結構化教學：引領學生走向深度學習
——《小數(shù)的意義和性質》教材解讀與教學建議

○崇 沖

學生有意義的學習實際上是對已有知識結構的延伸與拓展。結構化重要觀點之一：結構有著關聯(lián)、轉化的意義，具有遷移的功能，能促進情感、意志與思維的和諧發(fā)展。

學習《小數(shù)的意義和性質》，對小學數(shù)概念體系的建構具有承前啟后的作用。以結構化視角來思考本單元的教學，既是需要，也很必要。

一、知識梳理

1.知識的縱向聯(lián)系。

本單元是在三年級學習“分數(shù)的初步認識”和“小數(shù)的初步認識”的基礎上教學的，是學生系統(tǒng)學習小數(shù)的開始，將為后面學習小數(shù)相關知識以及五年級學習小數(shù)的四則運算打下堅實的基礎。

2.知識的橫向聯(lián)系。

小數(shù)的知識安排在四年級的第二學期，學生已經(jīng)完整地學習了自然數(shù)的知識以及整數(shù)的四則運算，在四年級的“數(shù)與代數(shù)”內容中處于重要地位。縱觀當下各個版本的教材，“小數(shù)的意義和性質”的關注點都在與十進分數(shù)聯(lián)系的建構上。

3.知識的結構體系。

小學生認識和理解自然數(shù)的含義主要是從基數(shù)和序數(shù)兩個角度。小數(shù)是一種特殊的分數(shù)，它是十進制計數(shù)法的拓展，也是數(shù)概念的一次擴充。對于小數(shù)與分數(shù)的學習，實際上學生開始從微觀的視角來認識數(shù)——任意兩個相鄰的自然數(shù)之間都存在著可以表示小數(shù)或分數(shù)的點，從而直觀地看到自然數(shù)“1”可以無限細分。

二、教材解讀

1.內容組織注重結構性——打通分數(shù)、小數(shù)和整數(shù)的聯(lián)系。

本單元是在學生直觀認識一位小數(shù)的基礎上，通過學生熟悉的生活實例和學生對整數(shù)十進制計數(shù)法的認識，抽象出小數(shù)的意義和性質，初步形成對小數(shù)意義和性質的結構化認知。

利用米、分米、厘米之間的換算關系，把學生對小數(shù)的認識由一位小數(shù)過渡到兩位小數(shù)、三位小數(shù)的認識……體會十進分數(shù)除了可以寫成分母是10、100、1000……的分數(shù)之外，還可以寫成小數(shù)，小數(shù)是十進分數(shù)的另一種形式。

利用幾何圖形把整數(shù)“1”平均分成10 份、100 份、1000 份，用分數(shù)、小數(shù)表示其中的幾份，幫助學生溝通整數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系。引導學生認識小數(shù)計數(shù)單位及進率、數(shù)位名稱及順序，體會整數(shù)和小數(shù)都遵循十進制計數(shù)法，溝通小數(shù)與分數(shù)、整數(shù)之間的內在聯(lián)系，并把小數(shù)的知識納入原有的知識系統(tǒng)之中，促使學生形成新的認知結構。

2.概念呈現(xiàn)注重直觀性——打通數(shù)與形的聯(lián)系。

將抽象的數(shù)學知識與直觀圖形聯(lián)系起來，挖掘并利用相關概念中的直觀成分，能有效降低學生學習的難度。對于本單元概念和規(guī)律的呈現(xiàn)，教材充分考慮其直觀性。從學生熟悉的直尺入手，引導他們聯(lián)系長度單位進率進行體會，并形成初步認識。

教材借助直尺顯示幾分米是十分之幾米、零點幾米等，幫助學生理解小數(shù)的意義，然后通過在直尺上比較0.1 米、0.10 米和0.100 米的大小，理解小數(shù)的基本性質。同時借助幾何圖形來深化學生對小數(shù)意義和性質的理解。

例如：用大正方形表示整數(shù)“1”，用它的十分之幾、百分之幾分別表示一位小數(shù)、兩位小數(shù)；在數(shù)軸上初步建立點與對應的一位小數(shù)、兩位小數(shù)的聯(lián)系。用圖形直觀顯示小數(shù)的含義，能有效突破教學難點，讓學生感悟小數(shù)和整數(shù)之間的內在關聯(lián)。

3.素材選擇注重現(xiàn)實性——打通數(shù)學與生活的聯(lián)系。

教材在創(chuàng)設情境和編排練習時，將“生活現(xiàn)實”與“數(shù)學現(xiàn)實”進行有機融合，充分體現(xiàn)數(shù)學學習的應用價值和育人價值。

