二三混水平設(shè)計(jì)基于水平置換方法的最優(yōu)折疊方案

羅 彪，李洪毅，王治清，歐祖軍

(吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

對(duì)兩水平設(shè)計(jì)而言，折疊設(shè)計(jì)是通過(guò)將初始設(shè)計(jì)中一個(gè)或多個(gè)因子的符號(hào)反號(hào)而生成的跟隨試驗(yàn). 通過(guò)將折疊設(shè)計(jì)中的處理與初始設(shè)計(jì)中的處理結(jié)合獲得的設(shè)計(jì)稱為組合設(shè)計(jì). 文獻(xiàn)[1]最先在中心化L2-偏差下搜索最優(yōu)折疊方案[2]. 對(duì)于多水平設(shè)計(jì)而言，通過(guò)反轉(zhuǎn)初始設(shè)計(jì)中因子符號(hào)的折疊方法不再適用，因此在多水平折疊設(shè)計(jì)中可用有限的幾何映射來(lái)定義折疊方案.文獻(xiàn)[3]研究了正規(guī)的q水平部分因析設(shè)計(jì)的最優(yōu)折疊方案.文獻(xiàn)[4]通過(guò)對(duì)q水平因子使用modulo-q加法，提出了一種新的多水平因析設(shè)計(jì)的折疊結(jié)構(gòu)，它適用于正規(guī)和非正規(guī)設(shè)計(jì). 隨后，他們將該方法推廣到一般混水平的因析設(shè)計(jì)[5-6]. 針對(duì)三水平設(shè)計(jì), 文獻(xiàn)[7]通過(guò)對(duì)每個(gè)因子的水平進(jìn)行水平置換，提出了一種新的折疊策略，進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果并把文獻(xiàn)[4]中的折疊策略作為特殊形式. 本文將文獻(xiàn)[7]中提出的折疊策略推廣到二三混水平設(shè)計(jì)，獲得了組合設(shè)計(jì)的一些性質(zhì)，并給出了可卷型L2-偏差一個(gè)新的下界.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于任意的設(shè)計(jì)d∈U(n;2s13s2), 下面基于表1中ψ0和ξ0的水平置換分別對(duì)兩水平、三水平因子定義了新的折疊策略, 以及在新的折疊策略下的折疊設(shè)計(jì)與組合設(shè)計(jì).

定義1對(duì)于任意的設(shè)計(jì)d=(d1,d2,…,ds)∈U(n;2s13s2), 其中dj表示設(shè)計(jì)d的第j列,j=1,…,s. 令

表1 ψ0和ξ0的水平置換表

Γ={γ=(γ1,γ2,…,γs)|γj1∈{ψ0,ψ1}),γj2∈{ξ0,ξ1,…,ξ6};j1=1,…,s1,j2=s1+1,…,s.}

在本文中，以可卷型L2-偏差作為衡量設(shè)計(jì)均勻性的準(zhǔn)則. 對(duì)任意的設(shè)計(jì)d=(dij)n×s∈U(n;2s13s2),dij可以映射到uij, 其中

則設(shè)計(jì)d的可卷型L2-偏差可表示為[2]

(1)

若折疊方案γ*使得

則將γ*稱為設(shè)計(jì)d的最優(yōu)折疊方案.

文獻(xiàn)[5]利用modulo-q加法對(duì)二三混水平設(shè)計(jì)d進(jìn)行折疊.在本文的折疊策略下, 文獻(xiàn)[5]中的所有折疊方案為本文中的特殊情形，大幅地增加了折疊方案空間. 文獻(xiàn)[5]給出了組合設(shè)計(jì)d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2的一個(gè)下界：

[WD(d(γ))]2≥LB1(γ),

其中,

其中:t1表示折疊方案γ中γi取ψ1的個(gè)數(shù);t2表示折疊方案γ中γj取ξ4和ξ5的總個(gè)數(shù)，i=1,…,s1，j=s1+1,…,s.

2 主要結(jié)果

對(duì)給定初始設(shè)計(jì)d∈U(n;2s13s2)，本節(jié)討論了定義1中折疊結(jié)構(gòu)的性質(zhì), 獲得了組合設(shè)計(jì)d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2的一個(gè)新下界, 為在Γ中搜索設(shè)計(jì)d的最優(yōu)折疊方案提供了基準(zhǔn).

(2)

其中,

所以, 式(1)中的[WD(d)]2可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化

(3)

其中:hil為設(shè)計(jì)d中第i行與第l行二水平因子列的重合數(shù);λil為設(shè)計(jì)d中第i行與第l行三水平因子列的重合數(shù).

