīng)驗(yàn)，便可以找到解題的“通解通法”。

頭雞8 7…………兔0 1腳總腳數(shù)：2×8=16腳數(shù)差：26-16=10，少了10 只腳?？偰_數(shù)：2×7+4×1=18腳數(shù)差：26-18=8，少了8 只腳。……調(diào)整一只兔比一只雞多4-2=2（只）腳。增加兔：10÷2=5兔：0+5=5減少雞：5雞：8-5=3一只兔比一只雞多4-2=2（只）腳。增加兔：8÷2=4兔：1+4=5減少雞：4雞：7-4=3……

綜上，列表中的每一種猜測(cè)都可以調(diào)整得出正確結(jié)果，教材給出的“假設(shè)法”不過是假設(shè)極端值（假設(shè)全是雞或假設(shè)全是兔）的一種情況而已。為什么要假設(shè)極端值呢？因?yàn)檫@樣計(jì)算腿數(shù)簡(jiǎn)單，調(diào)整過程也簡(jiǎn)單。由此，學(xué)生便找到了解決“雞兔同籠”問題的通法，并在通法中分離出簡(jiǎn)便方法——假設(shè)法，學(xué)生心中的疑問“為什么假設(shè)全是雞”便解開了。教材中給出的三種方法，即猜測(cè)法、列表法、假設(shè)法也都統(tǒng)一到一個(gè)解題思路之中了。

三、變換角度假設(shè)，感悟各算法的異同

以上都是從滿足8 個(gè)頭的條件進(jìn)行假設(shè)的（頭的數(shù)量少，方便調(diào)整）。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生變換角度繼續(xù)思考：“我們還能從其他條件出發(fā)進(jìn)行假設(shè)嗎？”當(dāng)然，我們也可以從腳的只數(shù)出發(fā)進(jìn)行假設(shè)：假設(shè)26 只腳全是雞的腳，然后調(diào)整。不過腳的數(shù)量復(fù)雜，調(diào)整起來也更麻煩些。

“雞兔同籠”問題還有許多解法。如“抬腿法”，解題思路與記載在《孫子算經(jīng)》中的解題方法“半足法”相同：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得（腳數(shù)除以2，結(jié)果減頭數(shù)得兔，再用總頭數(shù)減兔，得雞）。除了《孫子算經(jīng)》，中國(guó)古代數(shù)學(xué)書籍《算法統(tǒng)宗》中也記載了一道“雞兔同籠”的問題，還有一個(gè)同類型的“米麥問題”?！端惴ńy(tǒng)宗》采用的解題方法是與“半足法”不同的“倍頭法”和“四頭法”，即：倍頭減足折半是兔（頭數(shù)乘2，足數(shù)減掉乘積后除以2 得兔）；四頭減足折半是雞（4 乘頭數(shù)，減掉足數(shù)除以2 得雞）。

整理算法后我們發(fā)現(xiàn)，“半足法”是從滿足腳的條件出發(fā)的假設(shè)法，而“倍頭法”“四頭法”則是從滿足頭的條件出發(fā)的假設(shè)法。

四、對(duì)比方程法，發(fā)展代數(shù)思維

不管是古書中的“半足法”“倍頭法”，還是教材中的“假設(shè)法”，都只呈現(xiàn)了解決問題的步驟。任何程序化的算法背后都有創(chuàng)造算法的思路。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷算法背后思路的思考過程，溝通猜測(cè)法、列表法與假設(shè)法之間的關(guān)系，消除心中的疑惑。

“半足法”和“倍頭法”用解二元一次方程的“消元法”理解更具有去情境化的優(yōu)勢(shì)。以“半足法”為例。

假設(shè)有x只雞，y只兔：

方程法解決“雞兔同籠”問題具有去情境化、結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)方程之后，可以讓學(xué)生用方程方法再來解決“雞兔同籠”問題，比較代數(shù)思維和算術(shù)思維的不同，感受不同解法背后的相通之處。