例如：“小數(shù)的近似數(shù)”例題選用地球與月球的距離數(shù)據(jù)，向學生滲透天文知識。習題中呈現(xiàn)了我國冰箱和彩電的年產(chǎn)量、交通運輸人次、臺灣島面積等反映我國經(jīng)濟發(fā)展和科技進步的數(shù)據(jù)，這些具有極強現(xiàn)實背景的素材不僅讓學生感受到大數(shù)的意義，而且能體現(xiàn)改寫大數(shù)和求近似數(shù)的實際應用價值。

三、教學建議

本單元教學的重難點是讓學生理解小數(shù)的意義和性質以及小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律。突破難點的主要策略是數(shù)形結合、激活經(jīng)驗、遷移類推等，引導學生完善知識結構。

1.小數(shù)的意義難點突破策略——數(shù)形結合，實現(xiàn)小數(shù)意義與分數(shù)的融合。

教學中可以引導學生利用米尺圖、方格圖、數(shù)軸圖與小數(shù)的位值建立對應關系，直觀地打通整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)之間的轉換關系，有效突破難點。

（1）用好米尺圖，經(jīng)歷“具體”到“抽象”。

米尺是解釋小數(shù)意義的學習載體。學生從米尺中直觀的長度尋找分數(shù)和小數(shù)，通過分數(shù)的含義認識這一類十進分數(shù)的另一種表示形式，最后通過尋找米尺上的小數(shù)，溝通分數(shù)與小數(shù)的關系。在這一過程中，學生把米尺抽象成了“數(shù)線”。

（2）用好數(shù)軸圖，經(jīng)歷“有限”到“無限”。

所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示。引導學生將不同類型的小數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，既是對小數(shù)意義的拓展，又是對整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)計數(shù)方法的比較與融合。學生在一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)的尋找中感知數(shù)的無限性。利用數(shù)軸圖兼顧了小數(shù)知識的縱向、橫向聯(lián)系，將具體的數(shù)逐步抽象出內在關系，又將抽象的關系具體化，使學生實現(xiàn)對小數(shù)意義的整體化建構。

（3）用好百格圖，經(jīng)歷“抽象”到“直觀”。

對于“小數(shù)部分每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是10”，學生不容易理解。用好百格圖可以有效突破這一教學難點。把一個正方形看成1，將它平均分成10 份得到了0.1，進而在0.1 的基礎上再平均分成10 份（把1 平均分成100 份），得到了0.01，百格圖簡潔明了地解釋了相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率關系。將這種抽象的關系通過圖來揭示，更具體化、更直觀。

2.小數(shù)的性質難點突破策略——激活經(jīng)驗，促成小數(shù)性質形式與內涵的統(tǒng)一。

正確理解“小數(shù)的末尾添上0 或去掉0，小數(shù)大小不變”的道理，是教學的難點。從數(shù)理上來看：小數(shù)的末尾添上0 或去掉0，計數(shù)單位會縮小（或擴大），而與此同時，所包含計數(shù)單位個數(shù)卻擴大（或縮?。┫鄳谋稊?shù)，兩者聯(lián)系起來看，小數(shù)的大小不變。要想讓學生明白其中的道理，關鍵要引導學生從生活經(jīng)驗的直觀角度和計數(shù)單位轉換的數(shù)理角度去發(fā)現(xiàn)變與不變的規(guī)律。

（1）創(chuàng)設情境，引發(fā)思考。

小華在A 文具超市買了一支鋼筆，標價4.5元，小麗在B 文具超市買了一支同樣型號的鋼筆，標價4.50元。小華覺得自己買的鋼筆便宜，因為她買的鋼筆價格比小麗的少了一個0。引導學生討論小華的觀點是否正確，激活學生已有購物經(jīng)驗，認同“4.5 元”等于“4.50 元”。追問：為什么4.5 元末尾添個0 大小不變？4.5 元末尾再添幾個0，小數(shù)的大小變不變？引發(fā)學生的思考走向深入。

（2）結合數(shù)量，體驗等值。

可以先板書三個“l(fā)”，學生判斷——相等。接著在第二個1 后面添上一個0。在第三個1 后面添上兩個0，板書寫成：1、10、100，讓學生想辦法在這三個數(shù)后補充三個單位，使這三個數(shù)量相等。學生填出1 元=10 角=100 分……讓學生拿出學生尺，指出1 分米、10 厘米、100 毫米的實際長度，并要求學生把它們改寫成以“米”為單位的數(shù)：1 分米=0.1 米、10 厘米=0.10 米、100 毫米=0.100 米。讓學生觀察：0.1 米=0.10 米=0.100 米。追問：從左往右觀察，三個小數(shù)有什么變化？從右往左觀察，三個小數(shù)有什么變化？