對(duì)于任意的γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ, 令hil(γ)為原始設(shè)計(jì)d中第i行與折疊設(shè)計(jì)dγ中第l行之間二水平因子列的重合數(shù),λil(γ)為原始設(shè)計(jì)d中第i行與折疊設(shè)計(jì)dγ中第l行之間三水平因子列的重合數(shù),i,l=1,…,n, 則組合設(shè)計(jì)d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2轉(zhuǎn)化為重合數(shù)的函數(shù)形式, 見(jiàn)引理1.

引理1設(shè)d∈U(n;2s13s2), 對(duì)任意的折疊方案γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ, 有

(4)

其中hil與λil如式(3)所定義.

證明由d(γ)的定義, 根據(jù)式(1)，有

證明完成.

設(shè)計(jì)d=(d1,d2,…,ds)∈U(n;2s13s2),dγ=(d1(γ1),d2(γ2),…,ds(γs))為設(shè)計(jì)d在折疊方案γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ的折疊設(shè)計(jì). 令g=0,1,k=0,1,…,5, 定義

Ag={i1|γi1=ψg,i1=1,…,s1},Bk={i2|γi2=ξk,i2=s1+1,…,s},dg={di1|i1∈Ag,i1=1,…,s1},dk={di2|i2∈Bk,i2=s1+1,…,s},dg(γ)={di1(γ)|i1∈Ag,i1=1,…,s1},dk(γ)={di2(γ)|i2∈Bk,i2=s1+1,…,s},fg=#{Ag},tk=#{Bk}.

為了得到組合設(shè)計(jì)d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2的下界, 下面介紹兩個(gè)引理.

引理2設(shè)d∈U(n;2s13s2), 對(duì)任意的γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ, 則有

當(dāng)g=0時(shí), 對(duì)i,l=1,2,…,n,

同樣的方法可得到g=1時(shí)的情形, 對(duì)于i,l=1,2,…,n, 可得

當(dāng)i=l時(shí),

同理, 當(dāng)1≤i≠l≤n時(shí),

證明完成.

(5)

其中k是使得z(k)≤c/n≤z(k+1)成立的最大整數(shù),p和q是使p+q=n和pz(k)+qz(k+1)=c成立的非負(fù)實(shí)數(shù).

為了方便,給出[WD(d(γ))]2的新下界, 令

定理1設(shè)d∈U(n;2s13s2)，對(duì)任意的γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ，有

[WD(d(γ))]2≥LB2(γ),

其中,

證明根據(jù)引理1和引理3，[WD(d(γ))]2可表示為:

證明完成.

3 數(shù)值例子

在本節(jié)中，將本文與文獻(xiàn)[5]所得到的組合設(shè)計(jì)以及下界進(jìn)行了數(shù)值比較. 對(duì)于任意的設(shè)計(jì)d∈U(n;2s13s2), 記θ*表示初始設(shè)計(jì)d為文獻(xiàn)[5]中的折疊策略得到的最優(yōu)折疊方案,LB1(θ*)表示[WD(d(θ*))]2的下界, 令γ*表示初始設(shè)計(jì)d為本文中的折疊策略得到的最優(yōu)折疊方案,LB2(γ*)表示[WD(d(γ*))]2的下界.

例1考慮如下初始設(shè)計(jì)d1∈U(n;2332), 其中n=6,s1=3,s2=2，

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的折疊策略和下界, 得到的最優(yōu)折疊方案為:

θ*=(ψ1,ψ0,ψ0,ξ0,ξ5),

[WD(d1(θ*))]2=0.5557,

LB1(θ*)=0.5195,LB2(θ*)=0.5309.

運(yùn)用本文的折疊方法和新的下界，則可得到設(shè)計(jì)d1的最優(yōu)折疊方案

γ*=(ψ0,ψ1,ψ1,ξ4,ξ0),

[WD(d1(γ*))]2=0.5491,

LB2(γ*)=0.5058.

例2考慮如下初始設(shè)計(jì)d2∈U(n;2333), 其中n=6,s1=3,s2=3.

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的折疊策略和下界, 得到的最優(yōu)折疊方案為:

θ*=(ψ1,ψ1,ψ1,ξ5,ξ0,ξ0),

[WD(d2(θ*))]2=0.8513,

LB1(θ*)=0.8048,LB2(θ*)=0.8161.

運(yùn)用本文的折疊方法和新的下界, 則可得到設(shè)計(jì)d2的最優(yōu)折疊方案：

γ*=(ψ0,ψ1,ψ1,ξ4,ξ0,ξ0),

[WD(d2(γ*))]2=0.8396,LB2(γ*)=0.8098.

由例1和例2的結(jié)果可知:

[WD(d2(γ*))]2<[WD(d2(θ*))]2,

因此，本文所用的折疊方案能夠得到更均勻的組合設(shè)計(jì)，且所構(gòu)造的下界比文獻(xiàn)[5]中的下界更緊.