（3）動手驗證，深化認識。

引導學生在兩個大小一樣的正方形里涂色比較。把1 個正方形平均分成10 份，陰影部分涂3份，陰影部分用小數(shù)0.3 表示。把同樣的正方形平均分成100 份，陰影部分涂30 份，用小數(shù)0.30 表示。這兩個正方形中份數(shù)變了，正方形的大小和陰影面積的大小沒變，證明0.30 與0.3 相等。追問：小數(shù)由0.3 到0.30，什么變了？什么沒變？你從中發(fā)現(xiàn)了什么？

3.“小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化”難點突破策略——遷移類推，打通數(shù)位變化與乘除運算的關聯(lián)。

“小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化”的教學中，學生對“小數(shù)點向右移還是向左移、移動幾位”等問題的掌握比較困難。

（1）聯(lián)系整數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

由教材情境圖中孫悟空金箍棒4 次長短的變化，引導學生初步獲得0.009 米＜0.09 米＜0.9 米＜9 米的直觀體會。將四個以米為單位的小數(shù)轉化成以毫米為單位的整數(shù)，得到四個等式：

0.009 米=9 毫米

0.09 米=90 毫米

0.9 米=900 毫米

9 米=9000 毫米

以“從上往下”和“從下往上”兩個觀察角度，學生自主探索出小數(shù)點向右或向左移動一位、二位、三位引起小數(shù)大小的變化規(guī)律。這樣就溝通了新舊知識的聯(lián)系，完成了小數(shù)大小變化與整數(shù)大小變化的結構關聯(lián)。

（2）聯(lián)系乘除，建立模型。

學生對小數(shù)點向哪個方向移動引起小數(shù)值的擴大或縮小，較難掌握。應讓學生在理解的基礎上，結合乘除法計算加強練習，使學生在知識結構中形成如下模型：

小數(shù)點向右移一位兩位三位……×10 100 1000……擴大到10 倍100 倍1000 倍……

小數(shù)點向左移一位兩位三位……÷10 100 1000……縮小到1 10 1 100 1 1000……

結合乘法、除法計算構建規(guī)律模型，打通小數(shù)點移動與乘除法的關系，幫助學生從算理上理解小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律。

（3）緊扣數(shù)位，空位補0。

用0 占位問題是學生學習“小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化”的難點。教學中必須強調以下兩點：

小數(shù)點向右移動時，整數(shù)部分左邊的“0”要去掉。如：把0.025 擴大到原來的100 倍，小數(shù)點要向右移動兩位，然后去掉2 左邊的兩個“0”，0.025→2.5。如果遇到原數(shù)的數(shù)位不夠的情況，所差的位數(shù)要用“0”補足。如：把0.25 擴大到原來的1000 倍，小數(shù)點向右移動三位，個位上補“0”，0.25→250。

小數(shù)點向左移動時，遇到原數(shù)數(shù)位不夠的情況，所差的位數(shù)也要用“0”補足。如：把62.5 縮小到原來的，小數(shù)點向左移動三位，十分位和個位上補“0”，62.5→0.0625。

資料存盤

1.《小數(shù)的意義和性質》課標解讀。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》在“學段目標”和“課程內容”的第二學段中提出：結合具體情境，理解小數(shù)的意義；能比較小數(shù)的大小。

小數(shù)本質上是按照十進制位值原則寫成的不帶分母形式的十進分數(shù)。小數(shù)和整數(shù)的計數(shù)方法都是十進制計數(shù)法，因為計數(shù)方法的內在一致性，不同計數(shù)單位與其個數(shù)的累加就構成了全部的整數(shù)和小數(shù)。

結合課標相關內容，用結構化視角來審視本單元的教與學，可以有效溝通小數(shù)與分數(shù)、小數(shù)與整數(shù)的內在關聯(lián)，不僅有利于學生加深對小數(shù)知識的理解，而且有利于學生整體建構數(shù)的概念。

2.小數(shù)是特殊的分數(shù)嗎？

能不能說小數(shù)是分母為10、100、1000……的分數(shù)？這種說法實際上只限于有限小數(shù)的范圍。對于無限小數(shù)來說，有兩種情況：一種是無限循環(huán)小數(shù)，另一種是無限不循環(huán)小數(shù)。

一個最簡分數(shù)，如果分母分解質因數(shù)只含有2、5，可以化成有限小數(shù)；如果含有2、5以外的質因數(shù)，就只能化成無限循環(huán)小數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，不能化成分數(shù)（分數(shù)是有理數(shù)）。教材中小數(shù)是通過分數(shù)引入，主要目的是為了突出小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系。